12. (10 分)(2025·宿豫期末)解方程:$ \dfrac{x}{3x - 9} = \dfrac{1}{x - 3} - 1 $.
答案：12. 解: 方程两边同乘 $ 3(x - 3) $, 得 $ x = 3 - (3x - 9) $,
解这个方程, 得 $ x = 3 $.
检验: 当 $ x = 3 $ 时, $ 3(x - 3) = 0 $, $ x = 3 $ 是增根.
∴ 原方程无解.
解这个方程, 得 $ x = 3 $.
检验: 当 $ x = 3 $ 时, $ 3(x - 3) = 0 $, $ x = 3 $ 是增根.
∴ 原方程无解.
13. (15 分)(2025·宿豫期末)【阅读材料】问题:已知 $ x = \sqrt{3} + 1 $,求 $ x^2 - 2x + 2 $ 的值.
小明的做法是:$ \because x = \sqrt{3} + 1, \therefore x - 1 = \sqrt{3} $. $ \therefore (x - 1)^2 = 3 $. $ \therefore x^2 - 2x + 1 = 3 $. $ \therefore x^2 - 2x = 2 $. $ \therefore x^2 - 2x + 2 = 2 + 2 = 4 $. 小明的做法是将已知条件适当地变形,再整体代入所求代数式进行解答.
小丽的做法是:$ x^2 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1 + 1 = (x - 1)^2 + 1 $, $ \therefore $ 当 $ x = \sqrt{3} + 1 $ 时,原式 $ = (\sqrt{3} + 1 - 1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4 $. 小丽的做法是将结论中代数式适当地变形,再将已知条件代入变形式进行解答.
【解决问题】(1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解决问题:已知 $ x = \sqrt{5} - 3 $,求 $ x^2 + 6x - 4 $ 的值;
(2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”,运用恰当的方法解决问题:已知 $ x = \dfrac{\sqrt{10} - 2}{3} $,求 $ 6x^3 + 11x^2 $ 的值.
小明的做法是:$ \because x = \sqrt{3} + 1, \therefore x - 1 = \sqrt{3} $. $ \therefore (x - 1)^2 = 3 $. $ \therefore x^2 - 2x + 1 = 3 $. $ \therefore x^2 - 2x = 2 $. $ \therefore x^2 - 2x + 2 = 2 + 2 = 4 $. 小明的做法是将已知条件适当地变形,再整体代入所求代数式进行解答.
小丽的做法是:$ x^2 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1 + 1 = (x - 1)^2 + 1 $, $ \therefore $ 当 $ x = \sqrt{3} + 1 $ 时,原式 $ = (\sqrt{3} + 1 - 1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4 $. 小丽的做法是将结论中代数式适当地变形,再将已知条件代入变形式进行解答.
【解决问题】(1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解决问题:已知 $ x = \sqrt{5} - 3 $,求 $ x^2 + 6x - 4 $ 的值;
(2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”,运用恰当的方法解决问题:已知 $ x = \dfrac{\sqrt{10} - 2}{3} $,求 $ 6x^3 + 11x^2 $ 的值.
答案：13. 解: (1) 仿照“小明的做法”:
∵ $ x = \sqrt{5} - 3 $,
∴ $ x + 3 = \sqrt{5} $,
∴ $ x^{2} + 6x - 4 = x^{2} + 6x + 9 - 13 = (x + 3)^{2} - 13 = (\sqrt{5})^{2} - 13 = 5 - 13 = -8 $.
仿照“小丽的做法”:
∵ $ x^{2} + 6x - 4 = x^{2} + 6x + 9 - 13 = (x + 3)^{2} - 13 $,
∴ 当 $ x = \sqrt{5} - 3 $ 时,
原式 $ = (\sqrt{5} - 3 + 3)^{2} - 13 = 5 - 13 = -8 $.
(2)
∵ $ x = \frac{\sqrt{10} - 2}{3} $,
∴ $ 3x + 2 = \sqrt{10} $,
∴ $ (3x + 2)^{2} = 10 $,
∴ $ 9x^{2} + 12x + 4 = 10 $,
∴ $ 3x^{2} + 4x = 2 $,
∴ $ 6x^{2} + 8x = 4 $,
∴ $ 6x^{3} + 11x^{2} = x(6x^{2} + 8x + 3x) = x(4 + 3x) = 3x^{2} + 4x = 2 $.
