1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $，$ E $ 是斜边 $ BC $ 上的两点，且 $ ∠ DAE = 45^{\circ} $，将 $ △ ADC $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 后，得到 $ △ AFB $，连接 $ EF $，则下列结论：① $ ∠ EAF = 45^{\circ} $；② $ △ EBF $ 为等腰直角三角形；③ $ EA $ 平分 $ ∠ CEF $；④ $ BE^{2} + CD^{2} = DE^{2} $。其中正确的是
①③④
(填序号)。答案：1. ①③④ 点拨:由旋转的性质可得 $ AD = AF $，$ BF = CD $，$ ∠ FBA = ∠ DCA = 45 ^ { \circ } $。
$ \because ∠ DAE = 45 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ EAF = ∠ FAD - ∠ DAE = 90 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ } $，
故①正确；
易得 $ △ DAE ≌ △ FAE ( \mathrm{ SAS } ) $，$ \therefore ∠ DEA = ∠ FEA $，
即 $ EA $ 平分 $ ∠ CEF $，故③正确；
易得 $ FE = DE $，
$ ∠ FBE = ∠ FBA + ∠ ABC = 45 ^ { \circ } + 45 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $，
在 $ \mathrm{ Rt } △ FBE $ 中，$ BE ^ { 2 } + BF ^ { 2 } = FE ^ { 2 } $，
即 $ BE ^ { 2 } + CD ^ { 2 } = DE ^ { 2 } $，故④正确；
$ \because CD $ 与 $ BE $ 不一定相等，
$ \therefore BF $ 与 $ BE $ 不一定相等，故②不正确。
综上所述，①③④正确。
$ \because ∠ DAE = 45 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ EAF = ∠ FAD - ∠ DAE = 90 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ } $，
故①正确；
易得 $ △ DAE ≌ △ FAE ( \mathrm{ SAS } ) $，$ \therefore ∠ DEA = ∠ FEA $，
即 $ EA $ 平分 $ ∠ CEF $，故③正确；
易得 $ FE = DE $，
$ ∠ FBE = ∠ FBA + ∠ ABC = 45 ^ { \circ } + 45 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $，
在 $ \mathrm{ Rt } △ FBE $ 中，$ BE ^ { 2 } + BF ^ { 2 } = FE ^ { 2 } $，
即 $ BE ^ { 2 } + CD ^ { 2 } = DE ^ { 2 } $，故④正确；
$ \because CD $ 与 $ BE $ 不一定相等，
$ \therefore BF $ 与 $ BE $ 不一定相等，故②不正确。
综上所述，①③④正确。
2. 【问题背景】
从正方形的一个顶点引出夹角为 $ 45^{\circ} $ 的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为“半角模型”。
【问题发现】
(1) 如图①，在正方形 $ ABCD $ 中，以 $ A $ 为顶点的 $ ∠ EAF = 45^{\circ} $，$ AE $，$ AF $ 与边 $ BC $，$ CD $ 分别交于点 $ E $，$ F $，连接 $ EF $，则线段 $ EF $，$ BE $ 与 $ DF $ 之间的数量关系为
【问题探究】
(2) 如图②，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = AD = 5 $，$ ∠ B = ∠ D = 90^{\circ} $，$ ∠ BAD = 120^{\circ} $，以 $ A $ 为顶点的 $ ∠ EAF = 60^{\circ} $，$ AE $，$ AF $ 与边 $ BC $，$ CD $ 分别交于 $ E $，$ F $ 两点，连接 $ EF $ 且 $ EF = 6 $，求五边形 $ ABEFD $ 的周长。
【问题拓展】
(3) 如图③，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = AD $，$ ∠ ABC $ 与 $ ∠ ADC $ 互补，点 $ E $，$ F $ 分别在射线 $ CB $，$ DC $ 上，且 $ ∠ EAF = \frac{1}{2} ∠ BAD $。当 $ BC = 6 $，$ DC = 8 $，$ CF = 2 $ 时，求 $ △ CEF $ 的周长。
从正方形的一个顶点引出夹角为 $ 45^{\circ} $ 的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为“半角模型”。
【问题发现】
(1) 如图①，在正方形 $ ABCD $ 中，以 $ A $ 为顶点的 $ ∠ EAF = 45^{\circ} $，$ AE $，$ AF $ 与边 $ BC $，$ CD $ 分别交于点 $ E $，$ F $，连接 $ EF $，则线段 $ EF $，$ BE $ 与 $ DF $ 之间的数量关系为
$ EF = BE + DF $
。【问题探究】
(2) 如图②，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = AD = 5 $，$ ∠ B = ∠ D = 90^{\circ} $，$ ∠ BAD = 120^{\circ} $，以 $ A $ 为顶点的 $ ∠ EAF = 60^{\circ} $，$ AE $，$ AF $ 与边 $ BC $，$ CD $ 分别交于 $ E $，$ F $ 两点，连接 $ EF $ 且 $ EF = 6 $，求五边形 $ ABEFD $ 的周长。
