1. 如图,在平行四边形 ABCD 中,$CD = 2AD,BE⊥ AD$于点 E,F 为 DC 的中点,连接EF,BF,下列结论:①$∠ABC = 2∠ABF$;②$BE＞\sqrt{2}BF$;③$S_{四边形DEBC}=2S_{△ EFB}$;④$∠CFE = 3∠DEF$.其中正确的结论有
①③④
. (填序号)答案：
1.①③④ 点拨:如答图,延长EF交BC的延长线于点G,取AB的中点H,连接FH.
∵F是CD的中点，
∴DF=FC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.
∵CD=2AD,
∴CF=CB,
∴∠CFB=∠CBF;
∵CD//AB,
∴∠CFB=∠FBH,
∴∠CBF=∠FBH,
∴∠ABC=2∠ABF.故①正确.
∵DE//CG,
∴∠D=∠FCG.
∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,
∴△DFE≌△CFG(ASA),
∴$S_{△DFE}=S_{△CFG},$
∴$S_{四边形DEBC}=S_{△EBG}=2S_{△EFB},$故③正确.
当点E与点A重合时,BE=√2BF,故②错误.
∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,
∴CF=BH;
∵CF//BH,
∴四边形BCFH是平行四边形.
∵CF=BC,
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH.
∵FH//AD//BC,BE⊥AD,
∴FH⊥BE.
∵F为CD的中点，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,
∴∠CFE=3∠DEF,故④正确.
1.①③④ 点拨:如答图,延长EF交BC的延长线于点G,取AB的中点H,连接FH.
∵F是CD的中点，
∴DF=FC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.
∵CD=2AD,
∴CF=CB,
∴∠CFB=∠CBF;
∵CD//AB,
∴∠CFB=∠FBH,
∴∠CBF=∠FBH,
∴∠ABC=2∠ABF.故①正确.
∵DE//CG,
∴∠D=∠FCG.
∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,
∴△DFE≌△CFG(ASA),
∴$S_{△DFE}=S_{△CFG},$
∴$S_{四边形DEBC}=S_{△EBG}=2S_{△EFB},$故③正确.
当点E与点A重合时,BE=√2BF,故②错误.
∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,
∴CF=BH;
∵CF//BH,
∴四边形BCFH是平行四边形.
∵CF=BC,
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH.
∵FH//AD//BC,BE⊥AD,
∴FH⊥BE.
∵F为CD的中点，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,
∴∠CFE=3∠DEF,故④正确.
2. 如图,在平行四边形 ABCD 中,$AB = 6,BC = 8$,线段 EF 与线段 MN 分别过平行四边形 ABCD 的对称中心 O,且将平行四边形 ABCD 分成面积相等的四部分. 若$AM = 2$,则$BE =$
$\frac{3}{2}$
.答案：
2.$\frac{3}{2}$ 点拨:连接AC,BD,如答图.
∵O为平行四边形ABCD的对称中心，
∴AC与BD相交于点O.
∵AC与BD是平行四边形ABCD的对角线，
∴S_{△AOB}=S_{△AOD}.
过点O分别作AB和AD的垂线，垂足分别为P和Q,
∴$\frac{1}{2}$AB·OP=$\frac{1}{2}$AD·OQ.
∵AB=6,AD=BC=8,
∴3OP=4OQ,
即$\frac{OQ}{OP}=\frac{3}{4}$.
∵线段MN与EF将平行四边形ABCD分成面积相等的四部分，
∴S_{△AOB}=S_{四边形AEOM},即S_{△AOE}+S_{△BOE}=S_{△AOE}+S_{△AOM},
∴S_{△BOE}=S_{△AOM},
∴$\frac{1}{2}$BE·OP=$\frac{1}{2}$AM·OQ,
∴BE=$\frac{OQ}{OP}$·AM=$\frac{3}{4}$×2=$\frac{3}{2}$.
2.$\frac{3}{2}$ 点拨:连接AC,BD,如答图.
∵O为平行四边形ABCD的对称中心，
∴AC与BD相交于点O.
∵AC与BD是平行四边形ABCD的对角线，
∴S_{△AOB}=S_{△AOD}.
过点O分别作AB和AD的垂线，垂足分别为P和Q,
∴$\frac{1}{2}$AB·OP=$\frac{1}{2}$AD·OQ.
∵AB=6,AD=BC=8,
∴3OP=4OQ,
即$\frac{OQ}{OP}=\frac{3}{4}$.
∵线段MN与EF将平行四边形ABCD分成面积相等的四部分，
∴S_{△AOB}=S_{四边形AEOM},即S_{△AOE}+S_{△BOE}=S_{△AOE}+S_{△AOM},
∴S_{△BOE}=S_{△AOM},
∴$\frac{1}{2}$BE·OP=$\frac{1}{2}$AM·OQ,
∴BE=$\frac{OQ}{OP}$·AM=$\frac{3}{4}$×2=$\frac{3}{2}$.
3. 如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB = AC,AD = AE,∠BAC + ∠DAE = 180^{\circ}$,连接 BE,CD,若 AM 为$△ ACD$的中线,猜想 AM 与 BE 的数量关系并说明理由.
答案：
3.解:猜想:BE=2AM,理由如下:延长AM到点N,使AM=MN,连接CN,如答图,则AN=2AM.
∵AM为△ACD的中线,
∴DM=CM.
在△ADM和△NCM中,$\begin{cases}DM=CM,\\∠AMD=∠NMC,\\AM=NM,\end{cases}$
∴△ADM≌△NCM(SAS),
∴AD=CN,∠DAM=∠N,
∴AD//CN,
∴∠DAC+∠ACN=180°.
∵∠BAC+∠DAE=180°,
∴∠BAE+∠DAC=180°,
∴∠ACN=∠BAE;
∵AD=AE,AD=CN,
∴CN=AE;
在△ACN和△BAE中,$\begin{cases}AC=BA,\\∠ACN=∠BAE,\\CN=AE,\end{cases}$
∴△ACN≌△BAE(SAS),
∴AN=BE;
∵AN=2AM,
∴BE=2AM.
3.解:猜想:BE=2AM,理由如下:延长AM到点N,使AM=MN,连接CN,如答图,则AN=2AM.
∵AM为△ACD的中线,
∴DM=CM.
在△ADM和△NCM中,$\begin{cases}DM=CM,\\∠AMD=∠NMC,\\AM=NM,\end{cases}$
∴△ADM≌△NCM(SAS),
∴AD=CN,∠DAM=∠N,
∴AD//CN,
∴∠DAC+∠ACN=180°.
∵∠BAC+∠DAE=180°,
∴∠BAE+∠DAC=180°,
∴∠ACN=∠BAE;
∵AD=AE,AD=CN,
∴CN=AE;
在△ACN和△BAE中,$\begin{cases}AC=BA,\\∠ACN=∠BAE,\\CN=AE,\end{cases}$
∴△ACN≌△BAE(SAS),
∴AN=BE;
∵AN=2AM,
∴BE=2AM.