10. (10分)因式分解:(1)$x-2x^{2}+x^{3}$;
(2)$4a^{2}-36$.
(2)$4a^{2}-36$.
答案：10. 解: (1) 原式 $ = x(1 - 2x + x^{2}) = x(1 - x)^{2} $.
(2) 原式 $ = 4(a^{2} - 9) = 4(a + 3)(a - 3) $.
(2) 原式 $ = 4(a^{2} - 9) = 4(a + 3)(a - 3) $.
11. (15分)某文教店老板到批发市场选购A,B两种品牌的绘图工具套装,每套A品牌套装的进价比B品牌多2.5元,已知用200元购进A品牌套装的数量是用75元购进B品牌套装的数量的2倍.
(1)求A,B两种品牌套装每套进价分别为多少元;
(2)若A品牌套装每套售价为13元,B品牌套装每套售价为9.5元,店老板决定,购进B品牌的数量比购进A品牌数量的2倍还多4套.两种工具套装全部售出后,要使总获利超过120元,则最少购进A品牌套装多少套?
(1)求A,B两种品牌套装每套进价分别为多少元;
(2)若A品牌套装每套售价为13元,B品牌套装每套售价为9.5元,店老板决定,购进B品牌的数量比购进A品牌数量的2倍还多4套.两种工具套装全部售出后,要使总获利超过120元,则最少购进A品牌套装多少套?
答案：11. 解: (1) 设 B 品牌套装每套进价为 $ x $ 元, 则 A 品牌套装每套进价为 $ (x + 2.5) $ 元.
根据题意, 得 $ \frac{200}{x + 2.5} = 2 × \frac{75}{x} $, 解得 $ x = 7.5 $.
经检验, $ x = 7.5 $ 是所列方程的解.
$ \therefore x + 2.5 = 10 $.
答: A, B 两种品牌套装每套进价分别为 10 元, 7.5 元.
(2) 设购进 A 品牌套装 $ m $ 套. 根据题意, 得
$ (13 - 10)m + (9.5 - 7.5)(2m + 4) ＞ 120 $, 解得 $ m ＞ 16 $.
$ \because m $ 为整数, $ \therefore m ≥ 17 $.
答: 最少购进 A 品牌套装 17 套.
根据题意, 得 $ \frac{200}{x + 2.5} = 2 × \frac{75}{x} $, 解得 $ x = 7.5 $.
经检验, $ x = 7.5 $ 是所列方程的解.
$ \therefore x + 2.5 = 10 $.
答: A, B 两种品牌套装每套进价分别为 10 元, 7.5 元.
(2) 设购进 A 品牌套装 $ m $ 套. 根据题意, 得
$ (13 - 10)m + (9.5 - 7.5)(2m + 4) ＞ 120 $, 解得 $ m ＞ 16 $.
$ \because m $ 为整数, $ \therefore m ≥ 17 $.
答: 最少购进 A 品牌套装 17 套.
12. (15分)如图,$□ ABCD$的对角线AC,BD相交于点O,E是CD边的中点,连接OE.过点O,E作直线BC的垂线,垂足分别为F,G.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若四边形ABCD是菱形,$AC=6$,$BD=8$,求矩形OEFG的面积.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若四边形ABCD是菱形,$AC=6$,$BD=8$,求矩形OEFG的面积.
答案：12. (1) 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形, $ \therefore BO = OD $.
$ \because E $ 是 $ CD $ 边的中点, $ \therefore DE = CE $,
$ \therefore OE $ 是 $ △ BCD $ 的中位线, $ \therefore OE // BC $, 即 $ OE // FG $.
$ \because OF ⊥ BC, EG ⊥ BC, \therefore OF // EG $,
$ \therefore $ 四边形 $ OEGF $ 是平行四边形.
$ \because ∠ OFG = 90^{\circ}, \therefore $ 平行四边形 $ OEGF $ 是矩形.
(2) 解: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形, $ \therefore AC ⊥ BD $,
$ \therefore ∠ BOC = ∠ COD = 90^{\circ}, OB = OD = \frac{1}{2}BD = 4, OC = \frac{1}{2}AC = 3 $,
$ \therefore BC = CD = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 $.
$ \because E $ 是 $ CD $ 边的中点, $ \therefore OE = \frac{1}{2}CD = \frac{5}{2} $.
