9. 已知$\sqrt{a - 3} + \sqrt{2 - b} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^0 - 1$,则$\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}} =$
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
.答案：9. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
解析：
因为$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^0 = 1$，所以$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^0 - 1 = 1 - 1 = 0$，即$\sqrt{a - 3} + \sqrt{2 - b} = 0$。
由于$\sqrt{a - 3} ≥ 0$，$\sqrt{2 - b} ≥ 0$，要使它们的和为$0$，则$\sqrt{a - 3} = 0$且$\sqrt{2 - b} = 0$。
所以$a - 3 = 0$，解得$a = 3$；$2 - b = 0$，解得$b = 2$。
则$\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
由于$\sqrt{a - 3} ≥ 0$，$\sqrt{2 - b} ≥ 0$，要使它们的和为$0$，则$\sqrt{a - 3} = 0$且$\sqrt{2 - b} = 0$。
所以$a - 3 = 0$，解得$a = 3$；$2 - b = 0$，解得$b = 2$。
则$\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
10. 如图,在长方形纸片 $ABCD$ 中,$AD = 8,AB = 10$,点 $M$ 为 $BC$ 上一点,将$△ CDM$ 沿 $DM$ 翻至$△ EDM,EM$ 交 $AB$ 于点 $G,ED$ 交 $AB$ 于点 $F$,且$BG = EG$,则 $CM$ 的长度是
$\frac{20}{3}$
.答案：10. $\frac{20}{3}$
解析：
解：设$CM = x$，则$BM = BC - CM = 8 - x$。
由折叠性质得：$DE = CD = 10$，$EM = CM = x$，$∠ E = ∠ C = 90°$。
因为$BG = EG$，设$BG = EG = y$，则$MG = EM - EG = x - y$。
在$Rt△ BMG$中，$MG^2 = BM^2 + BG^2$，即$(x - y)^2 = (8 - x)^2 + y^2$，化简得$x^2 - 2xy + y^2 = 64 - 16x + x^2 + y^2$，进一步得$-2xy = 64 - 16x$，即$xy = 8x - 32$，所以$y = 8 - \frac{32}{x}$。
因为$AD // BC$，所以$∠ ADF = ∠ CMD$，又$∠ A = ∠ C = 90°$，故$△ ADF ∼ △ CMD$，则$\frac{AF}{CD} = \frac{AD}{CM}$，即$\frac{AF}{10} = \frac{8}{x}$，所以$AF = \frac{80}{x}$。
因为$AB = 10$，所以$FG = AB - AF - BG = 10 - \frac{80}{x} - y$。
又因为$∠ E = ∠ A = 90°$，$∠ EFG = ∠ AFD$，所以$△ EFG ∼ △ AFD$，则$\frac{EG}{AD} = \frac{FG}{AF}$，即$\frac{y}{8} = \frac{10 - \frac{80}{x} - y}{\frac{80}{x}}$。
将$y = 8 - \frac{32}{x}$代入上式：
$\begin{aligned}\frac{8 - \frac{32}{x}}{8} &= \frac{10 - \frac{80}{x} - (8 - \frac{32}{x})}{\frac{80}{x}}\\1 - \frac{4}{x} &= \frac{2 - \frac{48}{x}}{\frac{80}{x}}\\1 - \frac{4}{x} &= \frac{2x - 48}{80}\\80 - \frac{320}{x} &= 2x - 48\\2x + \frac{320}{x} &= 128\\x^2 - 64x + 160 &= 0\\(x - \frac{20}{3})(x - 24) &= 0\end{aligned}$
