1. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$，点 $E$，$F$ 分别是边 $AB$，$CD$ 上的动点，且 $AE = CF$，则 $BF + CE$ 的最小值为(
A.$10$
B.$2\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{13}$
D.$\sqrt{73}$
D
)A.$10$
B.$2\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{13}$
D.$\sqrt{73}$
答案：
1.D 点拨:如答图，连接DE;
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD.
∵AE=CF,
∴BE=DF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴DE=BF;
要求BF十CE的最小值，即求DE+CE的最小值,
作点D关于AB的对称点D'，连接D'C交AB于点E，则DE+CE=D'E+CE=CD'的值最小
∵AB=3,BC=4,
∴CD=AB=3,DD'=2AD=8,
∴CD'=√DD'²+CD²=√8²+3²=√73,
即BF十CE的最小值为√73
1.D 点拨:如答图，连接DE;
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD.
∵AE=CF,
∴BE=DF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴DE=BF;
要求BF十CE的最小值，即求DE+CE的最小值,
作点D关于AB的对称点D'，连接D'C交AB于点E，则DE+CE=D'E+CE=CD'的值最小
∵AB=3,BC=4,
∴CD=AB=3,DD'=2AD=8,
∴CD'=√DD'²+CD²=√8²+3²=√73,
即BF十CE的最小值为√73
2. 如图，在边长为 $\sqrt{2}$ 的菱形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 60^{\circ}$，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$BD$ 上的动点，$DE = BF$，连接 $AF$，$CE$，则 $AF + CE$ 的最小值为
2
.答案：
2.2 点拨:过点B作BT⊥AB,使BT=AB,连接TF,
AT,如答图所示.
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°,
∴AB=DC=√2,∠ABC=∠ADC=60°,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC=30°.
∵BT⊥AB,BT=AB=DC=√2.
在Rt△ABT中,由勾股定理,得AT=√AB²+BT²=2.
∵BT⊥AB,∠ABD=30°,
∴∠FBT=90°−∠ABD=60°,
∴∠ADC=∠FBT=60°.
在△EDC和△FBT中,{DE=BF,∠EDC=∠FBT,DC=BT,
∴△EDC≌△FBT(SAS),
∴CE=TF,
∴AF+CE=AF+TF.
根据“两点之间线段最短”,得AF+TF≥AT,
即AF+TF≥2,
∴AF+TF的最小值为2,即AF十CE的最小值为2.
2.2 点拨:过点B作BT⊥AB,使BT=AB,连接TF,
AT,如答图所示.
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°,
∴AB=DC=√2,∠ABC=∠ADC=60°,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC=30°.
∵BT⊥AB,BT=AB=DC=√2.
在Rt△ABT中,由勾股定理,得AT=√AB²+BT²=2.
∵BT⊥AB,∠ABD=30°,
∴∠FBT=90°−∠ABD=60°,
∴∠ADC=∠FBT=60°.
在△EDC和△FBT中,{DE=BF,∠EDC=∠FBT,DC=BT,
∴△EDC≌△FBT(SAS),
∴CE=TF,
∴AF+CE=AF+TF.
根据“两点之间线段最短”,得AF+TF≥AT,
即AF+TF≥2,
∴AF+TF的最小值为2,即AF十CE的最小值为2.
3. 【问题背景】(1) 如图①，$E$ 为 $△ ABC$ 的边 $AB$ 上的一点，$AE = BC$，过点 $A$ 作 $AD // BC$，且 $AD = AB$，连接 $DE$，求证：$△ ADE ≌ △ BAC$；
【变式迁移】(2) 如图②，在 $△ ABC$ 中，$AC = BC$，$BD$ 平分 $∠ ABC$，点 $E$ 在 $AB$ 上，且 $AE = CD$，若点 $C$ 分别到 $AB$，$BD$ 的距离之比为 $m$，求证：$\frac{CE + BD}{BC} = m$；
【拓展创新】(3) 如图③，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC = 45^{\circ}$，$BC = 3\sqrt{2}$，$AC = 6$，$D$，$E$ 分别是 $AC$，$AB$ 上的点，且 $AE = CD$，直接写出 $CE + BD$ 的最小值.
