1. (2025 春·平桥区期末) 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形 $ABEF$，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点 $C$ 恰好落在点 $F$ 处，得到折痕 $MN$，如图②. 已知 $AB = 8$，$AD = 12$，则线段 $BM$ 的长是(
A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.$\dfrac{5}{2}$
C
)A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.$\dfrac{5}{2}$
答案：1. C 点拨：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF=∠B=90°，
由折叠得∠AFE=∠B=90°，AF=AB，
∴四边形ABEF是矩形.
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是正方形.
∴EF=AF=AB=8，BC=AD=12，
∴DF=AD−AF=12−8=4，
∵∠C=∠D=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF=4，
∴EM=CM−CE=CM−4，
由折叠，得FM=CM，
∵∠MEF=90°，
∴EM²+EF²=FM²，
∴(CM−4)²+8²=CM²，解得CM=10，
∴BM=BC−CM=12−10=2.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF=∠B=90°，
由折叠得∠AFE=∠B=90°，AF=AB，
∴四边形ABEF是矩形.
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是正方形.
∴EF=AF=AB=8，BC=AD=12，
∴DF=AD−AF=12−8=4，
∵∠C=∠D=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF=4，
∴EM=CM−CE=CM−4，
由折叠，得FM=CM，
∵∠MEF=90°，
∴EM²+EF²=FM²，
∴(CM−4)²+8²=CM²，解得CM=10，
∴BM=BC−CM=12−10=2.
2. 如图，在矩形纸片 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 16$，$E$ 是边 $BC$ 上一点，先将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 折叠，点 $B$ 落在点 $B'$ 处，$EB'$ 与 $AD$ 交于点 $F$；再折叠矩形纸片 $ABCD$，使得点 $C$ 与点 $B'$ 重合，点 $D$ 落在点 $D'$ 处，折痕为 $EG$，则 $FG =$
5
.答案：2. 5 点拨：
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=16，
∴CD=AB=4，AD=BC=16，∠D=90°.
由折叠，得AB′=AB=4，B′D′=CD=4，∠D′=∠D=90°，
∴AD′=AB′+B′D′=4+4=8.
∵AD′²+D′G²=AG²，且D′G=DG=16−AG，
∴8²+(16−AG)²=AG²，解得AG=10.
∵AD//BC，
∴∠FGE=∠CEG，∠FAE=∠BEA.
∵∠FEG=∠CEG，∠FEA=∠BEA，
∴∠FGE=∠FEG，∠FAE=∠FEA，
∴FG=FE=FA=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$×10=5.
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=16，
∴CD=AB=4，AD=BC=16，∠D=90°.
由折叠，得AB′=AB=4，B′D′=CD=4，∠D′=∠D=90°，
∴AD′=AB′+B′D′=4+4=8.
∵AD′²+D′G²=AG²，且D′G=DG=16−AG，
∴8²+(16−AG)²=AG²，解得AG=10.
∵AD//BC，
∴∠FGE=∠CEG，∠FAE=∠BEA.
∵∠FEG=∠CEG，∠FEA=∠BEA，
∴∠FGE=∠FEG，∠FAE=∠FEA，
∴FG=FE=FA=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$×10=5.
3. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$AD = 4$，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$CD$ 边上的两点，把四边形 $AEFD$ 沿 $EF$ 翻折得到四边形 $A'EFD'$，点 $A'$ 恰好在线段 $EC$ 上.
(1) 若 $AE = 3$，求 $D'F$ 的长；
(2) 连接 $AF$，$A'F$. 问：当 $AE$ 的长取何值时，四边形 $AEA'F$ 为菱形？请说明理由.
(1) 若 $AE = 3$，求 $D'F$ 的长；
(2) 连接 $AF$，$A'F$. 问：当 $AE$ 的长取何值时，四边形 $AEA'F$ 为菱形？请说明理由.
答案：3. 解：(1)根据题意，得A′E=AE=3，D′F=DF.
在矩形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=4，∠B=90°.
∵AE=3，
∴BE=AB−AE=3，
∴CE=$\sqrt{BC^{2}+BE^{2}}$=5.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠AEF=∠CFE，由折叠可知，∠AEF=∠CEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE=5，
∴DF=CD−CF=6−5=1.
由折叠可知，D′F=DF=1，即D′F的长为1.
(2)当AE=$\frac{13}{3}$时，四边形AEA′F为菱形. 理由如下：
根据题意，得A′E=AE，A′F=AF.
∵四边形AEA′F为菱形，
∴AE=AF=A′F=A′E.
设AE=x，则A′E=AE=AF=x，BE=6−x，
∴CF=CE=$\sqrt{BC^{2}+BE^{2}}$=$\sqrt{16+(6−x)^{2}}$，DF=$\sqrt{AF^{2}−AD^{2}}$=$\sqrt{x^{2}−16}$，
∵DF+CF=CD，
∴$\sqrt{x^{2}−16}$+$\sqrt{16+(6−x)^{2}}$=6，
解得x=$\frac{13}{3}$，即AE=$\frac{13}{3}$，
∴当AE=$\frac{13}{3}$时，四边形AEA′F为菱形.
在矩形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=4，∠B=90°.
∵AE=3，
∴BE=AB−AE=3，
∴CE=$\sqrt{BC^{2}+BE^{2}}$=5.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠AEF=∠CFE，由折叠可知，∠AEF=∠CEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE=5，
∴DF=CD−CF=6−5=1.
由折叠可知，D′F=DF=1，即D′F的长为1.
(2)当AE=$\frac{13}{3}$时，四边形AEA′F为菱形. 理由如下：
根据题意，得A′E=AE，A′F=AF.
∵四边形AEA′F为菱形，
∴AE=AF=A′F=A′E.
设AE=x，则A′E=AE=AF=x，BE=6−x，
∴CF=CE=$\sqrt{BC^{2}+BE^{2}}$=$\sqrt{16+(6−x)^{2}}$，DF=$\sqrt{AF^{2}−AD^{2}}$=$\sqrt{x^{2}−16}$，
∵DF+CF=CD，
∴$\sqrt{x^{2}−16}$+$\sqrt{16+(6−x)^{2}}$=6，
解得x=$\frac{13}{3}$，即AE=$\frac{13}{3}$，
∴当AE=$\frac{13}{3}$时，四边形AEA′F为菱形.