2. (2024·徐州期末)在正方形$ABCD$中，$AB=2$，$P$为$BC$边上的动点，连接$AP$，将$AP$绕点$P$顺时针旋转$90^{\circ}$得$PE$。过点$E$作$CD$的垂线，垂足为$F$，连接$BF$，$BF$与$AP$交于点$G$。
(1)如图①，判断四边形$BPEF$的形状，并说明理由。
(2)如图②，连接$PF$，$DE$，取$PF$，$DE$的中点$M$，$N$，连接$MN$。随着点$P$的运动，$MN$的长度是否发生变化？若不变，求$MN$的值；若变化，求$MN$的取值范围。
(3)连接$CG$，则$CG$的最小值为
(1)如图①，判断四边形$BPEF$的形状，并说明理由。
(2)如图②，连接$PF$，$DE$，取$PF$，$DE$的中点$M$，$N$，连接$MN$。随着点$P$的运动，$MN$的长度是否发生变化？若不变，求$MN$的值；若变化，求$MN$的取值范围。
(3)连接$CG$，则$CG$的最小值为
$\sqrt{5} -1$
。答案：
2. (1)解:四边形BPEF是平行四边形。
理由如下:如答图①，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵将AP绕点P顺时针旋转90°得PE，
∴AP=PE，∠APE=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°。
∵EH⊥BC，
∴∠ABC=∠APE=∠H=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°=∠HPE+∠APB，
∴∠BAP=∠EPH，
∴△ABP≌△PHE，
∴AB=PH，
∴AB=BC=PH，
∴BP=CH。
∵EF⊥CD，∠DCH=∠H=90°，
∴四边形EFCH是矩形，
∴EF//CH，EF=CH，
∴EF//BC，EF=BP，
∴四边形BPEF是平行四边形。
(2)解:MN的长度不变。如答图②，连接BD，BE。
∵四边形BFEP是平行四边形，
∴FP与BE互相平分。
∵M是FP的中点，
∴M是BE的中点，
又
∵N是DE的中点，
∴$MN= \frac{1}{2} BD$。
∵AB=2=AD，
∴$BD=2 \sqrt{2}$，
∴$MN= \sqrt{2}$。
$(3) \sqrt{5} -1$
点拨:如答图③，取AB的中点O，连接OG，OC。
∵四边形BFEP是平行四边形，
∴BF//PE，
∴∠PGF=∠APE=90°=∠AGB。
∵O是AB的中点，
∴OB=OG=1。根据三角形的三边关系可知:当G，C，O三点共线时，CG有最小值，此时，
$OC= \sqrt{OB^{2}+BC^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$，
∴CG的最小值$= \sqrt{5} -1$。
2. (1)解:四边形BPEF是平行四边形。
理由如下:如答图①，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵将AP绕点P顺时针旋转90°得PE，
∴AP=PE，∠APE=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°。
∵EH⊥BC，
∴∠ABC=∠APE=∠H=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°=∠HPE+∠APB，
∴∠BAP=∠EPH，
∴△ABP≌△PHE，
∴AB=PH，
∴AB=BC=PH，
∴BP=CH。
∵EF⊥CD，∠DCH=∠H=90°，
∴四边形EFCH是矩形，
∴EF//CH，EF=CH，
∴EF//BC，EF=BP，
∴四边形BPEF是平行四边形。
(2)解:MN的长度不变。如答图②，连接BD，BE。
∵四边形BFEP是平行四边形，
∴FP与BE互相平分。
∵M是FP的中点，
∴M是BE的中点，
又
∵N是DE的中点，
∴$MN= \frac{1}{2} BD$。
∵AB=2=AD，
∴$BD=2 \sqrt{2}$，
∴$MN= \sqrt{2}$。
$(3) \sqrt{5} -1$
点拨:如答图③，取AB的中点O，连接OG，OC。
∵四边形BFEP是平行四边形，
∴BF//PE，
∴∠PGF=∠APE=90°=∠AGB。
∵O是AB的中点，
∴OB=OG=1。根据三角形的三边关系可知:当G，C，O三点共线时，CG有最小值，此时，
$OC= \sqrt{OB^{2}+BC^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$，
∴CG的最小值$= \sqrt{5} -1$。