解得$x = \frac{20}{3}$或$x = 24$（舍去），故$CM = \frac{20}{3}$。
$\frac{20}{3}$
由折叠性质得：$DE = CD = 10$，$EM = CM = x$，$∠ E = ∠ C = 90°$。
因为$BG = EG$，设$BG = EG = y$，则$MG = EM - EG = x - y$。
在$Rt△ BMG$中，$MG^2 = BM^2 + BG^2$，即$(x - y)^2 = (8 - x)^2 + y^2$，化简得$x^2 - 2xy + y^2 = 64 - 16x + x^2 + y^2$，进一步得$-2xy = 64 - 16x$，即$xy = 8x - 32$，所以$y = 8 - \frac{32}{x}$。
因为$AD // BC$，所以$∠ ADF = ∠ CMD$，又$∠ A = ∠ C = 90°$，故$△ ADF ∼ △ CMD$，则$\frac{AF}{CD} = \frac{AD}{CM}$，即$\frac{AF}{10} = \frac{8}{x}$，所以$AF = \frac{80}{x}$。
因为$AB = 10$，所以$FG = AB - AF - BG = 10 - \frac{80}{x} - y$。
又因为$∠ E = ∠ A = 90°$，$∠ EFG = ∠ AFD$，所以$△ EFG ∼ △ AFD$，则$\frac{EG}{AD} = \frac{FG}{AF}$，即$\frac{y}{8} = \frac{10 - \frac{80}{x} - y}{\frac{80}{x}}$。
将$y = 8 - \frac{32}{x}$代入上式：
$\begin{aligned}\frac{8 - \frac{32}{x}}{8} &= \frac{10 - \frac{80}{x} - (8 - \frac{32}{x})}{\frac{80}{x}}\\1 - \frac{4}{x} &= \frac{2 - \frac{48}{x}}{\frac{80}{x}}\\1 - \frac{4}{x} &= \frac{2x - 48}{80}\\80 - \frac{320}{x} &= 2x - 48\\2x + \frac{320}{x} &= 128\\x^2 - 64x + 160 &= 0\\(x - \frac{20}{3})(x - 24) &= 0\end{aligned}$
解得$x = \frac{20}{3}$或$x = 24$（舍去），故$CM = \frac{20}{3}$。
$\frac{20}{3}$
11. (10 分)计算:
(1) $2\sqrt{2} + \sqrt{27} - \sqrt{8}$;
(2) $(2\sqrt{12} - 3\sqrt{\frac{1}{3}}) × \sqrt{6}$.
(1) $2\sqrt{2} + \sqrt{27} - \sqrt{8}$;
(2) $(2\sqrt{12} - 3\sqrt{\frac{1}{3}}) × \sqrt{6}$.
答案：11. 解: (1) 原式 $= 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3}$.
(2) 原式 $= (4\sqrt{3} - \sqrt{3}) × \sqrt{6} = 3\sqrt{3} × \sqrt{6} = 9\sqrt{2}$.
(2) 原式 $= (4\sqrt{3} - \sqrt{3}) × \sqrt{6} = 3\sqrt{3} × \sqrt{6} = 9\sqrt{2}$.
12. (10 分)某块绿地原来是用漫灌方式浇水,为节约用水,改用喷灌方式后,平均每天用水量为原来的 $80\%$,同样的 $10\ t$ 水可以比原来多用 5 天. 原来平均每天用多少吨水?
答案：12. 解: 设原来平均每天用 $x$ t 水. 根据题意, 得
$\frac{10}{0.8x} - \frac{10}{x} = 5$, 解得 $x = 0.5$.
经检验, $x = 0.5$ 是所列方程的解.
答: 原来平均每天用 $0.5$ t 水.
$\frac{10}{0.8x} - \frac{10}{x} = 5$, 解得 $x = 0.5$.
经检验, $x = 0.5$ 是所列方程的解.
答: 原来平均每天用 $0.5$ t 水.