【问题拓展】
(3) 如图③，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = AD $，$ ∠ ABC $ 与 $ ∠ ADC $ 互补，点 $ E $，$ F $ 分别在射线 $ CB $，$ DC $ 上，且 $ ∠ EAF = \frac{1}{2} ∠ BAD $。当 $ BC = 6 $，$ DC = 8 $，$ CF = 2 $ 时，求 $ △ CEF $ 的周长。
答案：
2. (1) $ EF = BE + DF $ 点拨:如答图①，将 $ △ ADF $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $ 得到 $ △ ABG $，
$ \therefore GB = DF $，$ AF = AG $，$ ∠ BAG = ∠ DAF $，$ ∠ ABG = ∠ D = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ ABG + ∠ ABC = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore $ 点 $ G $，$ B $，$ E $ 在一条直线上。
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形，$ \therefore ∠ BAD = 90 ^ { \circ } $。
$ \because ∠ EAF = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ BAE + ∠ DAF = 45 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ BAG + ∠ BAE = 45 ^ { \circ } = ∠ EAF $。
在 $ △ AGE $ 和 $ △ AFE $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { A G = A F }, \\ { ∠ G A E = ∠ F A E }, \\ { A E = A E }, \end{array} $
$ \therefore △ AGE ≌ △ AFE ( \mathrm{ SAS } ) $，$ \therefore GE = EF $。
$ \because GE = GB + BE = BE + DF $，
$ \therefore EF = BE + DF $。
(2) 解:将 $ △ ADF $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 120 ^ { \circ } $ 得到 $ △ ABM $，如答图②，
$ \therefore △ ABM ≌ △ ADF $，$ ∠ ABM = ∠ D = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ MAB = ∠ FAD $，$ AM = AF $，$ MB = DF $，
$ \therefore ∠ MBE = ∠ ABM + ∠ ABE = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore M $，$ B $，$ E $ 三点共线。
$ \because ∠ EAF = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ MAE = ∠ MAB + ∠ BAE = ∠ FAD + ∠ BAE = ∠ BAD - ∠ EAF = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ MAE = ∠ FAE $。
$ \because AE = AE $，$ AM = AF $，
$ \therefore △ MAE ≌ △ FAE ( \mathrm{ SAS } ) $，
$ \therefore ME = EF $，$ \therefore EF = ME = MB + BE = DF + BE $，
$ \therefore $ 五边形 $ ABEFD $ 的周长 $ = AB + BE + EF + DF + AD = AB + EF + EF + AD = 5 + 6 + 6 + 5 = 22 $。
(3) 解:在 $ DF $ 上截取 $ DM = BE $，如答图③。
$ \because ∠ D + ∠ ABC = ∠ ABE + ∠ ABC = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ D = ∠ ABE $。
在 $ △ ADM $ 和 $ △ ABE $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { D M = B E }, \\ { ∠ D = ∠ A B E }, \\ { A D = A B }, \end{array} $
$ \therefore △ ADM ≌ △ ABE ( \mathrm{ SAS } ) $，
$ \therefore AM = AE $，$ ∠ DAM = ∠ BAE $。
$ \because ∠ EAF = ∠ BAE + ∠ BAF = \frac { 1 } { 2 } ∠ BAD $，
$ \therefore ∠ MAF = \frac { 1 } { 2 } ∠ BAD $，$ \therefore ∠ EAF = ∠ MAF $。
在 $ △ EAF $ 和 $ △ MAF $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { A E = A M }, \\ { ∠ E A F = ∠ M A F }, \\ { A F = A F }, \end{array} $
$ \therefore △ EAF ≌ △ MAF ( \mathrm{ SAS } ) $，$ \therefore EF = MF $。
