1. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，那么称这样的分式为真分式. 例如，分式$\frac{4}{x + 2}$，$\frac{3x^{2}}{x^{4} + 4x}$是真分式. 如果分子的次数不低于分母的次数，那么称这样的分式为假分式. 例如，分式$\frac{x - 4}{x + 2}$，$\frac{x^{2}}{x - 1}$是假分式. 一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和. 例如，$\frac{x - 4}{x + 2} = \frac{(x + 2) - 6}{x + 2} = 1 - \frac{6}{x + 2}$.
(1) 将假分式$\frac{x + 1}{x - 1}$化为一个整式与一个真分式的和：
(2) 将假分式$\frac{2x - 1}{x + 1}$化为一个整式与一个真分式的和；
(3) 若分式$\frac{x^{2}}{x + 1}$的值为整数，求整数$x$的值.
(1) 将假分式$\frac{x + 1}{x - 1}$化为一个整式与一个真分式的和：
$ 1+\frac{2}{x - 1} $
；(2) 将假分式$\frac{2x - 1}{x + 1}$化为一个整式与一个真分式的和；
(3) 若分式$\frac{x^{2}}{x + 1}$的值为整数，求整数$x$的值.
答案：1. (1) $ 1+\frac{2}{x - 1} $
(2) 解: $ \frac{2x - 1}{x + 1}=\frac{(2x + 2)-3}{x + 1}=\frac{2(x + 1)-3}{x + 1}=2-\frac{3}{x + 1} $.
(3) 解: $ \frac{x^{2}}{x + 1}=\frac{x^{2}-1 + 1}{x + 1}=\frac{x^{2}-1}{x + 1}+\frac{1}{x + 1}=x - 1+\frac{1}{x + 1} $.
∵分式的值为整数,且 $ x $ 为整数,
∴ $ x + 1=\pm 1 $.
∴ $ x=-2 $ 或 $ 0 $.
(2) 解: $ \frac{2x - 1}{x + 1}=\frac{(2x + 2)-3}{x + 1}=\frac{2(x + 1)-3}{x + 1}=2-\frac{3}{x + 1} $.
(3) 解: $ \frac{x^{2}}{x + 1}=\frac{x^{2}-1 + 1}{x + 1}=\frac{x^{2}-1}{x + 1}+\frac{1}{x + 1}=x - 1+\frac{1}{x + 1} $.
∵分式的值为整数,且 $ x $ 为整数,
∴ $ x + 1=\pm 1 $.
∴ $ x=-2 $ 或 $ 0 $.
2. 定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”. 例如，$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$，$\frac{2x^{2} + 1}{x - 1} = \frac{2x(x - 1) + 2x + 1}{x - 1} = 2x + \frac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = 2x + 2 + \frac{3}{x - 1}$，则$\frac{x + 1}{x - 1}$和$\frac{2x^{2} + 1}{x - 1}$都是“和谐分式”.
(1) 在分式①$\frac{x + 1}{x}$，②$\frac{x + 3}{x^{2} + 1}$，③$\frac{y^{2} + 1}{y}$中，属于“和谐分式”的是
(2) 分式$\frac{x^{2} - 2x + 3}{x - 1}$是否为“和谐分式”？请说明理由.
(3) 当整数$x$取多少时，$\frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} ÷ \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2x}$的值为整数？
(1) 在分式①$\frac{x + 1}{x}$，②$\frac{x + 3}{x^{2} + 1}$，③$\frac{y^{2} + 1}{y}$中，属于“和谐分式”的是
①③
.(填序号)(2) 分式$\frac{x^{2} - 2x + 3}{x - 1}$是否为“和谐分式”？请说明理由.
(3) 当整数$x$取多少时，$\frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} ÷ \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2x}$的值为整数？
答案：2. (1) ①③
(2) 解: 分式 $ \frac{x^{2}-2x + 3}{x - 1} $ 为“和谐分式”. 理由如下:
∵ $ \frac{x^{2}-2x + 3}{x - 1}=\frac{x^{2}-2x + 1 + 2}{x - 1}=\frac{(x - 1)^{2}+2}{x - 1}=x - 1+\frac{2}{x - 1} $,
∴分式 $ \frac{x^{2}-2x + 3}{x - 1} $ 为“和谐分式”.
(3) 解: 原式 $ =\frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x - 1}{x}·\frac{x(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x + 2}{x + 1}=\frac{2x + 4}{x + 1}=\frac{2(x + 1)+2}{x + 1}=2+\frac{2}{x + 1} $.
当 $ x=-3,-2,0,1 $ 时, $ 2+\frac{2}{x + 1} $ 的值为整数.
∵当 $ x=-2,0,1 $ 时, 原分式没有意义,
∴当 $ x=-3 $ 时, $ \frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x - 1}{x}÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x} $ 的值为整数.
(2) 解: 分式 $ \frac{x^{2}-2x + 3}{x - 1} $ 为“和谐分式”. 理由如下:
∵ $ \frac{x^{2}-2x + 3}{x - 1}=\frac{x^{2}-2x + 1 + 2}{x - 1}=\frac{(x - 1)^{2}+2}{x - 1}=x - 1+\frac{2}{x - 1} $,
∴分式 $ \frac{x^{2}-2x + 3}{x - 1} $ 为“和谐分式”.
(3) 解: 原式 $ =\frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x - 1}{x}·\frac{x(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x + 2}{x + 1}=\frac{2x + 4}{x + 1}=\frac{2(x + 1)+2}{x + 1}=2+\frac{2}{x + 1} $.
当 $ x=-3,-2,0,1 $ 时, $ 2+\frac{2}{x + 1} $ 的值为整数.
∵当 $ x=-2,0,1 $ 时, 原分式没有意义,
∴当 $ x=-3 $ 时, $ \frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x - 1}{x}÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x} $ 的值为整数.