1. 下列调查中,最适合采用抽样调查的是 (
A.调查本班同学对宿迁市总面积的知晓情况
B.调查神舟十九号载人飞船发射前各零部件的质量
C.调查 2025 年五一劳动节期间到洪泽湖湿地旅游的游客满意度
D.审查某篇文章中的错别字
C
)A.调查本班同学对宿迁市总面积的知晓情况
B.调查神舟十九号载人飞船发射前各零部件的质量
C.调查 2025 年五一劳动节期间到洪泽湖湿地旅游的游客满意度
D.审查某篇文章中的错别字
答案：1. C
2. 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数. 则向上的一面的点数大于 4 的概率为 (
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
)A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案：2. B
解析：
正方体骰子共有6个面，点数分别为1,2,3,4,5,6，总共有6种等可能的结果。点数大于4的有5,6，共2种结果。所以向上一面的点数大于4的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
B
B
3. 化简$\frac{x^2 - 6x + 9}{2x - 6}$的结果是 (
A.$\frac{x + 3}{2}$
B.$\frac{x^2 + 9}{2}$
C.$\frac{x^2 - 9}{2}$
D.$\frac{x - 3}{2}$
D
)A.$\frac{x + 3}{2}$
B.$\frac{x^2 + 9}{2}$
C.$\frac{x^2 - 9}{2}$
D.$\frac{x - 3}{2}$
答案：3. D
解析：
$\frac{x^2 - 6x + 9}{2x - 6} = \frac{(x - 3)^2}{2(x - 3)} = \frac{x - 3}{2}$，结果为D。
4. 如图,四边形 $ABCD$ 是平行四边形,点 $A$ 在 $y$ 轴上,$B,C$ 两点在 $x$ 轴上,且$∠ ABC = 60^{\circ}$,点 $A$ 的坐标为$(0,\sqrt{3})$,点 $C$ 的坐标为$(3,0)$,则点 $D$ 的坐标为 (
A.$(4,\sqrt{3})$
B.$(4.5,\sqrt{3})$
C.$(5,\sqrt{3})$
D.$(6,\sqrt{3})$
A
)A.$(4,\sqrt{3})$
B.$(4.5,\sqrt{3})$
C.$(5,\sqrt{3})$
D.$(6,\sqrt{3})$
答案：4. A
解析：
解：
∵ 点 $ A(0,\sqrt{3}) $ 在 $ y $ 轴上，$ B,C $ 在 $ x $ 轴上，
∴ $ OA = \sqrt{3} $，$ ∠ AOB = 90° $。
在 $ \mathrm{Rt}△ AOB $ 中，$ ∠ ABC = 60° $，
$ \tan 60° = \frac{OA}{OB} ⇒ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{OB} ⇒ OB = 1 $，
∴ 点 $ B(-1,0) $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AD // BC $ 且 $ AD = BC $。
∵ $ B(-1,0) $，$ C(3,0) $，
∴ $ BC = 3 - (-1) = 4 $，
∴ $ AD = 4 $。
∵ $ A(0,\sqrt{3}) $，$ AD // x $ 轴，
∴ 点 $ D $ 的坐标为 $ (0 + 4,\sqrt{3}) = (4,\sqrt{3}) $。
答案：A
∵ 点 $ A(0,\sqrt{3}) $ 在 $ y $ 轴上，$ B,C $ 在 $ x $ 轴上，
∴ $ OA = \sqrt{3} $，$ ∠ AOB = 90° $。
在 $ \mathrm{Rt}△ AOB $ 中，$ ∠ ABC = 60° $，
$ \tan 60° = \frac{OA}{OB} ⇒ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{OB} ⇒ OB = 1 $，
∴ 点 $ B(-1,0) $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AD // BC $ 且 $ AD = BC $。
∵ $ B(-1,0) $，$ C(3,0) $，
∴ $ BC = 3 - (-1) = 4 $，
∴ $ AD = 4 $。
∵ $ A(0,\sqrt{3}) $，$ AD // x $ 轴，
∴ 点 $ D $ 的坐标为 $ (0 + 4,\sqrt{3}) = (4,\sqrt{3}) $。
答案：A
5. (2025·虎丘区期中)如图,正方形 $ABCD$ 内有两条相交线段 $MN,EF,M,N,E,F$ 分别在边 $AB,CD,AD,BC$ 上. 小明认为:若 $MN = EF$,则 $MN ⊥ EF$;小亮认为:若 $MN ⊥ EF$,则 $MN = EF$. 你认为 (
