11. (10分)(2025·宿豫期末)计算:$\sqrt{6}×\sqrt{8}-\sqrt{12}-\frac{3}{\sqrt{3}}+\sqrt{(-4)^{2}}$.
答案：11. 解:原式$ = \sqrt{48} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4 = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4 = \sqrt{3} + 4 $.
解析：
解:原式$=\sqrt{6 × 8} - 2\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} + 4$
$=\sqrt{48} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$
$=4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$
$=\sqrt{3} + 4$.
$=\sqrt{48} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$
$=4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$
$=\sqrt{3} + 4$.
12. (10分)(2025·泗阳期末)甲、乙两个公司为"见义勇为基金会"各捐款3000元,已知甲公司的人数比乙公司的人数多$20\%$,乙公司比甲公司人均多捐20元.
(1)设乙公司有$x$人,则甲公司有
(2)在(1)条件下,列方程求甲、乙两公司各有多少人.
(1)设乙公司有$x$人,则甲公司有
$ 1.2x $
人;(用含$x$的代数式表示)(2)在(1)条件下,列方程求甲、乙两公司各有多少人.
答案：12. (1) $ 1.2x $
(2) 解:根据题意,得$ \frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.2x} = 20 $,解得$ x = 25 $.
经检验,$ x = 25 $是所列方程的解.
$ \therefore 1.2x = 30 $.
答:甲公司有 30 人,乙公司有 25 人.
(2) 解:根据题意,得$ \frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.2x} = 20 $,解得$ x = 25 $.
经检验,$ x = 25 $是所列方程的解.
$ \therefore 1.2x = 30 $.
答:甲公司有 30 人,乙公司有 25 人.
13. (15分)如图,在$△ ABC$中,$F$是$BC$的中点,$E$是线段$AB$延长线上一动点,连接$EF$,过点$C$作$CD// AB$,与线段$EF$的延长线交于点$D$,连接$BD$,$CE$.
(1)求证:四边形$BDCE$是平行四边形.
(2)若$∠ ABC=120^{\circ}$,$BC=4$,则在点$E$的运动过程中.
①当$BE$为何值时,四边形$BDCE$是矩形?
②当$BE$为何值时,四边形$BDCE$是菱形?
(1)求证:四边形$BDCE$是平行四边形.
(2)若$∠ ABC=120^{\circ}$,$BC=4$,则在点$E$的运动过程中.
①当$BE$为何值时,四边形$BDCE$是矩形?
②当$BE$为何值时,四边形$BDCE$是菱形?
答案：13. (1) 证明:$ \because AB // CD $,
$ \therefore ∠ CDF = ∠ BEF, ∠ DCF = ∠ EBF $.
$ \because F $是$ BC $的中点,$ \therefore CF = BF $.
在$ △ DCF $和$ △ EBF $中,$ \{ \begin{array} { l } { ∠ CDF = ∠ BEF, } \\ { ∠ DCF = ∠ EBF, } \\ { CF = BF, } \end{array} $
$ \therefore △ DCF ≌ △ EBF ( AAS ), \therefore CD = BE $.
又$ \because CD // AB $,即$ CD // BE $,
$ \therefore $四边形$ BDCE $是平行四边形.
(2) 解:①当四边形$ BDCE $是矩形时,$ ∠ CEB = 90 ^ { \circ } $.
$ \because ∠ ABC = 120 ^ { \circ }, \therefore ∠ CBE = 60 ^ { \circ } $.
$ \therefore ∠ BCE = 90 ^ { \circ } - ∠ CBE = 30 ^ { \circ } $,
$ \therefore BE = \frac { 1 } { 2 } BC = 2 $.
$ \therefore $当$ BE $为 2 时,四边形$ BDCE $是矩形.
②当四边形$ BDCE $是菱形时,$ BE = CE $.
$ \because ∠ ABC = 120 ^ { \circ }, \therefore ∠ CBE = 60 ^ { \circ } $,
$ \therefore △ CBE $是等边三角形,$ \therefore BE = BC = 4 $.
$ \therefore $当$ BE $为 4 时,四边形$ BDCE $是菱形.
$ \therefore ∠ CDF = ∠ BEF, ∠ DCF = ∠ EBF $.
$ \because F $是$ BC $的中点,$ \therefore CF = BF $.
在$ △ DCF $和$ △ EBF $中,$ \{ \begin{array} { l } { ∠ CDF = ∠ BEF, } \\ { ∠ DCF = ∠ EBF, } \\ { CF = BF, } \end{array} $
$ \therefore △ DCF ≌ △ EBF ( AAS ), \therefore CD = BE $.
又$ \because CD // AB $,即$ CD // BE $,
$ \therefore $四边形$ BDCE $是平行四边形.
(2) 解:①当四边形$ BDCE $是矩形时,$ ∠ CEB = 90 ^ { \circ } $.
$ \because ∠ ABC = 120 ^ { \circ }, \therefore ∠ CBE = 60 ^ { \circ } $.
$ \therefore ∠ BCE = 90 ^ { \circ } - ∠ CBE = 30 ^ { \circ } $,
$ \therefore BE = \frac { 1 } { 2 } BC = 2 $.
$ \therefore $当$ BE $为 2 时,四边形$ BDCE $是矩形.
②当四边形$ BDCE $是菱形时,$ BE = CE $.
$ \because ∠ ABC = 120 ^ { \circ }, \therefore ∠ CBE = 60 ^ { \circ } $,
$ \therefore △ CBE $是等边三角形,$ \therefore BE = BC = 4 $.
$ \therefore $当$ BE $为 4 时,四边形$ BDCE $是菱形.
14. (15分)在学习特殊四边形的过程中,我们积累了一定的研究经验,请运用已有经验,对等角线四边形进行研究.
