1. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了利用三角形三边长 $a$，$b$，$c$ 求三角形面积的“秦九韶公式”，即 $S = \sqrt{\dfrac{1}{4}[a^{2}b^{2} - (\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})^{2}]}$. 已知在 $△ ABC$ 中，$a = \sqrt{5}$，$b = \sqrt{6}$，$c = \sqrt{7}$，则 $b$ 边上的高为(
A.$\dfrac{\sqrt{39}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{39}}{6}$
D.$\dfrac{\sqrt{26}}{4}$
A
)A.$\dfrac{\sqrt{39}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{39}}{6}$
D.$\dfrac{\sqrt{26}}{4}$
答案：1. A 点拨：
∵$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{7}$，
∴$a^{2}=5$，$b^{2}=6$，$c^{2}=7$，
∴$S_{△ ABC}=\sqrt{\frac{1}{4}[a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×[5×6-(\frac{5+6-7}{2})^{2}]}=\sqrt{\frac{1}{4}×[30-(\frac{4}{2})^{2}]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×(30 - 4)}=\frac{1}{2}\sqrt{26}$
∴$b$边上的高为$\frac{2S_{△ ABC}}{b}=\frac{2×\frac{1}{2}\sqrt{26}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{39}}{3}$
∵$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{7}$，
∴$a^{2}=5$，$b^{2}=6$，$c^{2}=7$，
∴$S_{△ ABC}=\sqrt{\frac{1}{4}[a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×[5×6-(\frac{5+6-7}{2})^{2}]}=\sqrt{\frac{1}{4}×[30-(\frac{4}{2})^{2}]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×(30 - 4)}=\frac{1}{2}\sqrt{26}$
∴$b$边上的高为$\frac{2S_{△ ABC}}{b}=\frac{2×\frac{1}{2}\sqrt{26}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{39}}{3}$
2. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A(-2,2)$，$B(2,1)$，点 $P(x,0)$ 是 $x$ 轴上的一个动点.
(1) 用含 $x$ 的式子表示线段 $PA$ 的长是
(2) 结合图形，判断式子 $\sqrt{(x + 2)^{2} + 4} + \sqrt{(2 - x)^{2} + 1}$ 的最小值是
(1) 用含 $x$ 的式子表示线段 $PA$ 的长是
$\sqrt{x^{2}+4x+8}$
；(2) 结合图形，判断式子 $\sqrt{(x + 2)^{2} + 4} + \sqrt{(2 - x)^{2} + 1}$ 的最小值是
5
.答案：
2. (1)$\sqrt{x^{2}+4x+8}$ 点拨：
∵点$A(-2,2)$，点$P(x,0)$，
∴$PA=\sqrt{2^{2}+(x + 2)^{2}}=\sqrt{x^{2}+4x+8}$
(2)5 点拨：
∵$A(-2,2)$，$B(2,1)$，$P(x,0)$，
∴由图形可得$PA + PB=\sqrt{(x + 2)^{2}+4}+\sqrt{(2 - x)^{2}+1}$
如答图，作点$B(2,1)$关于$x$轴的对称点$C(2,-1)$，连接$AC$．
根据对称性可得$PA + PB$的最小值即线段$AC$的长，
∴$PA + PB$的最小值$=AC=\sqrt{(2 + 2)^{2}+(2 + 1)^{2}}=5$
2. (1)$\sqrt{x^{2}+4x+8}$ 点拨：
∵点$A(-2,2)$，点$P(x,0)$，
∴$PA=\sqrt{2^{2}+(x + 2)^{2}}=\sqrt{x^{2}+4x+8}$
(2)5 点拨：
∵$A(-2,2)$，$B(2,1)$，$P(x,0)$，
∴由图形可得$PA + PB=\sqrt{(x + 2)^{2}+4}+\sqrt{(2 - x)^{2}+1}$
如答图，作点$B(2,1)$关于$x$轴的对称点$C(2,-1)$，连接$AC$．
根据对称性可得$PA + PB$的最小值即线段$AC$的长，
∴$PA + PB$的最小值$=AC=\sqrt{(2 + 2)^{2}+(2 + 1)^{2}}=5$
3. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦从高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常让人避让不及. 据研究，高空抛物下落的时间 $t$（单位：$s$）和高度 $h$（单位：$m$）近似满足公式 $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$（不考虑风速的影响，$g\approx 10\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$）.
(1) 求从 $40\ \mathrm{m}$ 高空抛物到落地的时间；（结果保留根号）
(2) 已知高空抛物产生的动能（单位：$\mathrm{J}$）$= 10×$ 物体质量（单位：$\mathrm{kg}$）$×$ 高度（单位：$\mathrm{m}$），某质量为 $0.2\ \mathrm{kg}$ 的玩具在高空被抛出后，经过 $4\ \mathrm{s}$ 落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由.（注：伤害无防护人体只需要 $65\ \mathrm{J}$ 的动能）
(1) 求从 $40\ \mathrm{m}$ 高空抛物到落地的时间；（结果保留根号）
(2) 已知高空抛物产生的动能（单位：$\mathrm{J}$）$= 10×$ 物体质量（单位：$\mathrm{kg}$）$×$ 高度（单位：$\mathrm{m}$），某质量为 $0.2\ \mathrm{kg}$ 的玩具在高空被抛出后，经过 $4\ \mathrm{s}$ 落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由.（注：伤害无防护人体只需要 $65\ \mathrm{J}$ 的动能）
答案：3. 解：(1)当$h = 40m$时，$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\approx\sqrt{\frac{2×40}{10}}=2\sqrt{2}(s)$
答：从$40m$高空抛物到落地的时间为$2\sqrt{2}s$．
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．理由如下：
当$t = 4s$时，$\sqrt{\frac{2h}{g}}\approx\sqrt{\frac{2h}{10}} = 4$，
∴$h = 80m$，
∴这个玩具产生的动能$=10×0.2×80 = 160(J)$
∵$160＞65$，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人
答：从$40m$高空抛物到落地的时间为$2\sqrt{2}s$．
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．理由如下：
当$t = 4s$时，$\sqrt{\frac{2h}{g}}\approx\sqrt{\frac{2h}{10}} = 4$，
∴$h = 80m$，
∴这个玩具产生的动能$=10×0.2×80 = 160(J)$
∵$160＞65$，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人