$ \because MF = DF - DM = DF - BE $，$ \therefore EF = DF - BE $。
$ \therefore △ CEF $ 的周长 $ = CE + EF + CF = BC + BE + DC + CF - BE + CF = BC + CD + 2 CF = 18 $。
2. (1) $ EF = BE + DF $ 点拨:如答图①，将 $ △ ADF $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $ 得到 $ △ ABG $，
$ \therefore GB = DF $，$ AF = AG $，$ ∠ BAG = ∠ DAF $，$ ∠ ABG = ∠ D = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ ABG + ∠ ABC = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore $ 点 $ G $，$ B $，$ E $ 在一条直线上。
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形，$ \therefore ∠ BAD = 90 ^ { \circ } $。
$ \because ∠ EAF = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ BAE + ∠ DAF = 45 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ BAG + ∠ BAE = 45 ^ { \circ } = ∠ EAF $。
在 $ △ AGE $ 和 $ △ AFE $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { A G = A F }, \\ { ∠ G A E = ∠ F A E }, \\ { A E = A E }, \end{array} $
$ \therefore △ AGE ≌ △ AFE ( \mathrm{ SAS } ) $，$ \therefore GE = EF $。
$ \because GE = GB + BE = BE + DF $，
$ \therefore EF = BE + DF $。
(2) 解:将 $ △ ADF $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 120 ^ { \circ } $ 得到 $ △ ABM $，如答图②，
$ \therefore △ ABM ≌ △ ADF $，$ ∠ ABM = ∠ D = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ MAB = ∠ FAD $，$ AM = AF $，$ MB = DF $，
$ \therefore ∠ MBE = ∠ ABM + ∠ ABE = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore M $，$ B $，$ E $ 三点共线。
$ \because ∠ EAF = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ MAE = ∠ MAB + ∠ BAE = ∠ FAD + ∠ BAE = ∠ BAD - ∠ EAF = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ MAE = ∠ FAE $。
$ \because AE = AE $，$ AM = AF $，
$ \therefore △ MAE ≌ △ FAE ( \mathrm{ SAS } ) $，
$ \therefore ME = EF $，$ \therefore EF = ME = MB + BE = DF + BE $，
$ \therefore $ 五边形 $ ABEFD $ 的周长 $ = AB + BE + EF + DF + AD = AB + EF + EF + AD = 5 + 6 + 6 + 5 = 22 $。
(3) 解:在 $ DF $ 上截取 $ DM = BE $，如答图③。
$ \because ∠ D + ∠ ABC = ∠ ABE + ∠ ABC = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore ∠ D = ∠ ABE $。
在 $ △ ADM $ 和 $ △ ABE $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { D M = B E }, \\ { ∠ D = ∠ A B E }, \\ { A D = A B }, \end{array} $
$ \therefore △ ADM ≌ △ ABE ( \mathrm{ SAS } ) $，
$ \therefore AM = AE $，$ ∠ DAM = ∠ BAE $。
$ \because ∠ EAF = ∠ BAE + ∠ BAF = \frac { 1 } { 2 } ∠ BAD $，
$ \therefore ∠ MAF = \frac { 1 } { 2 } ∠ BAD $，$ \therefore ∠ EAF = ∠ MAF $。
在 $ △ EAF $ 和 $ △ MAF $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { A E = A M }, \\ { ∠ E A F = ∠ M A F }, \\ { A F = A F }, \end{array} $
$ \therefore △ EAF ≌ △ MAF ( \mathrm{ SAS } ) $，$ \therefore EF = MF $。
$ \because MF = DF - DM = DF - BE $，$ \therefore EF = DF - BE $。
$ \therefore △ CEF $ 的周长 $ = CE + EF + CF = BC + BE + DC + CF - BE + CF = BC + CD + 2 CF = 18 $。