1. 如图，在正方形$ABCD$中，$AB = 3$，$E$为对角线$AC$上与点$A$，$C$不重合的一个动点，过点$E$作$EF⊥ AB$于点$F$，$EG⊥ BC$于点$G$，连接$DE$，$FG$。则下列结论：①$DE = FG$；②$∠ BFG=∠ ADE$；③$DE⊥ FG$；④$FG$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。其中正确的是
①②③④
。(填序号)答案：
1. ①②③④ 点拨:如答图,连接BE,交FG于点O.
∵EF⊥AB,EG⊥BC,
∴∠EFB=∠EGB=90°.
∵∠ABC=90°,
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG=BE,OB=OF=OE=OG.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAC=∠DAC=45°.
在△ABE和△ADE中,
$\{ \begin{array}{l} AE = AE, \\ ∠ BAE = ∠ DAE, \\ AB = AD, \end{array} $
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE,
∴DE=FG,即①正确.
∵△ABE≌△ADE,
∴∠ABE=∠ADE.
∵OB=OF,
∴∠OFB=∠ABE,
∴∠BFG=∠ADE,即②正确.
延长DE,交FG于点M,交FB于点H,如答图.
由上述得∠OFB=∠ADE,
∵∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠AHD=90°,
∴∠OFB+∠AHD=90°,即∠FMH=90°,
∴DE⊥FG,即③正确.
∵E为对角线AC上的一个动点,
∴当DE⊥AC时,DE最小.
∵AD=CD=3,∠ADC=90°,
∴AC=√AD²+CD²=3$\sqrt{2}$,
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$,由①知,FG=DE,
∴FG的最小值为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$,即④正确.
综上,①②③④正确.
1. ①②③④ 点拨:如答图,连接BE,交FG于点O.
∵EF⊥AB,EG⊥BC,
∴∠EFB=∠EGB=90°.
∵∠ABC=90°,
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG=BE,OB=OF=OE=OG.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAC=∠DAC=45°.
在△ABE和△ADE中,
$\{ \begin{array}{l} AE = AE, \\ ∠ BAE = ∠ DAE, \\ AB = AD, \end{array} $
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE,
∴DE=FG,即①正确.
∵△ABE≌△ADE,
∴∠ABE=∠ADE.
∵OB=OF,
∴∠OFB=∠ABE,
∴∠BFG=∠ADE,即②正确.
延长DE,交FG于点M,交FB于点H,如答图.
由上述得∠OFB=∠ADE,
∵∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠AHD=90°,
∴∠OFB+∠AHD=90°,即∠FMH=90°,
∴DE⊥FG,即③正确.
∵E为对角线AC上的一个动点,
∴当DE⊥AC时,DE最小.
∵AD=CD=3,∠ADC=90°,
∴AC=√AD²+CD²=3$\sqrt{2}$,
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$,由①知,FG=DE,
∴FG的最小值为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$,即④正确.
综上,①②③④正确.
2. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$是对角线$BD$上一点，且满足$BE = BC$，连接$CE$并延长交$AD$于点$F$，连接$AE$，过$B$点作$BG⊥ AE$于点$G$，延长$BG$交$AD$于点$H$。在下列结论中：①$AH = DF$；②$∠ AEF = 45^{\circ}$；③$S_{\mathrm{四边形}EFHG}=S_{△ DEF}+S_{△ AGH}$；④$△ ADE≌△ CDE$。其中正确的结论有
①②④
。(填序号)答案：
2. ①②④ 点拨:
∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠ADE=∠CDB=45°,AB=BC=CD=AD.
在△ADE和△CDE中,
$\{ \begin{array}{l} AD = CD, \\ ∠ ADE = ∠ CDE, \\ DE = DE, \end{array} $
∴△ADE≌△CDE(SAS),故④正确.
∴∠DAE=∠DCE.
∵BG⊥AE,
∴∠DAE+∠AHB=90°.
∵∠ABH+∠AHB=90°,
∴∠ABH=∠DAE=∠DCE.
在△ABH和△DCF中,
$\{ \begin{array}{l} ∠ ABH = ∠ DCF, \\ AB = DC, \\ ∠ BAH = ∠ CDF, \end{array} $
∴△ABH≌△DCF(ASA),
∴AH=DF,故①正确.
∵BE=BC,AB=BC,
∴AB=BC=BE.
∵∠ABE=∠CDB=45°,
∴∠BAE=∠BEA=∠BEC=∠BCE=67.5°,
∴∠AEF=180° - ∠AEB - ∠BEC=45°,故②正确.
连接EH,如答图.
∵AB=BE,BG⊥AE,
∴AG=GE,BH是线段AE的垂直平分线,
∴AH=HE,S_{△AGH}=S_{△EGH}.
∵AH=DF,
∴HE=DF.
∵AD//BC,
∴∠DFE=∠BCE.
∵∠BCE=∠BEC=∠DEF,
∴∠DFE=∠DEF,
∴DF=DE,
∴HE=DE,
∴△HED是等腰三角形.
∵EF不垂直于DH,
∴HF≠DF,
∴S_{△EFH}≠S_{△EFD},
∴S_{四边形EFHG}=S_{△HEF}+S_{△BGH}≠S_{△DEF}+S_{△AGH},故③不正确.
2. ①②④ 点拨:
∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠ADE=∠CDB=45°,AB=BC=CD=AD.
