1. 如图,已知四边形 $ABCD$ 中,$AC⊥ BD$,$AC = 10$,$BD = 12$,$E,F$ 分别是边 $AD,BC$ 的中点,连接 $EF$,则 $EF$ 的长是
$\sqrt{61}$
.答案：
1. $\sqrt{61}$ 点拨:如答图，取AB的中点G,连接EG,FG.
∵E,F分别是边AD,CB的中点，
∴EG//BD且$EG=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6$，$FG// AC$且$FG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$.
∵$AC⊥ BD$，
∴$EG⊥ FG$，
∴$EF=\sqrt{EG^{2}+FG^{2}}=\sqrt{6^{2}+5^{2}}=\sqrt{61}$.
1. $\sqrt{61}$ 点拨:如答图，取AB的中点G,连接EG,FG.
∵E,F分别是边AD,CB的中点，
∴EG//BD且$EG=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6$，$FG// AC$且$FG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$.
∵$AC⊥ BD$，
∴$EG⊥ FG$，
∴$EF=\sqrt{EG^{2}+FG^{2}}=\sqrt{6^{2}+5^{2}}=\sqrt{61}$.
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 60^{\circ}$,$AB = 2\sqrt{2}$,$D$ 是边 $AC$ 的中点,$E$ 是边 $BC$ 上一点. 若 $DE$ 平分$△ ABC$的周长,则 $DE$ 的长为
$\sqrt{6}$
.答案：
2. $\sqrt{6}$ 点拨:如答图,延长CB至点F,使$BF=BA$,连接AF,过点B作$BG⊥ AF$于点G.
∵D是边AC的中点，
∴$AD=DC$.
∵DE平分$△ ABC$的周长，
∴$CE=BE+BA$，
∴$CE=BE+BF=EF$.
∵$AD=DC$，
∴DE是$△ ACF$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}AF$.
∵$BF=BA$，$BG⊥ AF$，
∴$AG=GF$.
∵$∠ ABC=60^{\circ}$，$BA=BF$，
∴$∠ BAF=30^{\circ}$，
∴$BG=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，
∴$AG=\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{6}$，
∴$AF=2\sqrt{6}$，
∴$DE=\sqrt{6}$.
2. $\sqrt{6}$ 点拨:如答图,延长CB至点F,使$BF=BA$,连接AF,过点B作$BG⊥ AF$于点G.
∵D是边AC的中点，
∴$AD=DC$.
∵DE平分$△ ABC$的周长，
∴$CE=BE+BA$，
∴$CE=BE+BF=EF$.
∵$AD=DC$，
∴DE是$△ ACF$的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}AF$.
∵$BF=BA$，$BG⊥ AF$，
∴$AG=GF$.
∵$∠ ABC=60^{\circ}$，$BA=BF$，
∴$∠ BAF=30^{\circ}$，
∴$BG=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，
∴$AG=\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{6}$，
∴$AF=2\sqrt{6}$，
∴$DE=\sqrt{6}$.
3. 如图①,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = CD$,$E,F$ 分别是 $AD,BC$ 的中点,连接 $FE$ 并延长,分别与 $BA,CD$ 的延长线交于点 $M,N$.
(1)求证:$∠ BME=∠ CNE$;
(2)如图②,在四边形 $ADBC$ 中,$AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O$,$AB = CD$,$E,F$ 分别是 $BC,AD$ 的中点,连接 $EF$,分别交 $DC,AB$ 于点 $M,N$,判断$△ OMN$的形状.
(1)求证:$∠ BME=∠ CNE$;
(2)如图②,在四边形 $ADBC$ 中,$AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O$,$AB = CD$,$E,F$ 分别是 $BC,AD$ 的中点,连接 $EF$,分别交 $DC,AB$ 于点 $M,N$,判断$△ OMN$的形状.
答案：
3. (1)证明:如答图①,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF.
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴HF,HE分别是$△ BCD$，$△ ABD$的中位线，
∴$HF// CN$，$HE// BM$，$HF=\frac{1}{2}CD$，$HE=\frac{1}{2}AB$.
∵$AB=CD$，
∴$HF=HE$，
∴$∠ HEF=∠ HFE$.
∵$HF// CN$，$HE// BM$，
∴$∠ HEF=∠ BME$，$∠ HFE=∠ CNE$，
∴$∠ BME=∠ CNE$.
(2)解:$△ OMN$是等腰三角形.如答图②,取BD的中点H,连接HE,HF.
∵E,F分别是BC,AD的中点，
∴HF,HE分别是$△ ABD$，$△ BCD$的中位线，
∴$HF// AB$，$HE// CD$，$HF=\frac{1}{2}AB$，$HE=\frac{1}{2}CD$.
∵$AB=CD$，
∴$HF=HE$，
∴$∠ HFE=∠ HEF$.
∵$HF// AB$，$HE// CD$，
∴$∠ HFE=∠ ONM$，$∠ HEF=∠ OMN$，
∴$∠ ONM=∠ OMN$，
∴$OM=ON$，
∴$△ OMN$是等腰三角形.
3. (1)证明:如答图①,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF.
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴HF,HE分别是$△ BCD$，$△ ABD$的中位线，
∴$HF// CN$，$HE// BM$，$HF=\frac{1}{2}CD$，$HE=\frac{1}{2}AB$.
∵$AB=CD$，
∴$HF=HE$，
∴$∠ HEF=∠ HFE$.
∵$HF// CN$，$HE// BM$，
∴$∠ HEF=∠ BME$，$∠ HFE=∠ CNE$，
∴$∠ BME=∠ CNE$.
(2)解:$△ OMN$是等腰三角形.如答图②,取BD的中点H,连接HE,HF.
∵E,F分别是BC,AD的中点，
∴HF,HE分别是$△ ABD$，$△ BCD$的中位线，
∴$HF// AB$，$HE// CD$，$HF=\frac{1}{2}AB$，$HE=\frac{1}{2}CD$.
∵$AB=CD$，
∴$HF=HE$，
∴$∠ HFE=∠ HEF$.
∵$HF// AB$，$HE// CD$，
∴$∠ HFE=∠ ONM$，$∠ HEF=∠ OMN$，
∴$∠ ONM=∠ OMN$，
∴$OM=ON$，
∴$△ OMN$是等腰三角形.