1. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形. 现有如图所示的“垂美”四边形 $ABCD$，若 $AD = 5$，$BC = 8$，则 $AB^{2}+CD^{2}$ 的值为
89
.答案：1. 89 点拨：$\because BD⊥ AC$，
$\therefore ∠ CEB=∠ AEB=∠ AED=∠ CED=90^{\circ }$．
在$Rt△ CEB$中，由勾股定理，得$BE^{2}+CE^{2}=CB^{2}$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理，得$ED^{2}+EA^{2}=AD^{2}$，
$\therefore CB^{2}+AD^{2}=BE^{2}+CE^{2}+ED^{2}+EA^{2}=64+25=89$．
$\because AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}$，$CD^{2}=CE^{2}+ED^{2}$，
$\therefore AB^{2}+CD^{2}=BE^{2}+AE^{2}+CE^{2}+ED^{2}$
$=(BE^{2}+CE^{2})+(EA^{2}+ED^{2})$
$=CB^{2}+AD^{2}=89$．
$\therefore ∠ CEB=∠ AEB=∠ AED=∠ CED=90^{\circ }$．
在$Rt△ CEB$中，由勾股定理，得$BE^{2}+CE^{2}=CB^{2}$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理，得$ED^{2}+EA^{2}=AD^{2}$，
$\therefore CB^{2}+AD^{2}=BE^{2}+CE^{2}+ED^{2}+EA^{2}=64+25=89$．
$\because AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}$，$CD^{2}=CE^{2}+ED^{2}$，
$\therefore AB^{2}+CD^{2}=BE^{2}+AE^{2}+CE^{2}+ED^{2}$
$=(BE^{2}+CE^{2})+(EA^{2}+ED^{2})$
$=CB^{2}+AD^{2}=89$．
2. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形.
(1) 如图①，在邻余四边形 $ABCD$ 中，$∠ B = 40^{\circ}$，则 $∠ C$ 的度数是
(2) 如图②，在 $△ ABC$ 中，$AC = 10$，$BC = 6$，$DE⊥ AC$ 交 $AB$ 于点 $E$，垂足为 $D$，且 $DE = 3$，$BE = 3$，$AD = 4$，$F$ 为 $BC$ 上一点，求证：四边形 $AEFC$ 是邻余四边形.
(3) 在邻余四边形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AB$ 的中点，$∠ DEC = 90^{\circ}$.
① 如图③，当 $DE⊥ AD$ 时，判断四边形 $BCDE$ 的形状并证明你的结论；
② 如图④，当 $AD = 6$，$BC = 8$ 时，求 $CD$ 的长.
(1) 如图①，在邻余四边形 $ABCD$ 中，$∠ B = 40^{\circ}$，则 $∠ C$ 的度数是
$50^{\circ }$
.(2) 如图②，在 $△ ABC$ 中，$AC = 10$，$BC = 6$，$DE⊥ AC$ 交 $AB$ 于点 $E$，垂足为 $D$，且 $DE = 3$，$BE = 3$，$AD = 4$，$F$ 为 $BC$ 上一点，求证：四边形 $AEFC$ 是邻余四边形.
(3) 在邻余四边形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AB$ 的中点，$∠ DEC = 90^{\circ}$.
① 如图③，当 $DE⊥ AD$ 时，判断四边形 $BCDE$ 的形状并证明你的结论；
② 如图④，当 $AD = 6$，$BC = 8$ 时，求 $CD$ 的长.
