1. 小新抛一枚质地均匀的硬币,连续抛三次,硬币落地均正面朝上,如果他第四次抛硬币,那么硬币正面朝上的概率为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.1
D.$\frac{3}{4}$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.1
D.$\frac{3}{4}$
答案：1. A
2. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{3}=\sqrt{6}$
A
)A.$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{3}=\sqrt{6}$
答案：2. A
3. 把$-x^{3}-2x^{2}-x$分解因式的正确结果为(
A.$-(x^{3}+2x^{2}+x)$
B.$-x(x^{2}+2x+1)$
C.$-x(x-1)^{2}$
D.$-x(x+1)^{2}$
D
)A.$-(x^{3}+2x^{2}+x)$
B.$-x(x^{2}+2x+1)$
C.$-x(x-1)^{2}$
D.$-x(x+1)^{2}$
答案：3. D
解析：
$-x^{3}-2x^{2}-x$
$=-x(x^{2}+2x+1)$
$=-x(x+1)^{2}$
D
$=-x(x^{2}+2x+1)$
$=-x(x+1)^{2}$
D
4. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$AB$上一点,$AD=AC=2$,$BD=2AD$,$AE⊥ CD$,垂足是$E$,点$F$是$BC$的中点,则$EF$的长是(
A.8
B.4
C.6
D.2
D
)A.8
B.4
C.6
D.2
答案：4. D
解析：
解：
∵ $AD = AC = 2$，$AE ⊥ CD$，
∴ $E$ 为 $CD$ 中点（等腰三角形三线合一）。
∵ $F$ 是 $BC$ 中点，
∴ $EF$ 是 $△ CDB$ 的中位线。
∵ $BD = 2AD = 4$，
∴ $EF = \frac{1}{2}BD = 2$。
答案：D
∵ $AD = AC = 2$，$AE ⊥ CD$，
∴ $E$ 为 $CD$ 中点（等腰三角形三线合一）。
∵ $F$ 是 $BC$ 中点，
∴ $EF$ 是 $△ CDB$ 的中位线。
∵ $BD = 2AD = 4$，
∴ $EF = \frac{1}{2}BD = 2$。
答案：D
5. 如图,将矩形纸片$ABCD$沿对角线$BD$折叠,点$C$落在点$E$处,$BE$交$AD$于点$F$,连接$AE$.若$BC=8$,$DC=6$,则$BF$的长是(
A.5
B.6
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{13}{2}$
C
)A.5
B.6
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{13}{2}$
答案：5. C
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD=BC=8$，$AB=DC=6$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ DBC$。
由折叠性质得：$∠ EBD=∠ DBC$，$BE=BC=8$，
$\therefore ∠ ADB=∠ EBD$，
$\therefore BF=DF$。
设$BF=x$，则$DF=x$，$AF=AD - DF=8 - x$。
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：$AB^{2}+AF^{2}=BF^{2}$，
即$6^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，
解得$x = \frac{25}{4}$，
$\therefore BF=\frac{25}{4}$。
$\boxed{C}$
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD=BC=8$，$AB=DC=6$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ DBC$。
由折叠性质得：$∠ EBD=∠ DBC$，$BE=BC=8$，
$\therefore ∠ ADB=∠ EBD$，
$\therefore BF=DF$。
设$BF=x$，则$DF=x$，$AF=AD - DF=8 - x$。
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：$AB^{2}+AF^{2}=BF^{2}$，
即$6^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，
解得$x = \frac{25}{4}$，
$\therefore BF=\frac{25}{4}$。
$\boxed{C}$
6. 某校对七年级学生进行视力检测,据测得数据制成频数分布直方图.若图中自左至右每个小长方形的高之比为$1:3:2:4$,且第二个小长方形对应的频数为54,则此次共检测了
180
名学生的视力.答案：6. 180
解析：
设每个小长方形的高分别为$x$，$3x$，$2x$，$4x$。
因为频数分布直方图中，小长方形的高之比等于频数之比，第二个小长方形对应的频数为$54$，所以$3x = 54$，解得$x = 18$。
则各小长方形对应的频数分别为$18$，$54$，$36$，$72$。
总人数为$18 + 54 + 36 + 72 = 180$。
180
因为频数分布直方图中，小长方形的高之比等于频数之比，第二个小长方形对应的频数为$54$，所以$3x = 54$，解得$x = 18$。
则各小长方形对应的频数分别为$18$，$54$，$36$，$72$。
总人数为$18 + 54 + 36 + 72 = 180$。
