1. 已知由$(a-b)^{2}≥ 0$,可得$a^{2}+b^{2}≥ 2ab$.运用上述结论解决问题:
(1)若x为正数,$\sqrt{x}+\sqrt{\frac{9}{x}}$的最小值为
(2)若$x＞3$,则$\frac{(x-3)^{2}+2x-4}{x-3}$的最小值为
(1)若x为正数,$\sqrt{x}+\sqrt{\frac{9}{x}}$的最小值为
$ 2\sqrt{3} $
;(2)若$x＞3$,则$\frac{(x-3)^{2}+2x-4}{x-3}$的最小值为
$ 2 + 2\sqrt{2} $
.答案：1. (1) $ 2\sqrt{3} $ (2) $ 2 + 2\sqrt{2} $
点拨：(1) $ \sqrt{x} + \sqrt{\frac{9}{x}} ≥ 2\sqrt{\sqrt{x} · \sqrt{\frac{9}{x}}} = 2\sqrt{3} $.
(2) $ \frac{(x - 3)^2 + 2x - 4}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2 + 2(x - 3) + 2}{x - 3} = (x - 3) + 2 + \frac{2}{x - 3} ≥ 2 + 2\sqrt{(x - 3) · \frac{2}{x - 3}} = 2 + 2\sqrt{2} $.
点拨：(1) $ \sqrt{x} + \sqrt{\frac{9}{x}} ≥ 2\sqrt{\sqrt{x} · \sqrt{\frac{9}{x}}} = 2\sqrt{3} $.
(2) $ \frac{(x - 3)^2 + 2x - 4}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2 + 2(x - 3) + 2}{x - 3} = (x - 3) + 2 + \frac{2}{x - 3} ≥ 2 + 2\sqrt{(x - 3) · \frac{2}{x - 3}} = 2 + 2\sqrt{2} $.
2. 阅读以下材料:如果有两个正数a,b,即$a＞0,b＞0$,由完全平方式的非负性可得:
$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}≥ 0$(当$\sqrt{a}=\sqrt{b}$即a=b时,取等号),$\therefore a-2\sqrt{ab}+b≥ 0$,$\therefore a+b≥ 2\sqrt{ab}$(当且仅当a=b时取等号).
结论:对任意两个正数a,b,都有$a+b≥ 2\sqrt{ab}$.上述不等式当且仅当a=b时等号成立.当这两个正数a,b的积为定值(常数)时,可以利用这个结论求两数a,b的和的最小值.例如:当x为正数时,两数x和$\frac{4}{x}$均为正数,且$x· \frac{4}{x}=4$(常数),则有$x+\frac{4}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{4}{x}}=2\sqrt{4}=4$,当且仅当$x=\frac{4}{x}$即x=2时取等号,$\therefore$当x=2时,$x+\frac{4}{x}$有最小值,最小值为4.利用以上结论完成下列问题:
(1)已知m为正数,则当m=
(2)当x,y均为正数时,求函数$y=x+\frac{4}{x+1}$的最小值;
(3)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,$△ AOB$,$△ COD$的面积分别是4和9,求四边形ABCD面积的最小值.
$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}≥ 0$(当$\sqrt{a}=\sqrt{b}$即a=b时,取等号),$\therefore a-2\sqrt{ab}+b≥ 0$,$\therefore a+b≥ 2\sqrt{ab}$(当且仅当a=b时取等号).
结论:对任意两个正数a,b,都有$a+b≥ 2\sqrt{ab}$.上述不等式当且仅当a=b时等号成立.当这两个正数a,b的积为定值(常数)时,可以利用这个结论求两数a,b的和的最小值.例如:当x为正数时,两数x和$\frac{4}{x}$均为正数,且$x· \frac{4}{x}=4$(常数),则有$x+\frac{4}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{4}{x}}=2\sqrt{4}=4$,当且仅当$x=\frac{4}{x}$即x=2时取等号,$\therefore$当x=2时,$x+\frac{4}{x}$有最小值,最小值为4.利用以上结论完成下列问题:
(1)已知m为正数,则当m=
1
时,$m+\frac{1}{m}$有最小值,最小值为2
;(2)当x,y均为正数时,求函数$y=x+\frac{4}{x+1}$的最小值;
(3)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,$△ AOB$,$△ COD$的面积分别是4和9,求四边形ABCD面积的最小值.
答案：2. (1)1 2
(2)解：当 $ x ＞ 0 $, $ y ＞ 0 $ 时，$ x + \frac{4}{x + 1} = x + 1 + \frac{4}{x + 1} - 1 ≥ 2\sqrt{(x + 1) · \frac{4}{x + 1}} - 1 = 2 × 2 - 1 = 3 $,
当且仅当 $ x + 1 = \frac{4}{x + 1} $，即 $ x + 1 = 2 $，即 $ x = 1 $ 时取等号，
∴当 $ x = 1 $ 时，函数 $ y = x + \frac{4}{x + 1} $ 有最小值，最小值为 3.
(3)解：设 $ S_{△ BOC} = x $，由题意可知，$ S_{△ BOC} : S_{△ AOD} = S_{△ AOB} : S_{△ AOD} $，则 $ x : 9 = 4 : S_{△ AOD} $，
∴ $ S_{△ AOD} = \frac{36}{x} $.
∴ $ S_{\mathrm{四边形}ABCD} = 4 + 9 + x + \frac{36}{x} ≥ 13 + 2\sqrt{x · \frac{36}{x}} = 25 $，当且仅当 $ x = 6 $ 时等号成立.
∴四边形 $ ABCD $ 面积的最小值为 25.
(2)解：当 $ x ＞ 0 $, $ y ＞ 0 $ 时，$ x + \frac{4}{x + 1} = x + 1 + \frac{4}{x + 1} - 1 ≥ 2\sqrt{(x + 1) · \frac{4}{x + 1}} - 1 = 2 × 2 - 1 = 3 $,
当且仅当 $ x + 1 = \frac{4}{x + 1} $，即 $ x + 1 = 2 $，即 $ x = 1 $ 时取等号，
∴当 $ x = 1 $ 时，函数 $ y = x + \frac{4}{x + 1} $ 有最小值，最小值为 3.
(3)解：设 $ S_{△ BOC} = x $，由题意可知，$ S_{△ BOC} : S_{△ AOD} = S_{△ AOB} : S_{△ AOD} $，则 $ x : 9 = 4 : S_{△ AOD} $，
∴ $ S_{△ AOD} = \frac{36}{x} $.
∴ $ S_{\mathrm{四边形}ABCD} = 4 + 9 + x + \frac{36}{x} ≥ 13 + 2\sqrt{x · \frac{36}{x}} = 25 $，当且仅当 $ x = 6 $ 时等号成立.
∴四边形 $ ABCD $ 面积的最小值为 25.