3. 根据下面材料解决问题.
【材料一】
已知$a^{2}-2ab+b^{2}≥ 0$,若$a＞0,b＞0$,则$a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}≥ 0$.由此得出以下不等式:$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,当且仅当a=b时,a+b有最小值.这个不等式在数学中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具.
【实例剖析1】
已知$x＞0,y=x+\frac{4}{x}$,求y的最小值.
解:令$a=x,b=\frac{4}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$y=x+\frac{4}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{4}{x}}=2× \sqrt{4}=4$,当且仅当$x=\frac{4}{x}$,即x=2时,y有最小值,最小值为4.
【材料二】
分子比分母小的分数叫作"真分数";分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫作"假分数".同理,在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称为"假分式";当分子的次数小于分母的次数时,我们称为"真分式".
【实例剖析2】
如:$\frac{3}{x+1},\frac{2x}{x^{2}+1}$这样的分式就是真分式;$\frac{x-1}{x+1},\frac{x^{2}}{x-1}$这样的分式就是假分式.
假分数$\frac{7}{4}$可以化成$1+\frac{3}{4}$(即$1\frac{3}{4}$)带分数的形式,类似地,假分式也可以化为带分式.
如:$\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$;$\frac{x^{2}}{x-1}=\frac{x^{2}-1+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$.
【初步尝试】
(1)已知$x＞0$,当x为
【类比运用】
(2)已知$x-2＞0$,且$y=\frac{x^{2}}{x-2}$.
①将y化为带分式的形式;
②当x为何值时,y有最小值?最小值是多少?
【拓展提升】
(3)已知$x＞0$,当x取何值时,分式$\frac{x+1}{x^{2}+x+9}$有最大值?最大值是多少?
【材料一】
已知$a^{2}-2ab+b^{2}≥ 0$,若$a＞0,b＞0$,则$a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}≥ 0$.由此得出以下不等式:$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,当且仅当a=b时,a+b有最小值.这个不等式在数学中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具.
【实例剖析1】
已知$x＞0,y=x+\frac{4}{x}$,求y的最小值.
解:令$a=x,b=\frac{4}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$y=x+\frac{4}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{4}{x}}=2× \sqrt{4}=4$,当且仅当$x=\frac{4}{x}$,即x=2时,y有最小值,最小值为4.
【材料二】
分子比分母小的分数叫作"真分数";分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫作"假分数".同理,在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称为"假分式";当分子的次数小于分母的次数时,我们称为"真分式".
【实例剖析2】
如:$\frac{3}{x+1},\frac{2x}{x^{2}+1}$这样的分式就是真分式;$\frac{x-1}{x+1},\frac{x^{2}}{x-1}$这样的分式就是假分式.
假分数$\frac{7}{4}$可以化成$1+\frac{3}{4}$(即$1\frac{3}{4}$)带分数的形式,类似地,假分式也可以化为带分式.
如:$\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$;$\frac{x^{2}}{x-1}=\frac{x^{2}-1+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$.
【初步尝试】
(1)已知$x＞0$,当x为
4
时,$x+\frac{16}{x}$有最小值8
;【类比运用】
(2)已知$x-2＞0$,且$y=\frac{x^{2}}{x-2}$.
①将y化为带分式的形式;
②当x为何值时,y有最小值?最小值是多少?
【拓展提升】
(3)已知$x＞0$,当x取何值时,分式$\frac{x+1}{x^{2}+x+9}$有最大值?最大值是多少?
答案：3. (1)4 8
(2)解：① $ y = \frac{x^2}{x - 2} = \frac{x^2 - 4 + 4}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2} $.
②
∵ $ x - 2 ＞ 0 $，
∴ $ y = x + 2 + \frac{4}{x - 2} = x - 2 + \frac{4}{x - 2} + 4 ≥ 2\sqrt{(x - 2) · \frac{4}{(x - 2)}} + 4 = 2\sqrt{4} + 4 = 8 $,
当 $ x - 2 = \frac{4}{x - 2} $，即 $ x = 4 $ 时，$ y $ 有最小值，最小值是 8.
(3)解：
∵ $ x ＞ 0 $，
∴ $ \frac{x^2 + x + 9}{x + 1} = \frac{x(x + 1) + 9}{x + 1} = x + \frac{9}{x + 1} = x + 1 + \frac{9}{x + 1} - 1 ≥ 2\sqrt{(x + 1) · \frac{9}{x + 1}} - 1 = 5 $,
当 $ x + 1 = \frac{9}{x + 1} $，即 $ x = 2 $ 时，$ \frac{x^2 + x + 9}{x + 1} $ 有最小值，最小值是 5.
∴当 $ x = 2 $ 时，$ \frac{x + 1}{x^2 + x + 9} $ 有最大值，最大值是 $ \frac{1}{5} $.
(2)解：① $ y = \frac{x^2}{x - 2} = \frac{x^2 - 4 + 4}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2} $.
②
∵ $ x - 2 ＞ 0 $，
∴ $ y = x + 2 + \frac{4}{x - 2} = x - 2 + \frac{4}{x - 2} + 4 ≥ 2\sqrt{(x - 2) · \frac{4}{(x - 2)}} + 4 = 2\sqrt{4} + 4 = 8 $,
当 $ x - 2 = \frac{4}{x - 2} $，即 $ x = 4 $ 时，$ y $ 有最小值，最小值是 8.
(3)解：
∵ $ x ＞ 0 $，
∴ $ \frac{x^2 + x + 9}{x + 1} = \frac{x(x + 1) + 9}{x + 1} = x + \frac{9}{x + 1} = x + 1 + \frac{9}{x + 1} - 1 ≥ 2\sqrt{(x + 1) · \frac{9}{x + 1}} - 1 = 5 $,
当 $ x + 1 = \frac{9}{x + 1} $，即 $ x = 2 $ 时，$ \frac{x^2 + x + 9}{x + 1} $ 有最小值，最小值是 5.
∴当 $ x = 2 $ 时，$ \frac{x + 1}{x^2 + x + 9} $ 有最大值，最大值是 $ \frac{1}{5} $.