1. 如图，$BD$为平行四边形$ABCD$的对角线，$M$，$N$分别在边$AD$，$AB$上，且$MN// BD$，连接$CM$，$CN$，则$S_{△ DMC}\_\_\_\_\_\_S_{△ BNC}$.(填“$＜$”“$=$”或“$＞$”)
答案：
1. = 点拨:连接BM,DN,如答图.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB//CD,
∴$S_{△MDC}=S_{△MDB}$，$S_{△BDN}=S_{△NBC} $
∵MN//BD,
∴$S_{△MDB}=S_{△BDN},$
∴$S_{△MDC}=S_{△MDB}=S_{△BDN}=S_{△NBC},$
∴$S_{△DMC}=S_{△BNC}.$
1. = 点拨:连接BM,DN,如答图.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB//CD,
∴$S_{△MDC}=S_{△MDB}$，$S_{△BDN}=S_{△NBC} $
∵MN//BD,
∴$S_{△MDB}=S_{△BDN},$
∴$S_{△MDC}=S_{△MDB}=S_{△BDN}=S_{△NBC},$
∴$S_{△DMC}=S_{△BNC}.$
2. 如图，在矩形$ABCD$中，$AD = 6$，$AB = 5$，点$E$，$F$，$G$，$H$分别在$AB$，$AD$，$BC$，$CD$上，且$AF = CG = 2$，$BE = DH = 1$，点$P$是直线$EF$，$GH$之间任意一点，连接$PE$，$PF$，$PG$，$PH$，则$△ PEF$与$△ PGH$的面积和等于
9
.答案：
2. 9 点拨:如答图,连接EG,FH.
∵在矩形ABCD中,AD=6,AB=5,AF=CG=2,BE=DH=1,
∴∠A=∠C=90°,AE=AB−BE=5−1=4,CH=CD−DH=5−1=4,
∴AE=CH.
在△AEF和△CHG中，{AE=CH，∠A=∠C，AF=CG}
∴△AEF≌△CHG(SAS),
∴EF=GH.
同理可得△BGE≌△DFH,
∴EG=FH,
∴四边形EGHF是平行四边形,
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF与△PGH的面积和=$\frac{1}{2}$×平行四边形EGHF的面积.
∵平行四边形EGHF的面积=5×6−2×$\frac{1}{2}$×2×4−2×$\frac{1}{2}$×1×(6−2)=18,
∴△PEF与△PGH的面积和=$\frac{1}{2}$×18=9.
2. 9 点拨:如答图,连接EG,FH.
∵在矩形ABCD中,AD=6,AB=5,AF=CG=2,BE=DH=1,
∴∠A=∠C=90°,AE=AB−BE=5−1=4,CH=CD−DH=5−1=4,
∴AE=CH.
在△AEF和△CHG中，{AE=CH，∠A=∠C，AF=CG}
∴△AEF≌△CHG(SAS),
∴EF=GH.
同理可得△BGE≌△DFH,
∴EG=FH,
∴四边形EGHF是平行四边形,
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF与△PGH的面积和=$\frac{1}{2}$×平行四边形EGHF的面积.
∵平行四边形EGHF的面积=5×6−2×$\frac{1}{2}$×2×4−2×$\frac{1}{2}$×1×(6−2)=18,
∴△PEF与△PGH的面积和=$\frac{1}{2}$×18=9.
3. 如图，已知$AB// CD$，$AD// CB$，$P$，$Q$分别是线段$BC$，$CD$上的点，$CP=\frac{1}{3}BC$，$CQ=\frac{1}{3}CD$，$E$，$F$分别是线段$AB$，$AD$上的点，$AE=\frac{2}{3}AB$，$AF=\frac{2}{3}AD$，连接$PQ$，$EF$，若三角形$PCQ$的面积是$4$.
(1) 求四边形$ABCD$的面积；
(2) 求证：$PQ// EF$.
(1) 求四边形$ABCD$的面积；
(2) 求证：$PQ// EF$.
答案：
3. (1)解:连接PD,BD,如答图.
∵CP=$\frac{1}{3}$BC，CQ=$\frac{1}{3}$CD，S_{△PCQ}=4，
∴$\frac{S_{△PCQ}}{S_{△PCD}}=\frac{1}{3}$，$\frac{S_{△PDC}}{S_{△BCD}}=\frac{1}{3}$，
∴S_{△PCD}=12，S_{△BCD}=36，则S_{△BCD}=S_{△ABD}=36，
∴四边形ABCD的面积为72.
(2)证明:连接BQ,BF,DE,如答图,
可得S_{△BPD}=$\frac{2}{3}$S_{△BCD}=24，S_{△BDQ}=$\frac{2}{3}$S_{△BCD}=24，
∴PQ//BD，同理可得S_{△BED}=S_{△BFD}=12，
∴EF//BD，
∴PQ//BD//EF，即PQ//EF.
3. (1)解:连接PD,BD,如答图.
∵CP=$\frac{1}{3}$BC，CQ=$\frac{1}{3}$CD，S_{△PCQ}=4，
∴$\frac{S_{△PCQ}}{S_{△PCD}}=\frac{1}{3}$，$\frac{S_{△PDC}}{S_{△BCD}}=\frac{1}{3}$，
∴S_{△PCD}=12，S_{△BCD}=36，则S_{△BCD}=S_{△ABD}=36，
∴四边形ABCD的面积为72.
(2)证明:连接BQ,BF,DE,如答图,
可得S_{△BPD}=$\frac{2}{3}$S_{△BCD}=24，S_{△BDQ}=$\frac{2}{3}$S_{△BCD}=24，
∴PQ//BD，同理可得S_{△BED}=S_{△BFD}=12，
∴EF//BD，
∴PQ//BD//EF，即PQ//EF.