1. 有下列各式：①$\frac{2}{x}$；②$\frac{x + y}{5}$；③$\frac{x^2}{x}$；④$\frac{x^2y^2}{3 - π}$.其中是分式的是(
A.①②
B.③④
C.①③
D.①②③④
C
)A.①②
B.③④
C.①③
D.①②③④
答案：1. C
2. (2025·南京外国语学校月考)下列关于分式的判断，正确的是(
A.当$x = 2$时，$\frac{x + 1}{x - 2}$无意义
B.当$x ≠ 3$时，$\frac{x - 3}{x}$无意义
C.当$x = - 1$时，$\frac{3}{x + 1}$的值为 0
D.当$x ＜ - 1$时，$\frac{3}{x^2 + 1}$的值为负数
A
)A.当$x = 2$时，$\frac{x + 1}{x - 2}$无意义
B.当$x ≠ 3$时，$\frac{x - 3}{x}$无意义
C.当$x = - 1$时，$\frac{3}{x + 1}$的值为 0
D.当$x ＜ - 1$时，$\frac{3}{x^2 + 1}$的值为负数
答案：2. A
3. (2025·如东期末)下列分式中，化简结果等于$\frac{b}{a}$的是(
A.$- \frac{- b}{- a}$
B.$\frac{ab}{a^2}$
C.$\frac{b - 1}{a - 1}$
D.$\frac{b^2}{a^2}$
B
)A.$- \frac{- b}{- a}$
B.$\frac{ab}{a^2}$
C.$\frac{b - 1}{a - 1}$
D.$\frac{b^2}{a^2}$
答案：3. B
4. 化简$\frac{x^2}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}$的结果是(
A.$x^2 + 1$
B.$x^2 - 1$
C.$x + 1$
D.$x - 1$
C
)A.$x^2 + 1$
B.$x^2 - 1$
C.$x + 1$
D.$x - 1$
答案：4. C
解析：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}&=\frac{x^2}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}\\&=\frac{x^2 - 1}{x - 1}\\&=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}\\&=x + 1\end{aligned}$
C
C
5. (2025·沭阳模拟)小明开车去宿迁高铁站，他可以选择两条不同路线：路线 A 全程 25 千米，但交通比较拥堵；路线 B 比路线 A 多 7 千米，但平均车速比走路线 A 时能提高 60%.若走路线 B 比走路线 A 少用 15 分钟，设走路线 A 时的平均速度为$x$千米/时，根据题意，可列分式方程为(
A.$\frac{25}{x} - \frac{32}{1.6x} = 15$
B.$\frac{32}{1.6x} - \frac{25}{x} = 15$
C.$\frac{32}{1.6x} - \frac{25}{x} = \frac{1}{4}$
D.$\frac{25}{x} - \frac{32}{1.6x} = \frac{1}{4}$
D
)A.$\frac{25}{x} - \frac{32}{1.6x} = 15$
B.$\frac{32}{1.6x} - \frac{25}{x} = 15$
C.$\frac{32}{1.6x} - \frac{25}{x} = \frac{1}{4}$
D.$\frac{25}{x} - \frac{32}{1.6x} = \frac{1}{4}$
答案：5. D
解析：
设走路线 A 时的平均速度为 $ x $ 千米/时，则走路线 B 时的平均速度为 $ (1 + 60\%)x = 1.6x $ 千米/时。
路线 A 全程 25 千米，所用时间为 $ \frac{25}{x} $ 小时；路线 B 全程为 $ 25 + 7 = 32 $ 千米，所用时间为 $ \frac{32}{1.6x} $ 小时。
已知走路线 B 比走路线 A 少用 15 分钟，即 $ \frac{15}{60} = \frac{1}{4} $ 小时，可列方程：
$ \frac{25}{x} - \frac{32}{1.6x} = \frac{1}{4} $
D
路线 A 全程 25 千米，所用时间为 $ \frac{25}{x} $ 小时；路线 B 全程为 $ 25 + 7 = 32 $ 千米，所用时间为 $ \frac{32}{1.6x} $ 小时。
已知走路线 B 比走路线 A 少用 15 分钟，即 $ \frac{15}{60} = \frac{1}{4} $ 小时，可列方程：
$ \frac{25}{x} - \frac{32}{1.6x} = \frac{1}{4} $
D
6. 化简$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} · \frac{1 - x}{1 + x}$的结果为(
A.$\frac{x + 1}{x - 1}$
B.$\frac{x - 1}{x + 1}$
C.$\frac{1 + x}{1 - x}$
D.$\frac{1 - x}{1 + x}$
D
)A.$\frac{x + 1}{x - 1}$
B.$\frac{x - 1}{x + 1}$
