1. 已知 $x = \sqrt{5} - 1$，$y = \sqrt{5} + 1$，则代数式 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ 的值为(
A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
C
)A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案：1. C 点拨：
∵ $ x = \sqrt { 5 } - 1 $，$ y = \sqrt { 5 } + 1 $，
∴ $ y - x = 2 $，$ x y = ( \sqrt { 5 } - 1 ) ( \sqrt { 5 } + 1 ) = 4 $，
∴ $ \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { y } = \frac { y - x } { x y } = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } $。
∵ $ x = \sqrt { 5 } - 1 $，$ y = \sqrt { 5 } + 1 $，
∴ $ y - x = 2 $，$ x y = ( \sqrt { 5 } - 1 ) ( \sqrt { 5 } + 1 ) = 4 $，
∴ $ \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { y } = \frac { y - x } { x y } = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } $。
2. 已知 $a + b = 6$，$ab = 7$，则代数式 $a\sqrt{\frac{a}{b}} + b\sqrt{\frac{b}{a}}$ 的值为
$ \frac { 22 } { 7 } \sqrt { 7 } $
。答案：2. $ \frac { 22 } { 7 } \sqrt { 7 } $ 点拨：
∵ $ a + b = 6 $，$ a b = 7 $，
∴ $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $。
∴ $ a \sqrt { \frac { a } { b } } + b \sqrt { \frac { b } { a } } = \frac { a } { b } \sqrt { a b } + \frac { b } { a } \sqrt { a b } = \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a b } \sqrt { a b } = \frac { ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b } { a b } \sqrt { a b } = \frac { 6 ^ { 2 } - 2 × 7 } { 7 } \sqrt { 7 } = \frac { 22 } { 7 } \sqrt { 7 } $。
∵ $ a + b = 6 $，$ a b = 7 $，
∴ $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $。
∴ $ a \sqrt { \frac { a } { b } } + b \sqrt { \frac { b } { a } } = \frac { a } { b } \sqrt { a b } + \frac { b } { a } \sqrt { a b } = \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a b } \sqrt { a b } = \frac { ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b } { a b } \sqrt { a b } = \frac { 6 ^ { 2 } - 2 × 7 } { 7 } \sqrt { 7 } = \frac { 22 } { 7 } \sqrt { 7 } $。
3. 已知 $x = \sqrt{5} + 2$，$y = \sqrt{5} - 2$。
(1) 求 $x^{2} + xy + y^{2}$ 的值；
(2) 求 $x^{2} + y^{2} - xy - 2x - 2y$ 的值。
(1) 求 $x^{2} + xy + y^{2}$ 的值；
(2) 求 $x^{2} + y^{2} - xy - 2x - 2y$ 的值。
答案：3. 解：
∵ $ x = \sqrt { 5 } + 2 $，$ y = \sqrt { 5 } - 2 $，
∴ $ x + y = 2 \sqrt { 5 } $，$ x y = 1 $。
(1) 原式 $ = ( x + y ) ^ { 2 } - x y = ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - 1 = 20 - 1 = 19 $。
(2) 原式 $ = ( x + y ) ^ { 2 } - 3 x y - 2 ( x + y ) = ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - 3 × 1 - 2 × 2 \sqrt { 5 } = 17 - 4 \sqrt { 5 } $。
∵ $ x = \sqrt { 5 } + 2 $，$ y = \sqrt { 5 } - 2 $，
∴ $ x + y = 2 \sqrt { 5 } $，$ x y = 1 $。
(1) 原式 $ = ( x + y ) ^ { 2 } - x y = ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - 1 = 20 - 1 = 19 $。
(2) 原式 $ = ( x + y ) ^ { 2 } - 3 x y - 2 ( x + y ) = ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - 3 × 1 - 2 × 2 \sqrt { 5 } = 17 - 4 \sqrt { 5 } $。
4. 已知 $a = 7 - 2\sqrt{6}$，$b = 7 + 2\sqrt{6}$。
(1) $a + b =$
(2) 求 $a^{2} + b^{2} - ab$ 的值；
(3) 若 $m$ 为 $a$ 的整数部分，$n$ 为 $b$ 的小数部分，求 $\frac{m}{n}$ 的值。
(1) $a + b =$
14
，$ab =$25
；(2) 求 $a^{2} + b^{2} - ab$ 的值；
(3) 若 $m$ 为 $a$ 的整数部分，$n$ 为 $b$ 的小数部分，求 $\frac{m}{n}$ 的值。
答案：4. (1) 14 25
(2) 解：
∵ $ a = 7 - 2 \sqrt { 6 } $，$ b = 7 + 2 \sqrt { 6 } $，
∴ $ a + b = 14 $，$ a b = 25 $。
∴ $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - a b = ( a + b ) ^ { 2 } - 3 a b = 14 ^ { 2 } - 3 × 25 = 196 - 75 = 121 $。
(3) 解：
∵ $ \sqrt { 16 } ＜ 2 \sqrt { 6 } = \sqrt { 24 } ＜ \sqrt { 25 } $，
∴ $ 4 ＜ 2 \sqrt { 6 } ＜ 5 $，
∴ $ - 5 ＜ - 2 \sqrt { 6 } ＜ - 4 $，
∴ $ 2 ＜ 7 - 2 \sqrt { 6 } ＜ 3 $，$ 11 ＜ 7 + 2 \sqrt { 6 } ＜ 12 $。
∵ $ m $ 为 $ a $ 的整数部分，$ n $ 为 $ b $ 的小数部分，
∴ $ m = 2 $，$ n = 7 + 2 \sqrt { 6 } - 11 = 2 \sqrt { 6 } - 4 $，
∴ $ \frac { m } { n } = \frac { 2 } { 2 \sqrt { 6 } - 4 } = \frac { \sqrt { 6 } + 2 } { 2 } $。
(2) 解：
∵ $ a = 7 - 2 \sqrt { 6 } $，$ b = 7 + 2 \sqrt { 6 } $，
∴ $ a + b = 14 $，$ a b = 25 $。
∴ $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - a b = ( a + b ) ^ { 2 } - 3 a b = 14 ^ { 2 } - 3 × 25 = 196 - 75 = 121 $。
(3) 解：
∵ $ \sqrt { 16 } ＜ 2 \sqrt { 6 } = \sqrt { 24 } ＜ \sqrt { 25 } $，
∴ $ 4 ＜ 2 \sqrt { 6 } ＜ 5 $，
∴ $ - 5 ＜ - 2 \sqrt { 6 } ＜ - 4 $，
∴ $ 2 ＜ 7 - 2 \sqrt { 6 } ＜ 3 $，$ 11 ＜ 7 + 2 \sqrt { 6 } ＜ 12 $。
∵ $ m $ 为 $ a $ 的整数部分，$ n $ 为 $ b $ 的小数部分，
∴ $ m = 2 $，$ n = 7 + 2 \sqrt { 6 } - 11 = 2 \sqrt { 6 } - 4 $，
∴ $ \frac { m } { n } = \frac { 2 } { 2 \sqrt { 6 } - 4 } = \frac { \sqrt { 6 } + 2 } { 2 } $。