13. (10 分)如图,转盘被平均分成 8 个区域,每个区域分别标注数字 1,2,3,4,5,6,7,8,任意转动转盘一次,规定:如果指针恰好指在分割线上,那么重转一次,直到指针指向某个标有数字的区域为止. 写出下列事件发生的概率:①$P$(指针落在标有 7 的区域)$=$
$\frac{1}{8}$
;②$P$(指针落在标有 10 的区域)$=$0
;③$P$(指针落在标有 3 的倍数的区域)$=$$\frac{1}{4}$
.以上事件中,①③
是随机事件,②
是必然事件.(填序号)答案：13. $\frac{1}{8}$ 0 $\frac{1}{4}$ ①③ ②
14. (20 分)如图,在直角梯形 $ABCD$ 中,$AB // DC,AB ⊥ BC,∠ A = 60^{\circ},AB = 2CD,E,F$ 分别为 $AB,AD$ 的中点,连接 $EF,EC,BF,CF$.
(1) 四边形 $AECD$ 的形状是
(2) 在不添加其他条件下,写出图中一对全等的三角形,用符号“$≌$”表示,并证明;
(3) 若 $CD = 2$,求四边形 $BCFE$ 的面积.
(1) 四边形 $AECD$ 的形状是
平行四边形
;(2) 在不添加其他条件下,写出图中一对全等的三角形,用符号“$≌$”表示,并证明;
(3) 若 $CD = 2$,求四边形 $BCFE$ 的面积.
答案：
14. (1) 平行四边形
(2) 解: 答案不唯一, 如 $△ BEF ≌ △ CDF$. 证明如下:
如答图, 连接 $DE$.
$\because AB = 2CD$, $E$ 为 $AB$ 的中点, $\therefore DC = EB$.
又 $\because DC // EB$, $\therefore$ 四边形 $BCDE$ 是平行四边形.
$\because AB ⊥ BC$, $\therefore$ 平行四边形 $BCDE$ 为矩形,
$\therefore ∠ AED = 90^{\circ}$.
$\because$ 在 $Rt△ ADE$ 中, $∠ A = 60^{\circ}$, $F$ 为 $AD$ 的中点,
$\therefore AE = \frac{1}{2}AD = AF = FD$, $EF = DF$,
$\therefore △ AEF$ 为等边三角形, $\therefore ∠ BEF = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\because ∠ FDC = 120^{\circ}$, $\therefore △ BEF ≌ △ CDF(SAS)$.
(3) 解: 若 $CD = 2$, 则 $AD = 4$, $DE = BC = 2\sqrt{3}$.
$\because S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{□ ABCD} = \frac{1}{2}CD · DE = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$,
$S_{△ CBE} = \frac{1}{2}BE · BC = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{四边形BCFE} = S_{△ ECF} + S_{△ CBE} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
14. (1) 平行四边形
(2) 解: 答案不唯一, 如 $△ BEF ≌ △ CDF$. 证明如下:
如答图, 连接 $DE$.
$\because AB = 2CD$, $E$ 为 $AB$ 的中点, $\therefore DC = EB$.
又 $\because DC // EB$, $\therefore$ 四边形 $BCDE$ 是平行四边形.
$\because AB ⊥ BC$, $\therefore$ 平行四边形 $BCDE$ 为矩形,
$\therefore ∠ AED = 90^{\circ}$.
$\because$ 在 $Rt△ ADE$ 中, $∠ A = 60^{\circ}$, $F$ 为 $AD$ 的中点,
$\therefore AE = \frac{1}{2}AD = AF = FD$, $EF = DF$,
$\therefore △ AEF$ 为等边三角形, $\therefore ∠ BEF = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\because ∠ FDC = 120^{\circ}$, $\therefore △ BEF ≌ △ CDF(SAS)$.
(3) 解: 若 $CD = 2$, 则 $AD = 4$, $DE = BC = 2\sqrt{3}$.
$\because S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{□ ABCD} = \frac{1}{2}CD · DE = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$,
$S_{△ CBE} = \frac{1}{2}BE · BC = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{四边形BCFE} = S_{△ ECF} + S_{△ CBE} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.