答案：
2. (1)$50^{\circ }$
(2)证明：$\because DE⊥ AC$，$\therefore ∠ EDA=90^{\circ }$．
$\because DE=3$，$AD=4$，$\therefore AE=5$．
$\because BE=3$，$\therefore AB=8$．
$\because AC=10$，$BC=6$，$\therefore BC^{2}+AB^{2}=AC^{2}$，
$\therefore ∠ B=90^{\circ }$，$\therefore ∠ A+∠ C=90^{\circ }$，
$\therefore$四边形$AEFC$是邻余四边形．
(3)解：①四边形$BCDE$为平行四边形．证明如下：
$\because$四边形$ABCD$是邻余四边形，
$\therefore ∠ A+∠ B=90^{\circ }$．
$\because DE⊥ AD$，$\therefore ∠ ADE=90^{\circ }$．
$\because ∠ DEC=90^{\circ }$，$\therefore AD// CE$，$∠ A+∠ DEA=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ B=∠ DEA$，$∠ A=∠ CEB$．
$\because E$是$AB$的中点，$\therefore AE=BE$，
$\therefore △ ADE≌△ ECB(ASA)$，
$\therefore AD=CE$，又$AD// CE$，
$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形，
$\therefore CD=AE$，$CD// AE$．
$\because A$，$E$，$B$三点共线且$AE=BE$，
$\therefore CD=BE$，$CD// BE$．
$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形．
②如答图，延长$CE$到点$F$，使得$EF=CE$，连接$AF$，$DF$．
$\because BE=AE$，$CE=EF$，$∠ CEB=∠ FEA$，
$\therefore △ CEB≌△ FEA(SAS)$，
$\therefore AF=BC=8$，$∠ B=∠ EAF$．
$\because$四边形$ABCD$是邻余四边形，
$\therefore ∠ B+∠ DAB=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ EAF+∠ DAB=90^{\circ }$，
即$∠ DAF=90^{\circ }$，
$\therefore DF=\sqrt {AD^{2}+AF^{2}}=\sqrt {6^{2}+8^{2}}=10$．
$\because DE⊥ CF$，$CE=EF$，$\therefore CD=DF=10$，
$\therefore CD$的长为$10$．
2. (1)$50^{\circ }$
(2)证明：$\because DE⊥ AC$，$\therefore ∠ EDA=90^{\circ }$．
$\because DE=3$，$AD=4$，$\therefore AE=5$．
$\because BE=3$，$\therefore AB=8$．
$\because AC=10$，$BC=6$，$\therefore BC^{2}+AB^{2}=AC^{2}$，
$\therefore ∠ B=90^{\circ }$，$\therefore ∠ A+∠ C=90^{\circ }$，
$\therefore$四边形$AEFC$是邻余四边形．
(3)解：①四边形$BCDE$为平行四边形．证明如下：
$\because$四边形$ABCD$是邻余四边形，
$\therefore ∠ A+∠ B=90^{\circ }$．
$\because DE⊥ AD$，$\therefore ∠ ADE=90^{\circ }$．
$\because ∠ DEC=90^{\circ }$，$\therefore AD// CE$，$∠ A+∠ DEA=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ B=∠ DEA$，$∠ A=∠ CEB$．
$\because E$是$AB$的中点，$\therefore AE=BE$，
$\therefore △ ADE≌△ ECB(ASA)$，
$\therefore AD=CE$，又$AD// CE$，
$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形，
$\therefore CD=AE$，$CD// AE$．
$\because A$，$E$，$B$三点共线且$AE=BE$，
$\therefore CD=BE$，$CD// BE$．
$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形．
②如答图，延长$CE$到点$F$，使得$EF=CE$，连接$AF$，$DF$．
$\because BE=AE$，$CE=EF$，$∠ CEB=∠ FEA$，
$\therefore △ CEB≌△ FEA(SAS)$，
$\therefore AF=BC=8$，$∠ B=∠ EAF$．
$\because$四边形$ABCD$是邻余四边形，
$\therefore ∠ B+∠ DAB=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ EAF+∠ DAB=90^{\circ }$，
即$∠ DAF=90^{\circ }$，
$\therefore DF=\sqrt {AD^{2}+AF^{2}}=\sqrt {6^{2}+8^{2}}=10$．
$\because DE⊥ CF$，$CE=EF$，$\therefore CD=DF=10$，
$\therefore CD$的长为$10$．