22.(2025·宿城期末)观察下列算式：
算式①：$3^{2} - 1^{2} = 8 = 8×1$；
算式②：$5^{2} - 3^{2} = 16 = 8×2$；
算式③：$7^{2} - 5^{2} = 24 = 8×3$；
……
(1)按照以上三个算式的规律，请写出算式④：
(2)上述算式用文字可表述为“两个连续奇数的平方差能被8整除”。若设两个连续奇数分别为$2n - 1$，$2n + 1$($n$为整数)，请证明这个命题成立；
(3)命题“两个连续偶数的平方差能被8整除”是
算式①：$3^{2} - 1^{2} = 8 = 8×1$；
算式②：$5^{2} - 3^{2} = 16 = 8×2$；
算式③：$7^{2} - 5^{2} = 24 = 8×3$；
……
(1)按照以上三个算式的规律，请写出算式④：
$9^2 - 7^2 = 32 = 8×4$
；(2)上述算式用文字可表述为“两个连续奇数的平方差能被8整除”。若设两个连续奇数分别为$2n - 1$，$2n + 1$($n$为整数)，请证明这个命题成立；
(3)命题“两个连续偶数的平方差能被8整除”是
假
命题。(填“真”或“假”)答案：22. (1) $9^2 - 7^2 = 32 = 8×4$
(2) 证明：$\because (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 - (4n^2 - 4n + 1) = 4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 + 4n - 1 = 8n$，
$\therefore (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 8n$。
即两个连续奇数的平方差能被8整除。
(3) 假
(2) 证明：$\because (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 - (4n^2 - 4n + 1) = 4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 + 4n - 1 = 8n$，
$\therefore (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 8n$。
即两个连续奇数的平方差能被8整除。
(3) 假
23.(2025·虎丘区期末)阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] = (1 + x)^{2}(1 + x) = (1 + x)^{3}$。
(1)上述因式分解的方法是
(2)因式分解：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + ··· + x(x + 1)^{2025}$的结果是
(3)利用(2)中结论计算：$5 + 5^{2} + 5^{3} + ··· + 5^{2025}$。
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] = (1 + x)^{2}(1 + x) = (1 + x)^{3}$。
(1)上述因式分解的方法是
提公因式法
；(2)因式分解：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + ··· + x(x + 1)^{2025}$的结果是
$(x + 1)^{2026}$
；(3)利用(2)中结论计算：$5 + 5^{2} + 5^{3} + ··· + 5^{2025}$。
答案：23. (1) 提公因式法
(2) $(x + 1)^{2026}$
(3) 解：原式 $= \frac{1}{4}×4×(5 + 5^2 + 5^3 + ··· + 5^{2025})$
$= \frac{1}{4}×(4×5 + 4×5^2 + 4×5^3 + ··· + 4×5^{2025})$
$= \frac{1}{4}×[1 + 4 + 4×(1 + 4) + 4×(1 + 4)^2 + 4×(1 + 4)^3 + ··· + 4×(1 + 4)^{2025}] - \frac{5}{4}$
$= \frac{1}{4}×(1 + 4)^{2026} - \frac{5}{4}$
$= \frac{5^{2026} - 5}{4}$。
(2) $(x + 1)^{2026}$
(3) 解：原式 $= \frac{1}{4}×4×(5 + 5^2 + 5^3 + ··· + 5^{2025})$
$= \frac{1}{4}×(4×5 + 4×5^2 + 4×5^3 + ··· + 4×5^{2025})$
$= \frac{1}{4}×[1 + 4 + 4×(1 + 4) + 4×(1 + 4)^2 + 4×(1 + 4)^3 + ··· + 4×(1 + 4)^{2025}] - \frac{5}{4}$
$= \frac{1}{4}×(1 + 4)^{2026} - \frac{5}{4}$
$= \frac{5^{2026} - 5}{4}$。
24.(2024·福建)已知实数$a$，$b$，$c$，$m$，$n$满足$3m + n = \frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$。
(1)求证：$b^{2} - 12ac$为非负数；
(2)若$a$，$b$，$c$均为奇数，$m$，$n$是否可以都为整数？说明你的理由。
(1)求证：$b^{2} - 12ac$为非负数；
(2)若$a$，$b$，$c$均为奇数，$m$，$n$是否可以都为整数？说明你的理由。
答案：24. (1) 证明：$\because 3m + n = \frac{b}{a}, mn = \frac{c}{a}$，
$\therefore b = a(3m + n), c = amn$，
则 $b^2 - 12ac = [a(3m + n)]^2 - 12a^2mn = a^2(9m^2 + 6mn + n^2) - 12a^2mn = a^2(9m^2 - 6mn + n^2) = a^2(3m - n)^2$。
$\because a, m, n$ 是实数，
$\therefore a^2(3m - n)^2 ≥ 0, \therefore b^2 - 12ac$ 为非负数。
(2) 解：$m, n$ 不可以都为整数。理由如下：
若 $m, n$ 都为整数，其可能情况有：① $m, n$ 都为奇数；② $m, n$ 为整数，且其中至少有一个为偶数。
① 当 $m, n$ 都为奇数时，$3m + n$ 必为偶数，
$\because 3m + n = \frac{b}{a}, \therefore b = a(3m + n)$。
$\because a$ 为奇数，$\therefore a(3m + n)$ 必为偶数，这与 $b$ 为奇数矛盾；
② 当 $m, n$ 为整数，且其中至少有一个为偶数时，$mn$ 必为偶数，
$\because mn = \frac{c}{a}, \therefore c = amn$。
$\because a$ 为奇数，$\therefore amn$ 必为偶数，这与 $c$ 为奇数矛盾。
综上所述，$m, n$ 不可以都为整数。
$\therefore b = a(3m + n), c = amn$，
则 $b^2 - 12ac = [a(3m + n)]^2 - 12a^2mn = a^2(9m^2 + 6mn + n^2) - 12a^2mn = a^2(9m^2 - 6mn + n^2) = a^2(3m - n)^2$。
$\because a, m, n$ 是实数，
$\therefore a^2(3m - n)^2 ≥ 0, \therefore b^2 - 12ac$ 为非负数。
(2) 解：$m, n$ 不可以都为整数。理由如下：
若 $m, n$ 都为整数，其可能情况有：① $m, n$ 都为奇数；② $m, n$ 为整数，且其中至少有一个为偶数。
① 当 $m, n$ 都为奇数时，$3m + n$ 必为偶数，
$\because 3m + n = \frac{b}{a}, \therefore b = a(3m + n)$。
$\because a$ 为奇数，$\therefore a(3m + n)$ 必为偶数，这与 $b$ 为奇数矛盾；
② 当 $m, n$ 为整数，且其中至少有一个为偶数时，$mn$ 必为偶数，
$\because mn = \frac{c}{a}, \therefore c = amn$。
$\because a$ 为奇数，$\therefore amn$ 必为偶数，这与 $c$ 为奇数矛盾。
综上所述，$m, n$ 不可以都为整数。