180
7. (2025·宿城期末)已知关于$x$的方程$\frac{2x - m}{x - 1}=1$的解是正数,则$m$的取值范围为
$ m ＞ 1 $且$ m ≠ 2 $
.答案：7. $ m ＞ 1 $且$ m ≠ 2 $
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$，得$2x - m = x - 1$，解得$x = m - 1$。
因为方程的解是正数，所以$x ＞ 0$，即$m - 1 ＞ 0$，解得$m ＞ 1$。
又因为分母不能为$0$，所以$x - 1 ≠ 0$，即$m - 1 - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$。
综上，$m$的取值范围为$m ＞ 1$且$m ≠ 2$。
因为方程的解是正数，所以$x ＞ 0$，即$m - 1 ＞ 0$，解得$m ＞ 1$。
又因为分母不能为$0$，所以$x - 1 ≠ 0$，即$m - 1 - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$。
综上，$m$的取值范围为$m ＞ 1$且$m ≠ 2$。
8. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90^{\circ}$,$AC=5$,$BC=12$,点$E$,$F$分别是边$AB$,$BC$上的动点,点$M$,$N$分别为$CF$,$EF$的中点,则线段$MN$的最小值为
$ \frac{30}{13} $
.答案：8. $ \frac{30}{13} $
解析：
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=5$，$BC=12$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
因为点$M$，$N$分别为$CF$，$EF$的中点，
所以$MN$是$△ CEF$的中位线，
所以$MN=\frac{1}{2}CE$。
当$CE⊥ AB$时，$CE$最小，此时$MN$最小。
由面积法得$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，
即$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× CE$，
解得$CE=\frac{60}{13}$，
所以$MN=\frac{1}{2}CE=\frac{30}{13}$。
故线段$MN$的最小值为$\frac{30}{13}$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
因为点$M$，$N$分别为$CF$，$EF$的中点，
所以$MN$是$△ CEF$的中位线，
所以$MN=\frac{1}{2}CE$。
当$CE⊥ AB$时，$CE$最小，此时$MN$最小。
由面积法得$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，
即$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× CE$，
解得$CE=\frac{60}{13}$，
所以$MN=\frac{1}{2}CE=\frac{30}{13}$。
故线段$MN$的最小值为$\frac{30}{13}$。
9. (2025·鼓楼区期末)已知$x = 2\sqrt{3}-1$,则代数式$x^{2}+2x+2014$的值为
2025
.答案：9. 2025
解析：
$x = 2\sqrt{3} - 1$，则$x + 1 = 2\sqrt{3}$，两边平方得$(x + 1)^2 = (2\sqrt{3})^2$，即$x^2 + 2x + 1 = 12$，所以$x^2 + 2x = 11$，则$x^2 + 2x + 2014 = 11 + 2014 = 2025$。
2025
2025
10. 如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$AB=DC=8$,$∠ B=60^{\circ}$,$BC=12$,$M$,$N$分别是$AB$,$DC$的中点,连接$MN$,则线段$MN$的长为
8
.答案：10. 8
解析：
解：过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$，过点$D$作$DF ⊥ BC$于点$F$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ B = 60°$，$AB = 8$，则$BE = AB · \cos 60° = 8×\frac{1}{2}=4$。
同理，$CF = 4$。
因为$AD // BC$，$AE ⊥ BC$，$DF ⊥ BC$，所以四边形$AEFD$是矩形，$AD = EF$。
又因为$BC = 12$，所以$EF = BC - BE - CF = 12 - 4 - 4 = 4$，即$AD = 4$。
因为$M$，$N$分别是$AB$，$DC$的中点，所以$MN$是梯形$ABCD$的中位线。
则$MN=\frac{1}{2}(AD + BC)=\frac{1}{2}(4 + 12)=8$。
8
在$Rt△ ABE$中，$∠ B = 60°$，$AB = 8$，则$BE = AB · \cos 60° = 8×\frac{1}{2}=4$。
同理，$CF = 4$。
因为$AD // BC$，$AE ⊥ BC$，$DF ⊥ BC$，所以四边形$AEFD$是矩形，$AD = EF$。
又因为$BC = 12$，所以$EF = BC - BE - CF = 12 - 4 - 4 = 4$，即$AD = 4$。
因为$M$，$N$分别是$AB$，$DC$的中点，所以$MN$是梯形$ABCD$的中位线。
则$MN=\frac{1}{2}(AD + BC)=\frac{1}{2}(4 + 12)=8$。
8