∵ $ x = \sqrt{5} - 3 $,
∴ $ x + 3 = \sqrt{5} $,
∴ $ x^{2} + 6x - 4 = x^{2} + 6x + 9 - 13 = (x + 3)^{2} - 13 = (\sqrt{5})^{2} - 13 = 5 - 13 = -8 $.
仿照“小丽的做法”:
∵ $ x^{2} + 6x - 4 = x^{2} + 6x + 9 - 13 = (x + 3)^{2} - 13 $,
∴ 当 $ x = \sqrt{5} - 3 $ 时,
原式 $ = (\sqrt{5} - 3 + 3)^{2} - 13 = 5 - 13 = -8 $.
(2)
∵ $ x = \frac{\sqrt{10} - 2}{3} $,
∴ $ 3x + 2 = \sqrt{10} $,
∴ $ (3x + 2)^{2} = 10 $,
∴ $ 9x^{2} + 12x + 4 = 10 $,
∴ $ 3x^{2} + 4x = 2 $,
∴ $ 6x^{2} + 8x = 4 $,
∴ $ 6x^{3} + 11x^{2} = x(6x^{2} + 8x + 3x) = x(4 + 3x) = 3x^{2} + 4x = 2 $.
14. (15 分)定义:如果四边形一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半,那么我们称这样的四边形为“等距四边形”.
(1)在①平行四边形,②矩形,③菱形中,一定是“等距四边形”的是
(2)如图①,在菱形 $ ABCD $ 中,$ AB = 4, ∠ A = 60°, BE ⊥ CD $ 于 $ E $,点 $ F $ 是菱形 $ ABCD $ 边上的一点,顺次连接 $ B,E,D,F $,若四边形 $ BEDF $ 为“等距四边形”,求线段 $ EF $ 的长;
(3)如图②,在等边三角形 $ ABC $ 中,$ AB = 4 $,点 $ P $ 是 $ △ ABC $ 内任意一点,在 $ AB,BC,CA $ 上是否分别存在点,使得这些点与点 $ P $ 的连线将 $ △ ABC $ 恰好分割成三个“等距四边形”? 若存在,请直接写出这三个“等距四边形”的周长和;若不存在,请说明理由.
(1)在①平行四边形,②矩形,③菱形中,一定是“等距四边形”的是
②
;(填序号)(2)如图①,在菱形 $ ABCD $ 中,$ AB = 4, ∠ A = 60°, BE ⊥ CD $ 于 $ E $,点 $ F $ 是菱形 $ ABCD $ 边上的一点,顺次连接 $ B,E,D,F $,若四边形 $ BEDF $ 为“等距四边形”,求线段 $ EF $ 的长;
(3)如图②,在等边三角形 $ ABC $ 中,$ AB = 4 $,点 $ P $ 是 $ △ ABC $ 内任意一点,在 $ AB,BC,CA $ 上是否分别存在点,使得这些点与点 $ P $ 的连线将 $ △ ABC $ 恰好分割成三个“等距四边形”? 若存在,请直接写出这三个“等距四边形”的周长和;若不存在,请说明理由.
答案：
14. (1) ②
(2) 解: 如答图①, 若 $ F $ 为 $ AD $ 的中点, 此时 $ BF ⊥ AD $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 为菱形, $ ∠ A = 60^{\circ} $,
∴ $ △ BCD $ 为等边三角形.
∵ $ BE ⊥ CD $,
∴ 点 $ E $ 为 $ CD $ 的中点, 即 $ DE = \frac{1}{2}CD = 2 $.
∵ 点 $ F $ 为 $ AD $ 的中点,
∴ $ △ DFE $ 为等腰三角形, 且 $ ∠ FDE = 120^{\circ} $,
∴ $ EF = \sqrt{3}DE = 2\sqrt{3} $;
如答图②, 若 $ F $ 为 $ AB $ 的中点, 此时 $ DF ⊥ AB $.