在△ADE和△CDE中,
$\{ \begin{array}{l} AD = CD, \\ ∠ ADE = ∠ CDE, \\ DE = DE, \end{array} $
∴△ADE≌△CDE(SAS),故④正确.
∴∠DAE=∠DCE.
∵BG⊥AE,
∴∠DAE+∠AHB=90°.
∵∠ABH+∠AHB=90°,
∴∠ABH=∠DAE=∠DCE.
在△ABH和△DCF中,
$\{ \begin{array}{l} ∠ ABH = ∠ DCF, \\ AB = DC, \\ ∠ BAH = ∠ CDF, \end{array} $
∴△ABH≌△DCF(ASA),
∴AH=DF,故①正确.
∵BE=BC,AB=BC,
∴AB=BC=BE.
∵∠ABE=∠CDB=45°,
∴∠BAE=∠BEA=∠BEC=∠BCE=67.5°,
∴∠AEF=180° - ∠AEB - ∠BEC=45°,故②正确.
连接EH,如答图.
∵AB=BE,BG⊥AE,
∴AG=GE,BH是线段AE的垂直平分线,
∴AH=HE,S_{△AGH}=S_{△EGH}.
∵AH=DF,
∴HE=DF.
∵AD//BC,
∴∠DFE=∠BCE.
∵∠BCE=∠BEC=∠DEF,
∴∠DFE=∠DEF,
∴DF=DE,
∴HE=DE,
∴△HED是等腰三角形.
∵EF不垂直于DH,
∴HF≠DF,
∴S_{△EFH}≠S_{△EFD},
∴S_{四边形EFHG}=S_{△HEF}+S_{△BGH}≠S_{△DEF}+S_{△AGH},故③不正确.
3. 如图，在边长为$2$的正方形$ABCD$中，$E$是边$BC$延长线上的一动点，连接$AE$分别交$BD$，$CD$于点$H$，$F$，连接$CH$。
(1) 求证：$∠ 1=∠ E$。
(2) 线段$EF$上是否存在点$G$，使得四边形$CGDH$为平行四边形？若存在，求出平行四边形$CGDH$的面积；若不存在，请说明理由。
(1) 求证：$∠ 1=∠ E$。
(2) 线段$EF$上是否存在点$G$，使得四边形$CGDH$为平行四边形？若存在，求出平行四边形$CGDH$的面积；若不存在，请说明理由。
答案：3. (1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠ADH=∠CDH=45°,AD//BC.
在△DAH和△DCH中,
$\{ \begin{array}{l} DA = DC, \\ ∠ ADH = ∠ CDH, \\ DH = DH, \end{array} $
∴△DAH≌△DCH(SAS),
∴∠DAH=∠1.
∵AD//BC,
∴∠E=∠DAH,
∴∠1=∠E.
(2)解:存在这样的点G.若四边形CGDH是平行四边形,则有CG//BD,DH=CG,
∴∠GCE=∠DBC=45°,
∴∠HDC=∠GCE,∠DCG=45°.
在△CDH与△ECG中,
$\{ \begin{array}{l} ∠ 1 = ∠ E, \\ ∠ HDC = ∠ GCE, \\ DH = CG, \end{array} $
∴△CDH≌△ECG(AAS),
∴CD=CE=CB,GE=HC.
∵∠HCG=∠1+∠DCG=∠1+45°,∠HGC=∠E+∠GCE=∠E+45°,
∴∠HCG=∠HGC,
∴HC=HG,
∴HG=GE,
∴CG是△BHE的中位线,
∴CG=$\frac{1}{2}$BH,
∴DH=$\frac{1}{2}$BH,
∴S_{△CDH}=$\frac{1}{2}$S_{△CBH}=$\frac{1}{3}$S_{△CBD}=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{6}$S_{正方形ABCD},
∴S_{平行四边形CGDH}=2S_{△CDH}=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{3}$×2×2=$\frac{4}{3}$.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠ADH=∠CDH=45°,AD//BC.
在△DAH和△DCH中,
$\{ \begin{array}{l} DA = DC, \\ ∠ ADH = ∠ CDH, \\ DH = DH, \end{array} $
∴△DAH≌△DCH(SAS),
∴∠DAH=∠1.
∵AD//BC,
∴∠E=∠DAH,
∴∠1=∠E.
(2)解:存在这样的点G.若四边形CGDH是平行四边形,则有CG//BD,DH=CG,
∴∠GCE=∠DBC=45°,
∴∠HDC=∠GCE,∠DCG=45°.
在△CDH与△ECG中,
$\{ \begin{array}{l} ∠ 1 = ∠ E, \\ ∠ HDC = ∠ GCE, \\ DH = CG, \end{array} $
∴△CDH≌△ECG(AAS),
∴CD=CE=CB,GE=HC.
∵∠HCG=∠1+∠DCG=∠1+45°,∠HGC=∠E+∠GCE=∠E+45°,
∴∠HCG=∠HGC,
∴HC=HG,
∴HG=GE,
∴CG是△BHE的中位线,
∴CG=$\frac{1}{2}$BH,
∴DH=$\frac{1}{2}$BH,
∴S_{△CDH}=$\frac{1}{2}$S_{△CBH}=$\frac{1}{3}$S_{△CBD}=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{6}$S_{正方形ABCD},
∴S_{平行四边形CGDH}=2S_{△CDH}=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{3}$×2×2=$\frac{4}{3}$.