A.仅小明对
B.仅小亮对
C.两人都对
D.两人都不对
C
)A.仅小明对
B.仅小亮对
C.两人都对
D.两人都不对
答案：5. C
解析：
证明：设正方形边长为$a$，建立坐标系，设$A(0,a)$,$B(0,0)$,$C(a,0)$,$D(a,a)$。
小明观点：若$MN = EF$，则$MN ⊥ EF$
设$M(0,m)$,$N(n,a)$，$E(e,a)$,$F(a,f)$。
$MN^2 = n^2+(a - m)^2$，$EF^2=(a - e)^2+(a - f)^2$。
若$MN = EF$，取$M(0,0)$,$N(a,a)$，$E(0,a)$,$F(a,0)$，此时$MN = EF=\sqrt{2}a$且$MN⊥EF$；
取$M(0,1)$,$N(2,3)$，$E(0,3)$,$F(2,1)$（设$a=3$），$MN=EF=\sqrt{8}$，但$k_{MN}=1$，$k_{EF}=-1$，仍垂直。
反例：设$M(0,0)$,$N(3,4)$，$E(0,4)$,$F(3,0)$（$a=5$），$MN=EF=5$，$k_{MN}=\frac{4}{3}$，$k_{EF}=-\frac{4}{3}$，不垂直。
小明错误。
小亮观点：若$MN ⊥ EF$，则$MN = EF$
设$k_{MN}=k$，则$k_{EF}=-\frac{1}{k}$。
取$M(0,0)$,$N(1,1)$（$k=1$），$E(0,2)$,$F(1,1)$（$k=-1$），$MN=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2}$；
取$M(0,0)$,$N(2,1)$（$k=\frac{1}{2}$），$E(0,3)$,$F(1,1)$（$k=-2$），$MN=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{5}$。
反例：$M(0,0)$,$N(1,2)$（$k=2$），$E(0,0)$,$F(2,-1)$（$k=-\frac{1}{2}$），$MN=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{5}$；
取$M(0,0)$,$N(1,3)$（$k=3$），$E(0,0)$,$F(3,-1)$（$k=-\frac{1}{3}$），$MN=\sqrt{10}$，$EF=\sqrt{10}$。
反例：$M(0,0)$,$N(1,1)$（$k=1$），$E(0,0)$,$F(2,-2)$（$k=-1$），$MN=\sqrt{2}$，$EF=2\sqrt{2}$，$MN≠EF$。
小亮错误。
两人都不对，答案选D。
1
小明观点：若$MN = EF$，则$MN ⊥ EF$
设$M(0,m)$,$N(n,a)$，$E(e,a)$,$F(a,f)$。
$MN^2 = n^2+(a - m)^2$，$EF^2=(a - e)^2+(a - f)^2$。
若$MN = EF$，取$M(0,0)$,$N(a,a)$，$E(0,a)$,$F(a,0)$，此时$MN = EF=\sqrt{2}a$且$MN⊥EF$；
取$M(0,1)$,$N(2,3)$，$E(0,3)$,$F(2,1)$（设$a=3$），$MN=EF=\sqrt{8}$，但$k_{MN}=1$，$k_{EF}=-1$，仍垂直。
反例：设$M(0,0)$,$N(3,4)$，$E(0,4)$,$F(3,0)$（$a=5$），$MN=EF=5$，$k_{MN}=\frac{4}{3}$，$k_{EF}=-\frac{4}{3}$，不垂直。
小明错误。
小亮观点：若$MN ⊥ EF$，则$MN = EF$
设$k_{MN}=k$，则$k_{EF}=-\frac{1}{k}$。
取$M(0,0)$,$N(1,1)$（$k=1$），$E(0,2)$,$F(1,1)$（$k=-1$），$MN=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2}$；
取$M(0,0)$,$N(2,1)$（$k=\frac{1}{2}$），$E(0,3)$,$F(1,1)$（$k=-2$），$MN=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{5}$。
反例：$M(0,0)$,$N(1,2)$（$k=2$），$E(0,0)$,$F(2,-1)$（$k=-\frac{1}{2}$），$MN=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{5}$；
取$M(0,0)$,$N(1,3)$（$k=3$），$E(0,0)$,$F(3,-1)$（$k=-\frac{1}{3}$），$MN=\sqrt{10}$，$EF=\sqrt{10}$。
反例：$M(0,0)$,$N(1,1)$（$k=1$），$E(0,0)$,$F(2,-2)$（$k=-1$），$MN=\sqrt{2}$，$EF=2\sqrt{2}$，$MN≠EF$。
小亮错误。
两人都不对，答案选D。
1
6. 因式分解:$a^2 - b^2 - 2b - 1 =$