此时四边形 $ BEDF $ 为矩形,
∴ $ EF = BD = 4 $.
综上可知, 线段 $ EF $ 的长为 $ 4 $ 或 $ 2\sqrt{3} $.
(3) 解: 如答图③, 过点 $ P $ 分别向 $ AB $, $ BC $, $ AC $ 作垂线, 垂足分别为 $ D $, $ E $, $ F $. 连接 $ PC $, $ PB $, $ PA $, 取 $ BP $ 的中点 $ M $, 连接 $ DM $, $ EM $.
∵ 在 $ \mathrm{Rt} △ BPD $ 中, $ DM = \frac{1}{2}BP $,
在 $ \mathrm{Rt} △ BEP $ 中, $ EM = \frac{1}{2}BP $,
∴ $ EM = DM = \frac{1}{2}BP $,
∴ 四边形 $ BDPE $ 是“等距四边形”.
同理可证四边形 $ ADPF $、四边形 $ CEPF $ 是“等距四边形”.
∵ $ S_{△ ABC} = S_{△ APB} + S_{△ APC} + S_{△ BPC} $
$ = \frac{1}{2}AB · PD + \frac{1}{2}AC · PF + \frac{1}{2}BC · PE $
$ = 2(PD + PF + PE) = \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} $,
∴ $ PD + PF + PE = 2\sqrt{3} $.
∴ 这三个“等距四边形”的周长和为 $ (AD + AF + PD + PF) + (BE + BD + PE + PD) + (CF + CE + PF + PE) = AC + AB + BC + 2(PD + PE + PF) = 12 + 2(PD + PE + PF) = 12 + 4\sqrt{3} $.
14. (1) ②
(2) 解: 如答图①, 若 $ F $ 为 $ AD $ 的中点, 此时 $ BF ⊥ AD $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 为菱形, $ ∠ A = 60^{\circ} $,
∴ $ △ BCD $ 为等边三角形.
∵ $ BE ⊥ CD $,
∴ 点 $ E $ 为 $ CD $ 的中点, 即 $ DE = \frac{1}{2}CD = 2 $.
∵ 点 $ F $ 为 $ AD $ 的中点,
∴ $ △ DFE $ 为等腰三角形, 且 $ ∠ FDE = 120^{\circ} $,
∴ $ EF = \sqrt{3}DE = 2\sqrt{3} $;
如答图②, 若 $ F $ 为 $ AB $ 的中点, 此时 $ DF ⊥ AB $.
此时四边形 $ BEDF $ 为矩形,
∴ $ EF = BD = 4 $.
综上可知, 线段 $ EF $ 的长为 $ 4 $ 或 $ 2\sqrt{3} $.
(3) 解: 如答图③, 过点 $ P $ 分别向 $ AB $, $ BC $, $ AC $ 作垂线, 垂足分别为 $ D $, $ E $, $ F $. 连接 $ PC $, $ PB $, $ PA $, 取 $ BP $ 的中点 $ M $, 连接 $ DM $, $ EM $.
∵ 在 $ \mathrm{Rt} △ BPD $ 中, $ DM = \frac{1}{2}BP $,
在 $ \mathrm{Rt} △ BEP $ 中, $ EM = \frac{1}{2}BP $,
∴ $ EM = DM = \frac{1}{2}BP $,
∴ 四边形 $ BDPE $ 是“等距四边形”.
同理可证四边形 $ ADPF $、四边形 $ CEPF $ 是“等距四边形”.
∵ $ S_{△ ABC} = S_{△ APB} + S_{△ APC} + S_{△ BPC} $
$ = \frac{1}{2}AB · PD + \frac{1}{2}AC · PF + \frac{1}{2}BC · PE $
$ = 2(PD + PF + PE) = \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} $,
∴ $ PD + PF + PE = 2\sqrt{3} $.
∴ 这三个“等距四边形”的周长和为 $ (AD + AF + PD + PF) + (BE + BD + PE + PD) + (CF + CE + PF + PE) = AC + AB + BC + 2(PD + PE + PF) = 12 + 2(PD + PE + PF) = 12 + 4\sqrt{3} $.