1. 如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之移动.若AD=2，则线段CP的最小值是
$\sqrt{5}-1$
.答案：
1. $\sqrt{5}-1$ 点拨:
∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在边DC,CB上移动,
∴DE=CF.
在$△ ADE$和$△ DCF$中,$\{\begin{array}{l}AD=DC,\\ ∠ ADE=∠ DCF=90^{\circ},\\ DE=CF,\end{array} $
∴$△ ADE≌△ DCF(SAS)$,
∴$∠ DAE=∠ CDF$,
∵$∠ CDF+∠ ADF=90^{\circ}$,
∴$∠ DAE+∠ ADF=90^{\circ}$,
∴$∠ APD=90^{\circ}$,取AD的中点O,连接OP,如答图,
则$OP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2=1$.
根据两点之间线段最短,得C,P,O三点共线时线段CP的值最小.
在$Rt△ COD$中,根据勾股定理,得$CO=\sqrt{CD^{2}+DO^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$,
∴$CP=CO-OP=\sqrt{5}-1$.
1. $\sqrt{5}-1$ 点拨:
∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在边DC,CB上移动,
∴DE=CF.
在$△ ADE$和$△ DCF$中,$\{\begin{array}{l}AD=DC,\\ ∠ ADE=∠ DCF=90^{\circ},\\ DE=CF,\end{array} $
∴$△ ADE≌△ DCF(SAS)$,
∴$∠ DAE=∠ CDF$,
∵$∠ CDF+∠ ADF=90^{\circ}$,
∴$∠ DAE+∠ ADF=90^{\circ}$,
∴$∠ APD=90^{\circ}$,取AD的中点O,连接OP,如答图,
则$OP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2=1$.
根据两点之间线段最短,得C,P,O三点共线时线段CP的值最小.
在$Rt△ COD$中,根据勾股定理,得$CO=\sqrt{CD^{2}+DO^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$,
∴$CP=CO-OP=\sqrt{5}-1$.
2. 如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，点F，G分别在BC，AD边上，且GF⊥BE，相交于点O，若四边形BFEG的面积为$\frac{5}{2}$，则AB的长为
2
.答案：
2. 2 点拨:过点F作$FH⊥ AD$于点H,如答图,则$∠ FHD=∠ FHG=90^{\circ}$.
∵四边形ABCD为正方形,
∴$∠ ABC=∠ BCD=∠ D=∠ A=90^{\circ}$,$AB=BC=CD=AD$.
∵$∠ FHD=∠ D=∠ C=90^{\circ}$,
∴四边形FHDC为矩形,
∴$FH=DC$,$∠ HFC=90^{\circ}$,
∴$FH=BC$,$∠ BFH=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.
∵$GF⊥ BE$,
∴$∠ BOF=90^{\circ}$,
∴$∠ OBF+∠ BFO=∠ BFO+∠ OFH=90^{\circ}$,
∴$∠ EBF=∠ GFH$.
∵$∠ GHF=∠ BCE=90^{\circ}$,$FH=BC$,
∴$△ GFH≌△ EBC(ASA)$,
∴$GF=BE$.
∵四边形BFEG的面积为$\frac{5}{2}$,$GF⊥ BE$,
∴$\frac{1}{2}GF· BE=\frac{5}{2}$,即$\frac{1}{2}BE^{2}=\frac{5}{2}$,解得$BE^{2}=5$.
∵E为CD的中点,
∴$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC$.
∵$BC^{2}+CE^{2}=BE^{2}$,
∴$BC^{2}+(\frac{1}{2}BC)^{2}=5$,
解得$BC=2$,负值舍去,
∴$AB=2$.
2. 2 点拨:过点F作$FH⊥ AD$于点H,如答图,则$∠ FHD=∠ FHG=90^{\circ}$.
∵四边形ABCD为正方形,
∴$∠ ABC=∠ BCD=∠ D=∠ A=90^{\circ}$,$AB=BC=CD=AD$.
∵$∠ FHD=∠ D=∠ C=90^{\circ}$,
∴四边形FHDC为矩形,
∴$FH=DC$,$∠ HFC=90^{\circ}$,
∴$FH=BC$,$∠ BFH=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.
∵$GF⊥ BE$,
∴$∠ BOF=90^{\circ}$,
∴$∠ OBF+∠ BFO=∠ BFO+∠ OFH=90^{\circ}$,
∴$∠ EBF=∠ GFH$.
