2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD = CD$，$∠ B = ∠ C$.
求证：四边形 $ABCD$ 是等腰梯形.
求证：四边形 $ABCD$ 是等腰梯形.
答案：
2. 证明:如答图，延长BA,CD交于点P.
∵∠B=∠C,
∴PB=PC;
∵AB=CD,
∴PB−AB=PC−CD,即PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA.
∵∠B+∠C+∠P=∠PAD+∠PDA+∠P=180°,
∴∠B+∠C=∠PAD+∠PDA,
即2∠B=2∠PAD,
∴∠B=∠PAD,
∴AD//BC.
∵AB=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
2. 证明:如答图，延长BA,CD交于点P.
∵∠B=∠C,
∴PB=PC;
∵AB=CD,
∴PB−AB=PC−CD,即PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA.
∵∠B+∠C+∠P=∠PAD+∠PDA+∠P=180°,
∴∠B+∠C=∠PAD+∠PDA,
即2∠B=2∠PAD,
∴∠B=∠PAD,
∴AD//BC.
∵AB=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
3. 如图①，在直角梯形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$AB ⊥ BC$，$∠ DCB = 75^{\circ}$，以 $CD$ 为一边的等边三角形 $DCE$ 的另一顶点 $E$ 在腰 $AB$ 上.
(1) 求 $∠ AED$ 的度数；
(2) 求证：$AB = BC$；
(3) 如图②，若 $F$ 为线段 $CD$ 上一点，$∠ FBC = 30^{\circ}$. 求 $\frac{DF}{FC}$ 的值.
(1) 求 $∠ AED$ 的度数；
(2) 求证：$AB = BC$；
(3) 如图②，若 $F$ 为线段 $CD$ 上一点，$∠ FBC = 30^{\circ}$. 求 $\frac{DF}{FC}$ 的值.
答案：
3. (1)解:
∵AD//BC,∠DCB=75°,
∴∠ADC=180°−∠BCD=105°.
∵△DCE是等边三角形,
∴∠CDE=60°,
∴∠ADE=∠ADC−∠CDE=45°,
∵AD//BC,AB⊥BC,
∴∠A=90°,
∴∠AED=90°−∠ADE=45°.
(2)证明:由(1)知AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.
∵△DCE是等边三角形,
∴CD=CE,
∴点C在线段DE的垂直平分线上.
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE.
如答图①,连接AC;
∵∠ADE=45°,
∴∠BAC=45°,
又
∵AB⊥BC,
∴AB=BC.
(3)解:
∵∠FBC=30°,
∴∠ABF=60°.
如答图②,连接AF,延长AD,BF相交于点G.
∵∠FBC=30°,∠DCB=75°,
∴∠BFC=75°=∠BCF,
∴BC=BF;
由(2)知BA=BC,
∴BA=BF.
又
∵∠ABF=60°,
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=AF=BF.
又
∵AD//BC,AB⊥BC,
∴∠FAG=∠G=30°.
∴FG=FA=FB.
∵∠FBC=∠G=30°,FB=FG,∠DFG=∠CFB,
∴△BCF≌△GDF(ASA).
∴CF=DF,即F是线段CD的中点,
∴$\frac{DF}{FC}$=1,
即$\frac{DF}{FC}$的值为1.
3. (1)解:
∵AD//BC,∠DCB=75°,
∴∠ADC=180°−∠BCD=105°.
∵△DCE是等边三角形,
∴∠CDE=60°,
∴∠ADE=∠ADC−∠CDE=45°,
∵AD//BC,AB⊥BC,
∴∠A=90°,
∴∠AED=90°−∠ADE=45°.
(2)证明:由(1)知AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.
∵△DCE是等边三角形,
∴CD=CE,
∴点C在线段DE的垂直平分线上.
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE.
如答图①,连接AC;
∵∠ADE=45°,
∴∠BAC=45°,
又
∵AB⊥BC,
∴AB=BC.
(3)解:
∵∠FBC=30°,
∴∠ABF=60°.
如答图②,连接AF,延长AD,BF相交于点G.
∵∠FBC=30°,∠DCB=75°,
∴∠BFC=75°=∠BCF,
∴BC=BF;
由(2)知BA=BC,
∴BA=BF.
又
∵∠ABF=60°,
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=AF=BF.
又
∵AD//BC,AB⊥BC,
∴∠FAG=∠G=30°.
∴FG=FA=FB.
∵∠FBC=∠G=30°,FB=FG,∠DFG=∠CFB,
∴△BCF≌△GDF(ASA).
∴CF=DF,即F是线段CD的中点,
∴$\frac{DF}{FC}$=1,
即$\frac{DF}{FC}$的值为1.