3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ OACB $ 的顶点 $ O $ 在坐标原点，顶点 $ A $，$ B $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴的正半轴上，$ A(3, 0) $，$ B(0, 4) $，$ D $ 为边 $ OB $ 的中点。
（1）若 $ E $ 为边 $ OA $ 上的一个动点，求 $ △ CDE $ 的周长最小时，$ DE $ 的长；
（2）若 $ E $，$ F $ 为边 $ OA $ 上的两个动点，且 $ EF = 1 $，当四边形 $ CDEF $ 的周长最小时，求点 $ E $，$ F $ 的坐标。
（1）若 $ E $ 为边 $ OA $ 上的一个动点，求 $ △ CDE $ 的周长最小时，$ DE $ 的长；
（2）若 $ E $，$ F $ 为边 $ OA $ 上的两个动点，且 $ EF = 1 $，当四边形 $ CDEF $ 的周长最小时，求点 $ E $，$ F $ 的坐标。
答案：
3. 解:(1)如答图①,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'与x轴交于点E,连接DE,由模型可知△CDE的周长最小.
在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为边OB的中点,
∴D(0,2),C(3,4),D'(0,−2).
设直线CD'的函数表达式为y=kx+b,把(3,4),(0,−2)代入,得 $\begin{cases}3k + b = 4,\\b = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 2,\\b = -2,\end{cases}$
∴直线CD'的函数表达式为y=2x - 2.
令y=0,得x=1,
∴点E的坐标为(1,0),
∴OE=1,AE=2,利用勾股定理,得DE = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.
(2)如答图②,将点D向右平移1个单位长度得到点D'(1,2),作点D'关于x轴的对称点D''(1,−2),连接CD''交x轴于点F,连接D'F,将点F向左平移1个单位长度到点E,此时点E和点F为所求作的点,连接D'F,此时四边形CDEF的周长最小.
∵四边形CDEF的周长为CD+DE+EF+CF,CD与EF是定值,
∴DE + CF最小时,四边形CDEF的周长最小.
∵DD'//EF,且DD' = EF,
∴四边形DD'FE为平行四边形,
∴DE = D'F.
根据轴对称可知,D'F = D''F,
∴DE+CF=D'F+CF=FD''+CF=CD''.
设直线CD''的函数表达式为y=kx+b,把(3,4),(1,−2)代入,得 $\begin{cases}3k + b = 4,\\k + b = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 3,\\b = -5.\end{cases}$
∴直线CD''的函数表达式为y=3x - 5,
令y=0,得 $x = \frac{5}{3}$,
∴点F的坐标为 $(\frac{5}{3},0)$,
点E的坐标为 $(\frac{2}{3},0)$.
3. 解:(1)如答图①,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'与x轴交于点E,连接DE,由模型可知△CDE的周长最小.
在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为边OB的中点,
∴D(0,2),C(3,4),D'(0,−2).
设直线CD'的函数表达式为y=kx+b,把(3,4),(0,−2)代入,得 $\begin{cases}3k + b = 4,\\b = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 2,\\b = -2,\end{cases}$
∴直线CD'的函数表达式为y=2x - 2.
令y=0,得x=1,
∴点E的坐标为(1,0),
∴OE=1,AE=2,利用勾股定理,得DE = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.
(2)如答图②,将点D向右平移1个单位长度得到点D'(1,2),作点D'关于x轴的对称点D''(1,−2),连接CD''交x轴于点F,连接D'F,将点F向左平移1个单位长度到点E,此时点E和点F为所求作的点,连接D'F,此时四边形CDEF的周长最小.
∵四边形CDEF的周长为CD+DE+EF+CF,CD与EF是定值,
∴DE + CF最小时,四边形CDEF的周长最小.
∵DD'//EF,且DD' = EF,
∴四边形DD'FE为平行四边形,
∴DE = D'F.
根据轴对称可知,D'F = D''F,
∴DE+CF=D'F+CF=FD''+CF=CD''.
设直线CD''的函数表达式为y=kx+b,把(3,4),(1,−2)代入,得 $\begin{cases}3k + b = 4,\\k + b = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 3,\\b = -5.\end{cases}$
∴直线CD''的函数表达式为y=3x - 5,
令y=0,得 $x = \frac{5}{3}$,
∴点F的坐标为 $(\frac{5}{3},0)$,
点E的坐标为 $(\frac{2}{3},0)$.