∵$∠ GHF=∠ BCE=90^{\circ}$,$FH=BC$,
∴$△ GFH≌△ EBC(ASA)$,
∴$GF=BE$.
∵四边形BFEG的面积为$\frac{5}{2}$,$GF⊥ BE$,
∴$\frac{1}{2}GF· BE=\frac{5}{2}$,即$\frac{1}{2}BE^{2}=\frac{5}{2}$,解得$BE^{2}=5$.
∵E为CD的中点,
∴$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC$.
∵$BC^{2}+CE^{2}=BE^{2}$,
∴$BC^{2}+(\frac{1}{2}BC)^{2}=5$,
解得$BC=2$,负值舍去,
∴$AB=2$.
3. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)如图①，E是边长为12的正方形纸片ABCD的边AD上一动点，将正方形纸片沿着CE折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线AB于点P.根据以上操作，图①中AP与EF的数量关系是
(2)在(1)的条件下，若E是AD的中点，如图②，延长CF交AB于点Q，求线段BQ的长度.
(1)如图①，E是边长为12的正方形纸片ABCD的边AD上一动点，将正方形纸片沿着CE折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线AB于点P.根据以上操作，图①中AP与EF的数量关系是
$AP=EF$
.(2)在(1)的条件下，若E是AD的中点，如图②，延长CF交AB于点Q，求线段BQ的长度.
答案：
3. (1)$AP=EF$
点拨:如答图①,设CE,DF交于点G,由轴对称的性质可得$CE⊥ DF$,$DE=EF$,
∴$∠ CGD=90^{\circ}$,
∴$∠ DCG+∠ GDC=90^{\circ}$.
∵四边形ABCD是正方形,
∴$∠ ADC=∠ A=90^{\circ}$,$CD=AD$,
∴$∠ ADP+∠ CDG=90^{\circ}$,
∴$∠ ADP=∠ DCG$,
∴$△ ADP≌△ DCE(ASA)$,
∴$DE=AP$,
∴$AP=EF$.
(2)解:如答图②,连接EQ.
由折叠可知$EF=DE$,$CF=CD=12$,$∠ EFQ=∠ EFC=∠ ADC=90^{\circ}$.
∵E是AD的中点,
∴$AE=DE$,
∴$AE=EF$.
∵$∠ A=∠ EFQ=90^{\circ}$,$QE=QE$,
∴$Rt△ AEQ≌ Rt△ FEQ(HL)$,
∴$AQ=FQ$.
设$BQ=x$,则$FQ=AQ=12-x$.
在$Rt△ BCQ$中,$CQ=CF+FQ=12+(12-x)=24-x$,$BQ=x$,$BC=12$,
∴$(24-x)^{2}-x^{2}=12^{2}$,
∴$x=9$,
∴$BQ=9$.
3. (1)$AP=EF$
点拨:如答图①,设CE,DF交于点G,由轴对称的性质可得$CE⊥ DF$,$DE=EF$,
∴$∠ CGD=90^{\circ}$,
∴$∠ DCG+∠ GDC=90^{\circ}$.
∵四边形ABCD是正方形,
∴$∠ ADC=∠ A=90^{\circ}$,$CD=AD$,
∴$∠ ADP+∠ CDG=90^{\circ}$,
∴$∠ ADP=∠ DCG$,
∴$△ ADP≌△ DCE(ASA)$,
∴$DE=AP$,
∴$AP=EF$.
(2)解:如答图②,连接EQ.
由折叠可知$EF=DE$,$CF=CD=12$,$∠ EFQ=∠ EFC=∠ ADC=90^{\circ}$.
∵E是AD的中点,
∴$AE=DE$,
∴$AE=EF$.
∵$∠ A=∠ EFQ=90^{\circ}$,$QE=QE$,
∴$Rt△ AEQ≌ Rt△ FEQ(HL)$,
∴$AQ=FQ$.
设$BQ=x$,则$FQ=AQ=12-x$.
在$Rt△ BCQ$中,$CQ=CF+FQ=12+(12-x)=24-x$,$BQ=x$,$BC=12$,
∴$(24-x)^{2}-x^{2}=12^{2}$,
∴$x=9$,
∴$BQ=9$.