$ \because OF ⊥ BC, \therefore S_{△ BOC} = \frac{1}{2}BC · OF = \frac{1}{2}OB · OC $,
$ \therefore OF = \frac{OB · OC}{BC} = \frac{4 × 3}{5} = \frac{12}{5} $,
$ \therefore $ 矩形 $ OEGF $ 的面积 $ = OE · OF = \frac{5}{2} × \frac{12}{5} = 6 $.
$ \because E $ 是 $ CD $ 边的中点, $ \therefore DE = CE $,
$ \therefore OE $ 是 $ △ BCD $ 的中位线, $ \therefore OE // BC $, 即 $ OE // FG $.
$ \because OF ⊥ BC, EG ⊥ BC, \therefore OF // EG $,
$ \therefore $ 四边形 $ OEGF $ 是平行四边形.
$ \because ∠ OFG = 90^{\circ}, \therefore $ 平行四边形 $ OEGF $ 是矩形.
(2) 解: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形, $ \therefore AC ⊥ BD $,
$ \therefore ∠ BOC = ∠ COD = 90^{\circ}, OB = OD = \frac{1}{2}BD = 4, OC = \frac{1}{2}AC = 3 $,
$ \therefore BC = CD = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 $.
$ \because E $ 是 $ CD $ 边的中点, $ \therefore OE = \frac{1}{2}CD = \frac{5}{2} $.
$ \because OF ⊥ BC, \therefore S_{△ BOC} = \frac{1}{2}BC · OF = \frac{1}{2}OB · OC $,
$ \therefore OF = \frac{OB · OC}{BC} = \frac{4 × 3}{5} = \frac{12}{5} $,
$ \therefore $ 矩形 $ OEGF $ 的面积 $ = OE · OF = \frac{5}{2} × \frac{12}{5} = 6 $.
13. (15分)如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.
(1)求证:$△ BCE≌△ DCF$;
(2)当AB与BC满足什么位置关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.
(1)求证:$△ BCE≌△ DCF$;
(2)当AB与BC满足什么位置关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.
答案：13. (1) 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形,
$ \therefore AB = BC = CD = DA, ∠ B = ∠ D $.
$ \because $ 点 $ E, F $ 分别为 $ AB, AD $ 的中点,
$ \therefore BE = \frac{1}{2}AB, DF = \frac{1}{2}AD, \therefore BE = DF $,
$ \therefore △ BCE ≌ △ DCF(SAS) $.
(2) 解: 当 $ AB ⊥ BC $ 时, 四边形 $ AEOF $ 是正方形. 理由如下:
$ \because $ 点 $ E, O, F $ 分别为 $ AB, AC, AD $ 的中点,
$ \therefore OE = \frac{1}{2}BC, OF = \frac{1}{2}CD, AE = \frac{1}{2}AB, AF = \frac{1}{2}AD $,
$ OE // BC $,
$ \therefore AE = AF = OE = OF, \therefore $ 四边形 $ AEOF $ 是菱形.
$ \because AB ⊥ BC, OE // BC, \therefore ∠ AEO = ∠ B = 90^{\circ} $,
$ \therefore $ 菱形 $ AEOF $ 是正方形.
$ \therefore AB = BC = CD = DA, ∠ B = ∠ D $.
$ \because $ 点 $ E, F $ 分别为 $ AB, AD $ 的中点,
$ \therefore BE = \frac{1}{2}AB, DF = \frac{1}{2}AD, \therefore BE = DF $,
$ \therefore △ BCE ≌ △ DCF(SAS) $.
(2) 解: 当 $ AB ⊥ BC $ 时, 四边形 $ AEOF $ 是正方形. 理由如下:
$ \because $ 点 $ E, O, F $ 分别为 $ AB, AC, AD $ 的中点,
$ \therefore OE = \frac{1}{2}BC, OF = \frac{1}{2}CD, AE = \frac{1}{2}AB, AF = \frac{1}{2}AD $,
$ OE // BC $,
$ \therefore AE = AF = OE = OF, \therefore $ 四边形 $ AEOF $ 是菱形.
$ \because AB ⊥ BC, OE // BC, \therefore ∠ AEO = ∠ B = 90^{\circ} $,
$ \therefore $ 菱形 $ AEOF $ 是正方形.