【变式迁移】(2) 如图②，在 $△ ABC$ 中，$AC = BC$，$BD$ 平分 $∠ ABC$，点 $E$ 在 $AB$ 上，且 $AE = CD$，若点 $C$ 分别到 $AB$，$BD$ 的距离之比为 $m$，求证：$\frac{CE + BD}{BC} = m$；
【拓展创新】(3) 如图③，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC = 45^{\circ}$，$BC = 3\sqrt{2}$，$AC = 6$，$D$，$E$ 分别是 $AC$，$AB$ 上的点，且 $AE = CD$，直接写出 $CE + BD$ 的最小值.
答案：
3.(1)证明:
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠B.
在△ADE和△BAC中,{AD=BA,∠DAE=∠B,AE=BC,
∴△ADE≌△BAC(SAS).
(2)证明:如答图①,过点C作CG//AB交BD的延长线于点G,过点C作CT⊥BG于点T,CH⊥AB于点H,连接GH,则∠DCG=∠A.
∵CG//AB,BD平分∠ABC,
∴∠CGD=∠GBA,∠CBD=∠GBA,
∴∠CGB=∠CBD,
∴CB=CG.
又AC=BC,
∴AC=CG;
∴△CDG≌△AEC(SAS),
∴DG=CE;
∴CE+BD=DG+BD=BG.
∵CG//AB,
∴S△CGB=S△CGH,
∴1/2BG.CT=1/2CG.CH,
∴BG.CT=BC.CH,
∴(CE+BD)/BC=CH/CT=m.
(3)解:如答图②,过点C作CG₁//AB,使CG₁=AC,连接DG₁,过点C作CH₁⊥AB于点H₁,过点G₁作G₁T₁⊥BA 交BA的延长线于点T₁,连接BG₁,
∵BC=3√2,∠CBH₁=45°,∠CH₁B=90°,
∴CH₁=BH₁=3.
∵四边形G₁T₁H₁C是矩形,
∴G₁T₁=CH₁=3,CG₁=AC=H₁T₁=6,
∴BT₁=9,
∴在Rt△BG₁T₁中,BG₁=√G₁T₁²+BT₁²=√3²+9²=3√10
易知,△CDG₁≌△AEC,
∴DG₁=EC,
∴CE+BD=DG₁+DB≥BG₁=3√10,
∴CE+BD的最小值为3√10
3.(1)证明:
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠B.
在△ADE和△BAC中,{AD=BA,∠DAE=∠B,AE=BC,
∴△ADE≌△BAC(SAS).
(2)证明:如答图①,过点C作CG//AB交BD的延长线于点G,过点C作CT⊥BG于点T,CH⊥AB于点H,连接GH,则∠DCG=∠A.
∵CG//AB,BD平分∠ABC,
∴∠CGD=∠GBA,∠CBD=∠GBA,
∴∠CGB=∠CBD,
∴CB=CG.
又AC=BC,
∴AC=CG;
∴△CDG≌△AEC(SAS),
∴DG=CE;
∴CE+BD=DG+BD=BG.
∵CG//AB,
∴S△CGB=S△CGH,
∴1/2BG.CT=1/2CG.CH,
∴BG.CT=BC.CH,
∴(CE+BD)/BC=CH/CT=m.
(3)解:如答图②,过点C作CG₁//AB,使CG₁=AC,连接DG₁,过点C作CH₁⊥AB于点H₁,过点G₁作G₁T₁⊥BA 交BA的延长线于点T₁,连接BG₁,
∵BC=3√2,∠CBH₁=45°,∠CH₁B=90°,
∴CH₁=BH₁=3.
∵四边形G₁T₁H₁C是矩形,
∴G₁T₁=CH₁=3,CG₁=AC=H₁T₁=6,
∴BT₁=9,
∴在Rt△BG₁T₁中,BG₁=√G₁T₁²+BT₁²=√3²+9²=3√10
易知,△CDG₁≌△AEC,
∴DG₁=EC,
∴CE+BD=DG₁+DB≥BG₁=3√10,
∴CE+BD的最小值为3√10