1. 如图，菱形 $ ABCD $ 的边长为 $ 3 $，$ ∠ ABC = 60° $，对角线 $ BD $ 上有两个动点 $ E $，$ F $(点 $ E $ 在点 $ F $ 的左侧)。若 $ EF = 1 $，则 $ AE + CF $ 的最小值为(
A.$ \sqrt{10} $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
A
)A.$ \sqrt{10} $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
答案：
1. A 点拨:如答图，连接AC交BD于点O,作AM//BD,使得AM=EF=1,连接MF,CM,则四边形AEFM是平行四边形,
∴AE=FM,
∴AE+CF=FM+FC≥CM,
∴AE + CF的最小值为CM的长.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB,AC⊥BD.
∵∠ABC=60°,AM//BD,
∴△ABC是等边三角形,∠MAC=∠DOC=90°.
∵AB=3,
∴AC=3.
在Rt△CAM中,CM = $\sqrt{AM^{2}+AC^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.
∴AE + CF的最小值为 $\sqrt{10}$.
1. A 点拨:如答图，连接AC交BD于点O,作AM//BD,使得AM=EF=1,连接MF,CM,则四边形AEFM是平行四边形,
∴AE=FM,
∴AE+CF=FM+FC≥CM,
∴AE + CF的最小值为CM的长.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB,AC⊥BD.
∵∠ABC=60°,AM//BD,
∴△ABC是等边三角形,∠MAC=∠DOC=90°.
∵AB=3,
∴AC=3.
在Rt△CAM中,CM = $\sqrt{AM^{2}+AC^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.
∴AE + CF的最小值为 $\sqrt{10}$.
2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ OABC $ 为矩形，点 $ A $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，点 $ C $ 在 $ y $ 轴的正半轴上，且 $ OA = 6 $，$ OC = 4 $，$ D $ 为 $ OC $ 的中点，点 $ E $，$ F $ 在线段 $ OA $ 上，点 $ E $ 在点 $ F $ 的左侧，$ EF = 2 $。当四边形 $ BDEF $ 的周长最小时，点 $ E $ 的坐标是(
A.$ ( \dfrac{1}{2}, 0 ) $
B.$ ( \dfrac{4}{3}, 0 ) $
C.$ ( \dfrac{3}{2}, 0 ) $
D.$ (2, 0) $
B
)A.$ ( \dfrac{1}{2}, 0 ) $
B.$ ( \dfrac{4}{3}, 0 ) $
C.$ ( \dfrac{3}{2}, 0 ) $
D.$ (2, 0) $
答案：
2. B 点拨:如答图，将点B向左平移2个单位长度得到点B'(4,4),作点D关于x轴的对称点D'(0,−2),连接B'D'与x轴的交点为E,此时四边形BDEF的周长最小.
∵四边形BDEF的周长为BD+DE+EF+BF,BD与EF是定值,
∴BF + DE的值最小时,四边形BDEF的周长最小,此时BF+ED=B'E+ED'=B'D'.
设直线B'D'的函数表达式为y=kx+b,把(4,4),(0,−2)代入,得 $\begin{cases}4k + b = 4,\\b = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = \frac{3}{2},\\b = -2,\end{cases}$
∴直线B'D'的函数表达式为 $y = \frac{3}{2}x - 2$.
令y=0,得 $x = \frac{4}{3}$,
∴点E的坐标为 $(\frac{4}{3},0)$.
2. B 点拨:如答图，将点B向左平移2个单位长度得到点B'(4,4),作点D关于x轴的对称点D'(0,−2),连接B'D'与x轴的交点为E,此时四边形BDEF的周长最小.
∵四边形BDEF的周长为BD+DE+EF+BF,BD与EF是定值,
∴BF + DE的值最小时,四边形BDEF的周长最小,此时BF+ED=B'E+ED'=B'D'.
设直线B'D'的函数表达式为y=kx+b,把(4,4),(0,−2)代入,得 $\begin{cases}4k + b = 4,\\b = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = \frac{3}{2},\\b = -2,\end{cases}$
∴直线B'D'的函数表达式为 $y = \frac{3}{2}x - 2$.
令y=0,得 $x = \frac{4}{3}$,
∴点E的坐标为 $(\frac{4}{3},0)$.