$(a + b + 1)(a - b - 1)$
.答案：6. $(a + b + 1)(a - b - 1)$
解析：
$a^2 - b^2 - 2b - 1 = a^2 - (b^2 + 2b + 1) = a^2 - (b + 1)^2 = (a + b + 1)(a - b - 1)$
7. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 6,BC = 8$,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,P$ 是线段 $AD$ 上任意一点(点 $P$ 不与 $A,D$ 重合),过点 $P$ 作 $PE ⊥ AC$ 于点 $E,PF ⊥ BD$ 于点 $F$,则 $PE + PF =$
4.8
.答案：7. 4.8
解析：
解：在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 8$，
$\therefore AD = BC = 8$，$CD = AB = 6$，$∠ ADC = 90°$，
$\therefore AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$，
$\because$ 矩形对角线互相平分，$\therefore AO = OD = \frac{1}{2}AC = 5$，
连接 $OP$，$\because S_{△ AOD} = S_{△ AOP} + S_{△ DOP}$，
$\therefore \frac{1}{4}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2}AO · PE + \frac{1}{2}OD · PF$，
$\because S_{矩形ABCD} = AB · BC = 6 × 8 = 48$，
$\therefore \frac{1}{4} × 48 = \frac{1}{2} × 5 · PE + \frac{1}{2} × 5 · PF$，
$\therefore 12 = \frac{5}{2}(PE + PF)$，
$\therefore PE + PF = \frac{24}{5} = 4.8$。
4.8
$\therefore AD = BC = 8$，$CD = AB = 6$，$∠ ADC = 90°$，
$\therefore AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$，
$\because$ 矩形对角线互相平分，$\therefore AO = OD = \frac{1}{2}AC = 5$，
连接 $OP$，$\because S_{△ AOD} = S_{△ AOP} + S_{△ DOP}$，
$\therefore \frac{1}{4}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2}AO · PE + \frac{1}{2}OD · PF$，
$\because S_{矩形ABCD} = AB · BC = 6 × 8 = 48$，
$\therefore \frac{1}{4} × 48 = \frac{1}{2} × 5 · PE + \frac{1}{2} × 5 · PF$，
$\therefore 12 = \frac{5}{2}(PE + PF)$，
$\therefore PE + PF = \frac{24}{5} = 4.8$。
4.8
8. 若 $x = -1$,则代数式$\frac{x^2 + 6x + 9}{x - 2} ÷ (x + 2 - \frac{5}{x - 2})$的值为
$-\frac{1}{2}$
.答案：8. $-\frac{1}{2}$
解析：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 + 6x + 9}{x - 2} ÷ (x + 2 - \frac{5}{x - 2})\\=&\frac{(x + 3)^2}{x - 2} ÷ (\frac{(x + 2)(x - 2) - 5}{x - 2})\\=&\frac{(x + 3)^2}{x - 2} ÷ \frac{x^2 - 4 - 5}{x - 2}\\=&\frac{(x + 3)^2}{x - 2} ÷ \frac{x^2 - 9}{x - 2}\\=&\frac{(x + 3)^2}{x - 2} × \frac{x - 2}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{x + 3}{x - 3}\\\end{aligned}$
当$x = -1$时，$\frac{-1 + 3}{-1 - 3} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}$
当$x = -1$时，$\frac{-1 + 3}{-1 - 3} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}$