C.$\frac{1 + x}{1 - x}$
D.$\frac{1 - x}{1 + x}$
答案：6. D
解析：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} · \frac{1 - x}{1 + x}\\=&\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} · \frac{x - 1}{x + 1} · \frac{-(x - 1)}{x + 1}\\=&\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} · \frac{x - 1}{x + 1} · \frac{-(x - 1)}{x + 1}\\=&\frac{-(x - 1)}{x + 1}\\=&\frac{1 - x}{1 + x}\end{aligned}$
D
D
7. 已知关于$x$的方程$\frac{2x + m}{x - 2} = 3$的解是正数，则$m$的取值范围为(
A.$m ＞ - 6$
B.$m ＜ - 6$
C.$m ＞ - 6$且$m ≠ - 4$
D.$m ＜ - 6$且$m ≠ - 4$
C
)A.$m ＞ - 6$
B.$m ＜ - 6$
C.$m ＞ - 6$且$m ≠ - 4$
D.$m ＜ - 6$且$m ≠ - 4$
答案：7. C
解析：
去分母得：$2x + m = 3(x - 2)$
解得：$x = m + 6$
因为方程的解是正数，所以$m + 6 ＞ 0$，即$m ＞ -6$
又因为分母不能为$0$，所以$x - 2 ≠ 0$，即$m + 6 - 2 ≠ 0$，$m ≠ -4$
综上，$m$的取值范围为$m ＞ -6$且$m ≠ -4$
C
解得：$x = m + 6$
因为方程的解是正数，所以$m + 6 ＞ 0$，即$m ＞ -6$
又因为分母不能为$0$，所以$x - 2 ≠ 0$，即$m + 6 - 2 ≠ 0$，$m ≠ -4$
综上，$m$的取值范围为$m ＞ -6$且$m ≠ -4$
C
8. 已知$\frac{xy}{x + y} = \frac{1}{3}$，$\frac{yz}{y + z} = \frac{1}{5}$，$\frac{zx}{z + x} = \frac{1}{6}$，则分式$\frac{xyz}{xy + yz + zx}$的值为(
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{7}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{7}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案：8. B
解析：
解：由$\frac{xy}{x + y} = \frac{1}{3}$，得$\frac{x + y}{xy} = 3$，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$；
由$\frac{yz}{y + z} = \frac{1}{5}$，得$\frac{y + z}{yz} = 5$，即$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 5$；
由$\frac{zx}{z + x} = \frac{1}{6}$，得$\frac{z + x}{zx} = 6$，即$\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 6$。
设$a = \frac{1}{x}$，$b = \frac{1}{y}$，$c = \frac{1}{z}$，则$\begin{cases}a + b = 3 \\ b + c = 5 \\ c + a = 6\end{cases}$。
三式相加得$2(a + b + c) = 14$，即$a + b + c = 7$。
$\frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = a + b + c = 7$，故$\frac{xyz}{xy + yz + zx} = \frac{1}{7}$。
B
由$\frac{yz}{y + z} = \frac{1}{5}$，得$\frac{y + z}{yz} = 5$，即$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 5$；
由$\frac{zx}{z + x} = \frac{1}{6}$，得$\frac{z + x}{zx} = 6$，即$\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 6$。
设$a = \frac{1}{x}$，$b = \frac{1}{y}$，$c = \frac{1}{z}$，则$\begin{cases}a + b = 3 \\ b + c = 5 \\ c + a = 6\end{cases}$。
三式相加得$2(a + b + c) = 14$，即$a + b + c = 7$。
$\frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = a + b + c = 7$，故$\frac{xyz}{xy + yz + zx} = \frac{1}{7}$。
B