(1)如图①,对角线相等的凸四边形称为等角线四边形.在我们下列学过的特殊四边形中,一定是等角线四边形的有
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形.
(2)如图②,若$E$,$F$,$G$,$H$分别是等角线四边形$ABCD$四条边$AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点,此时以$E$,$F$,$G$,$H$为顶点的四边形称为它的中点四边形,当$AC⊥ BD$时,请判断中点四边形$EFGH$的形状并说明理由;
(3)如图③,在$△ ABC$中,$AB=13$,$BC=11$,$CA=8$,$D$为$△ ABC$外一点,若以$A$,$B$,$C$,$D$四点为顶点的四边形为等角线四边形且对角线互相垂直,请写出以$A$,$B$,$C$,$D$为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积.
(1)如图①,对角线相等的凸四边形称为等角线四边形.在我们下列学过的特殊四边形中,一定是等角线四边形的有
②④
(填序号);①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形.
(2)如图②,若$E$,$F$,$G$,$H$分别是等角线四边形$ABCD$四条边$AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点,此时以$E$,$F$,$G$,$H$为顶点的四边形称为它的中点四边形,当$AC⊥ BD$时,请判断中点四边形$EFGH$的形状并说明理由;
(3)如图③,在$△ ABC$中,$AB=13$,$BC=11$,$CA=8$,$D$为$△ ABC$外一点,若以$A$,$B$,$C$,$D$四点为顶点的四边形为等角线四边形且对角线互相垂直,请写出以$A$,$B$,$C$,$D$为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积.
答案：
14. (1) ②④
(2) 解:四边形$ EFGH $为正方形.理由如下:
$ \because E, F, G, H $分别是等角线四边形$ ABCD $四条边$ AB $,$ BC, CD, DA $的中点,
$ \therefore AC = BD, EH = FG = \frac { 1 } { 2 } BD, EF = HG = \frac { 1 } { 2 } AC $,$ EH // BD, FG // BD, EF // AC, HG // AC $,
$ \therefore EH = FG = EF = HG, \therefore $四边形$ EFGH $是菱形.
$ \because AC ⊥ BD, \therefore EF ⊥ EH, \therefore ∠ FEH = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore $菱形$ EFGH $是正方形.
(3) 解:以$ A, B, C, D $为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为$ \frac { 121 } { 4 } $或$ \frac { 169 } { 4 } $.理由如下:
当点$ D $在$ AB $的上方时,如答图①,$ E, F, G, H $分别是等角线四边形$ ABDC $四条边$ CD, AC, AB, BD $的中点,对角线$ AD = BC, AD ⊥ BC $.
由(2)可知,四边形$ EFGH $为正方形,且$ EF = EH = FG = GH = \frac { 1 } { 2 } BC = \frac { 11 } { 2 } $,
$ \therefore $四边形$ EFGH $的面积为$ \frac { 11 } { 2 } × \frac { 11 } { 2 } = \frac { 121 } { 4 } $;
当点$ D $在$ AB $的下方时,如答图②,$ E, F, G, H $分别是等角线四边形$ ACBD $四条边$ AC, AD, BD, BC $的中点,对角线$ AB = CD, AB ⊥ CD $.
由(2)可知,四边形$ EFGH $为正方形,且$ EF = EH = FG = GH = \frac { 1 } { 2 } AB = \frac { 13 } { 2 } $,
$ \therefore $四边形$ EFGH $的面积为$ \frac { 13 } { 2 } × \frac { 13 } { 2 } = \frac { 169 } { 4 } $.
综上所述,以$ A, B, C, D $为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为$ \frac { 121 } { 4 } $或$ \frac { 169 } { 4 } $.
14. (1) ②④
(2) 解:四边形$ EFGH $为正方形.理由如下:
$ \because E, F, G, H $分别是等角线四边形$ ABCD $四条边$ AB $,$ BC, CD, DA $的中点,
$ \therefore AC = BD, EH = FG = \frac { 1 } { 2 } BD, EF = HG = \frac { 1 } { 2 } AC $,$ EH // BD, FG // BD, EF // AC, HG // AC $,
$ \therefore EH = FG = EF = HG, \therefore $四边形$ EFGH $是菱形.
$ \because AC ⊥ BD, \therefore EF ⊥ EH, \therefore ∠ FEH = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore $菱形$ EFGH $是正方形.
(3) 解:以$ A, B, C, D $为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为$ \frac { 121 } { 4 } $或$ \frac { 169 } { 4 } $.理由如下:
当点$ D $在$ AB $的上方时,如答图①,$ E, F, G, H $分别是等角线四边形$ ABDC $四条边$ CD, AC, AB, BD $的中点,对角线$ AD = BC, AD ⊥ BC $.
由(2)可知,四边形$ EFGH $为正方形,且$ EF = EH = FG = GH = \frac { 1 } { 2 } BC = \frac { 11 } { 2 } $,
$ \therefore $四边形$ EFGH $的面积为$ \frac { 11 } { 2 } × \frac { 11 } { 2 } = \frac { 121 } { 4 } $;
当点$ D $在$ AB $的下方时,如答图②,$ E, F, G, H $分别是等角线四边形$ ACBD $四条边$ AC, AD, BD, BC $的中点,对角线$ AB = CD, AB ⊥ CD $.
由(2)可知,四边形$ EFGH $为正方形,且$ EF = EH = FG = GH = \frac { 1 } { 2 } AB = \frac { 13 } { 2 } $,
$ \therefore $四边形$ EFGH $的面积为$ \frac { 13 } { 2 } × \frac { 13 } { 2 } = \frac { 169 } { 4 } $.
综上所述,以$ A, B, C, D $为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为$ \frac { 121 } { 4 } $或$ \frac { 169 } { 4 } $.