1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，边长为 $1$，$∠ A = 60^{\circ}$，顺次连接菱形 $ABCD$ 各边的中点，可得四边形 $A_1B_1C_1D_1$；顺次连接四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 各边的中点，可得四边形 $A_2B_2C_2D_2$；顺次连接四边形 $A_2B_2C_2D_2$ 各边的中点，可得四边形 $A_3B_3C_3D_3$；按此规律继续下去，…，则四边形 $A_{2025}B_{2025}C_{2025}D_{2025}$ 的面积是
$\frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$
.答案：1. $\frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$ 点拨:连接$AC$,$BD$,则$AC⊥ BD$.
∵在菱形$ABCD$中,边长为$1$,$∠ DAB = 60^{\circ}$,
∴$S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{1}{2}AC· BD = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵顺次连接菱形$ABCD$各边的中点,可得四边形$A_1B_1C_1D_1$,
易得四边形$A_1B_1C_1D_1$是矩形,
矩形$A_1B_1C_1D_1$的面积$=\frac{1}{2}AC·\frac{1}{2}BD = \frac{1}{4}AC· BD = \frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2^2}$,菱形$A_2B_2C_2D_2$的面积$=\frac{1}{2}×$矩形$A_1B_1C_1D_1$的面积$=\frac{1}{4}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2^3}$,
则四边形$A_{2025}B_{2025}C_{2025}D_{2025}$的面积$=\frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$.
∵在菱形$ABCD$中,边长为$1$,$∠ DAB = 60^{\circ}$,
∴$S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{1}{2}AC· BD = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵顺次连接菱形$ABCD$各边的中点,可得四边形$A_1B_1C_1D_1$,
易得四边形$A_1B_1C_1D_1$是矩形,
矩形$A_1B_1C_1D_1$的面积$=\frac{1}{2}AC·\frac{1}{2}BD = \frac{1}{4}AC· BD = \frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2^2}$,菱形$A_2B_2C_2D_2$的面积$=\frac{1}{2}×$矩形$A_1B_1C_1D_1$的面积$=\frac{1}{4}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2^3}$,
则四边形$A_{2025}B_{2025}C_{2025}D_{2025}$的面积$=\frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$.
2. 如图，已知矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，四边形 $EFGH$ 的周长等于 $8$ cm，则矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的长为
$4$
cm.答案：
2. $4$ 点拨:如答图,连接$BD$.
∵四边形$ABCD$为矩形,
∴$AC = BD$.
∵$E$,$F$,$G$,$H$分别是$AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点,
∴$EF$,$FG$,$GH$,$HE$分别为$△ ABC$、$△ BCD$、$△ ADC$、$△ ABD$的中位线,
∴$EF = \frac{1}{2}AC$,$FG = \frac{1}{2}BD$,$HG = \frac{1}{2}AC$,$EH = \frac{1}{2}BD$,
∴$EF = FG = GH = HE$.
∵四边形$EFGH$的周长等于$8\mathrm{cm}$,
∴$EF = 2\mathrm{cm}$,
∴$AC = 2EF = 4\mathrm{cm}$.
2. $4$ 点拨:如答图,连接$BD$.
∵四边形$ABCD$为矩形,
∴$AC = BD$.
∵$E$,$F$,$G$,$H$分别是$AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点,
∴$EF$,$FG$,$GH$,$HE$分别为$△ ABC$、$△ BCD$、$△ ADC$、$△ ABD$的中位线,
∴$EF = \frac{1}{2}AC$,$FG = \frac{1}{2}BD$,$HG = \frac{1}{2}AC$,$EH = \frac{1}{2}BD$,
∴$EF = FG = GH = HE$.
∵四边形$EFGH$的周长等于$8\mathrm{cm}$,
∴$EF = 2\mathrm{cm}$,
∴$AC = 2EF = 4\mathrm{cm}$.
3. 如图，四边形 $ABCD$ 中，$AC ⊥ BD$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，判断 $EG$ 与 $FH$ 的数量关系并加以证明.
答案：
3. 解:$EG = FH$,证明如下:连接$EF$,$FG$,$GH$,$HE$,如答图.
∵$E$,$F$分别为$AB$,$BC$的中点,
∴$EF = \frac{1}{2}AC$,$EF// AC$.
∵$G$,$H$分别为$CD$,$DA$的中点,
∴$HG = \frac{1}{2}AC$,$HG// AC$,
∴$EF = HG$,$EF// HG$,
∴四边形$EFGH$为平行四边形.
∵$EF// AC$,$AC⊥ BD$,$\therefore EF⊥ BD$.
∵$F$,$G$分别为$BC$,$CD$的中点,
∴$FG// BD$,$\therefore EF⊥ FG$,
∴平行四边形$EFGH$为矩形,$\therefore EG = FH$.
3. 解:$EG = FH$,证明如下:连接$EF$,$FG$,$GH$,$HE$,如答图.
∵$E$,$F$分别为$AB$,$BC$的中点,
∴$EF = \frac{1}{2}AC$,$EF// AC$.
∵$G$,$H$分别为$CD$,$DA$的中点,
∴$HG = \frac{1}{2}AC$,$HG// AC$,
∴$EF = HG$,$EF// HG$,
∴四边形$EFGH$为平行四边形.
∵$EF// AC$,$AC⊥ BD$,$\therefore EF⊥ BD$.
∵$F$,$G$分别为$BC$,$CD$的中点,
∴$FG// BD$,$\therefore EF⊥ FG$,
∴平行四边形$EFGH$为矩形,$\therefore EG = FH$.