1. 如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,且OE⊥OF,连接EF.若∠AOE=150°,DF=$\sqrt{2}$,则OF的长为
2
.答案：
1. 2 点拨:在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB=∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC.
∵∠AOE=150°，
∴∠BOE=60°.
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOE=∠COF=60°，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形.
过点F作FG⊥OD于点G，如答图
∴∠OGF=∠DGF=90°.
∵∠ODC=45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∵DF=√2，
∴GF=DG=1.
∵∠COF=60°，
∴∠DOF=30°，
∴OF=2GF=2.
1. 2 点拨:在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB=∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC.
∵∠AOE=150°，
∴∠BOE=60°.
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOE=∠COF=60°，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形.
过点F作FG⊥OD于点G，如答图
∴∠OGF=∠DGF=90°.
∵∠ODC=45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∵DF=√2，
∴GF=DG=1.
∵∠COF=60°，
∴∠DOF=30°，
∴OF=2GF=2.
2. 如图,正方形ABCD的边长为1,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=$m_1$,点F,G与点C的距离分别为$m_2$,$m_3$,则$m_1+m_2+m_3$的最小值为
√2
.答案：
2. √2 点拨:如答图，连接AE，AC，CG，CF，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG=90°，EF=DE=DG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD.
∴∠ADE=∠CDG.
∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE=CG.
∴m₁+m₂+m₃=DE+CF+CG=EF+CF+AE.
∴当点A，E，F，C在同一条直线上时，EF+CF+AE最小，即m₁+m₂+m₃最小.
∴m₁+m₂+m₃的最小值为AC的长.
在Rt△ABC中，AC=√2AB=√2，
∴m₁+m₂+m₃的最小值为√2.
2. √2 点拨:如答图，连接AE，AC，CG，CF，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG=90°，EF=DE=DG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD.
∴∠ADE=∠CDG.
∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE=CG.
∴m₁+m₂+m₃=DE+CF+CG=EF+CF+AE.
∴当点A，E，F，C在同一条直线上时，EF+CF+AE最小，即m₁+m₂+m₃最小.
∴m₁+m₂+m₃的最小值为AC的长.
在Rt△ABC中，AC=√2AB=√2，
∴m₁+m₂+m₃的最小值为√2.
3. 如图,E是正方形ABCD内部一点,BE=BA,连接AE,CE,过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F.
(1)依题意补全图形,求∠CEF的度数;
(2)连接DF,用等式表示线段AF,DF,CF之间的数量关系,并证明.
(1)依题意补全图形,求∠CEF的度数;
(2)连接DF,用等式表示线段AF,DF,CF之间的数量关系,并证明.
答案：
3. 解:(1)如答图.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∵BE=BA，
∴AB=BE=BC，
设∠BAE=∠BEA=x，∠BEC=∠BCE=y.
∵四边形ABCE的内角和为360°，
∴2x+2y+90=360，
∴x+y=135.
∴∠AEC=135°，
∴∠CEF=45°.
(2)AF=√2DF+CF.证明如下:
如答图，作DH⊥DF，交AF于点H，
∴∠ADH=∠CDF=90°-∠HDC.
∵∠EFC=90°，∠CEF=45°，
∴∠CEF=∠FCE=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=FC.
设∠BAE=∠BEA=m，∠BEC=∠BCE=n，
∵∠DAB=90°，∠BCD=90°，
∴∠DAH=90°-m，∠DCE=90°-n，
∴∠FCD=45°-(90°-n)=n-45°，
由(1)知m+n=135°，
∴n=135°-m，
∴∠FCD=90°-m，
∴∠DAH=∠DCF.
在△DAH和△DCF中，{∠DAH = ∠DCF，AD = CD，∠ADH = ∠CDF}
∴△DAH≌△DCF(ASA).
∴AH=CF，DH=DF，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴HF=√2DF.
∵AF=HF+AH，
∴AF=√2DF+CF.
3. 解:(1)如答图.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°.
∵BE=BA，
∴AB=BE=BC，
设∠BAE=∠BEA=x，∠BEC=∠BCE=y.
∵四边形ABCE的内角和为360°，
∴2x+2y+90=360，
∴x+y=135.
∴∠AEC=135°，
∴∠CEF=45°.
(2)AF=√2DF+CF.证明如下:
如答图，作DH⊥DF，交AF于点H，
∴∠ADH=∠CDF=90°-∠HDC.
∵∠EFC=90°，∠CEF=45°，
∴∠CEF=∠FCE=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=FC.
设∠BAE=∠BEA=m，∠BEC=∠BCE=n，
∵∠DAB=90°，∠BCD=90°，
∴∠DAH=90°-m，∠DCE=90°-n，
∴∠FCD=45°-(90°-n)=n-45°，
由(1)知m+n=135°，
∴n=135°-m，
∴∠FCD=90°-m，
∴∠DAH=∠DCF.
在△DAH和△DCF中，{∠DAH = ∠DCF，AD = CD，∠ADH = ∠CDF}
∴△DAH≌△DCF(ASA).
∴AH=CF，DH=DF，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴HF=√2DF.
∵AF=HF+AH，
∴AF=√2DF+CF.