20.(2025·宿豫期末)分解因式：
(1)$8(a^{2} + 1) - 16a$；
(2)$(x^{2} - 4x)^{2} - 8(4x - x^{2}) + 16$。
(1)$8(a^{2} + 1) - 16a$；
(2)$(x^{2} - 4x)^{2} - 8(4x - x^{2}) + 16$。
答案：20. 解：(1) 原式 $= 8(a^2 - 2a + 1) = 8(a - 1)^2$。
(2) 原式 $= (x^2 - 4x + 4)^2 = [(x - 2)^2]^2 = (x - 2)^4$。
(2) 原式 $= (x^2 - 4x + 4)^2 = [(x - 2)^2]^2 = (x - 2)^4$。
21.(2025·湖滨新区期末)下面是某同学对多项式$(x^{2} - 4x + 2)(x^{2} - 4x + 6) + 4$进行因式分解的过程。
解：设$x^{2} - 4x = y$，
原式$= (y + 2)(y + 6) + 4$ (第一步)
$= y^{2} + 8y + 16$ (第二步)
$= (y + 4)^{2}$ (第三步)
$= (x^{2} - 4x + 4)^{2}$ (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$进行因式分解。
解：设$x^{2} - 4x = y$，
原式$= (y + 2)(y + 6) + 4$ (第一步)
$= y^{2} + 8y + 16$ (第二步)
$= (y + 4)^{2}$ (第三步)
$= (x^{2} - 4x + 4)^{2}$ (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(
C
)A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？
不彻底
(填“彻底”或“不彻底”)。若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：$(x - 2)^4$
。(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$进行因式分解。
答案：21. (1) C
(2) 不彻底$ (x - 2)^4$
(3) 解：设$ x^2 - 2x = y$，
原式$ = y(y + 2) + 1 = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2 = [(x - 1)^2]^2 = (x - 1)^4$。
(2) 不彻底$ (x - 2)^4$
(3) 解：设$ x^2 - 2x = y$，
原式$ = y(y + 2) + 1 = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2 = [(x - 1)^2]^2 = (x - 1)^4$。