1. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$是$AD$边上的一个动点，连接$BE$，以$BE$为斜边在正方形$ABCD$内部构造等腰直角三角形$BEF$，连接$CF$。
(1)求证：$∠ DEF+∠ CBF=90^{\circ}$；
(2)若$AB=3$，$△ BCF$的面积为$\frac{3}{2}$，求$△ BEF$的面积；
(3)求证：$DE=\sqrt{2}CF$。
(1)求证：$∠ DEF+∠ CBF=90^{\circ}$；
(2)若$AB=3$，$△ BCF$的面积为$\frac{3}{2}$，求$△ BEF$的面积；
(3)求证：$DE=\sqrt{2}CF$。
答案：
1. (1)证明:如答图，过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N。
∴∠MEF+∠EFM=90°。
∵∠EFB=90°，
∴∠BFN+∠EFM=90°，
∴∠MEF=∠BFN。
在正方形ABCD中，AD//BC，
∴MN⊥BC，
∴∠FBN+∠BFN=90°，
∴∠FBN+∠MEF=90°，
即∠DEF+∠CBF=90°。
(2)解:由正方形ABCD的性质得四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=AB=3。
在△BFN与△FEM中，由(1)得∠MEF=∠BFN，∠EMF=∠FNB=90°。
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=EF。
在△BFN与△FEM中，{∠FNB=∠EMF，∠BFN=∠FEM，BF=FE}，
∴△BFN≌△FEM(AAS)。
∵BC=AB=3，
∴$S_{△BCF}= \frac{1}{2} BC·FN= \frac{3}{2} FN= \frac{3}{2}$，
∴FN=1，
∴BN=FM=MN - FN=2。
在Rt△BFN中，$BF= \sqrt{BN^{2}+FN^{2}} = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt{5}$，
∴$S_{△BEF}= \frac{1}{2} BF^{2}= \frac{1}{2} ×( \sqrt{5} )^{2}= \frac{5}{2}$。
(3)证明:由(2)得△BFN≌△FEM，MD=NC，
∴BN=FM，EM=FN。
∵MN=AB=BC，
∴FM+FN=BN+NC，
∴FN=NC=MD=EM，
∴∠FCN=45°，DE=2MD=2CN。
在Rt△FNC中，$CN= \frac{ \sqrt{2} }{2} CF$，
∴$DE=2× \frac{ \sqrt{2} }{2} CF= \sqrt{2} CF$。
1. (1)证明:如答图，过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N。
∴∠MEF+∠EFM=90°。
∵∠EFB=90°，
∴∠BFN+∠EFM=90°，
∴∠MEF=∠BFN。
在正方形ABCD中，AD//BC，
∴MN⊥BC，
∴∠FBN+∠BFN=90°，
∴∠FBN+∠MEF=90°，
即∠DEF+∠CBF=90°。
(2)解:由正方形ABCD的性质得四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=AB=3。
在△BFN与△FEM中，由(1)得∠MEF=∠BFN，∠EMF=∠FNB=90°。
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=EF。
在△BFN与△FEM中，{∠FNB=∠EMF，∠BFN=∠FEM，BF=FE}，
∴△BFN≌△FEM(AAS)。
∵BC=AB=3，
∴$S_{△BCF}= \frac{1}{2} BC·FN= \frac{3}{2} FN= \frac{3}{2}$，
∴FN=1，
∴BN=FM=MN - FN=2。
在Rt△BFN中，$BF= \sqrt{BN^{2}+FN^{2}} = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt{5}$，
∴$S_{△BEF}= \frac{1}{2} BF^{2}= \frac{1}{2} ×( \sqrt{5} )^{2}= \frac{5}{2}$。
(3)证明:由(2)得△BFN≌△FEM，MD=NC，
∴BN=FM，EM=FN。
∵MN=AB=BC，
∴FM+FN=BN+NC，
∴FN=NC=MD=EM，
∴∠FCN=45°，DE=2MD=2CN。
在Rt△FNC中，$CN= \frac{ \sqrt{2} }{2} CF$，
∴$DE=2× \frac{ \sqrt{2} }{2} CF= \sqrt{2} CF$。