1. 化简$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$的结果是(
A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.$-2$
D
)A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.$-2$
答案：1. D 点拨：原式 $ = \sqrt{2 - 2\sqrt{2} + 1} - \sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 2 × \sqrt{2} × 1 + 1^2} - \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2 × \sqrt{2} × 1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = (\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1) = -2 $。故选 D。
2. 计算$\sqrt{\sqrt{2025} - \sqrt{2024}}$的结果是
$ \sqrt{23} - \sqrt{22} $
。答案：2. $ \sqrt{23} - \sqrt{22} $ 点拨：$ \sqrt{\sqrt{2025} - \sqrt{2024}} = \sqrt{45 - 2\sqrt{506}} = \sqrt{23 - 2\sqrt{23 × 22} + 22} = \sqrt{(\sqrt{23} - \sqrt{22})^2} = \sqrt{23} - \sqrt{22} $。
3. 像$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$，$\sqrt{\sqrt{48} - \sqrt{45}}$这样的根式叫作复合二次根式(也叫作二重根式)。有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：如$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}=\sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2} - 2×\sqrt{3}×1 + 1^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^{2}}=\sqrt{3} - 1$；再如$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{3 + 2\sqrt{6} + 2}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3} + \sqrt{2}$。
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：$\sqrt{9 + 2\sqrt{14}}=$
(2)化简：$\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}=$
(3)若$(\sqrt{2}m - n)^{2}=k - 6\sqrt{2}$，且$k$，$m$，$n$为正整数，求$k$的值。
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：$\sqrt{9 + 2\sqrt{14}}=$
$ \sqrt{7} + \sqrt{2} $
；(2)化简：$\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}=$
$ \sqrt{6} - \sqrt{2} $
；(3)若$(\sqrt{2}m - n)^{2}=k - 6\sqrt{2}$，且$k$，$m$，$n$为正整数，求$k$的值。
答案：3. (1) $ \sqrt{7} + \sqrt{2} $ (2) $ \sqrt{6} - \sqrt{2} $
(3) 解：$ \because (\sqrt{2}m - n)^2 = k - 6\sqrt{2} $，
$ \therefore 2m^2 - 2\sqrt{2}mn + n^2 = k - 6\sqrt{2} $。
$ \therefore k = 2m^2 + n^2 $，$ 2mn = 6 $。
$ \therefore mn = 3 $。
又 $ \because k $，$ m $，$ n $ 为正整数，
$ \therefore m = 3 $，$ n = 1 $ 或 $ m = 1 $，$ n = 3 $。
$ \therefore $ 当 $ m = 3 $，$ n = 1 $ 时，$ k = 2m^2 + n^2 = 2 × 3^2 + 1^2 = 19 $；
当 $ m = 1 $，$ n = 3 $ 时，$ k = 2m^2 + n^2 = 2 × 1^2 + 3^2 = 11 $。
$ \therefore k $ 的值为 19 或 11。
(3) 解：$ \because (\sqrt{2}m - n)^2 = k - 6\sqrt{2} $，
$ \therefore 2m^2 - 2\sqrt{2}mn + n^2 = k - 6\sqrt{2} $。
$ \therefore k = 2m^2 + n^2 $，$ 2mn = 6 $。
$ \therefore mn = 3 $。
又 $ \because k $，$ m $，$ n $ 为正整数，
$ \therefore m = 3 $，$ n = 1 $ 或 $ m = 1 $，$ n = 3 $。
$ \therefore $ 当 $ m = 3 $，$ n = 1 $ 时，$ k = 2m^2 + n^2 = 2 × 3^2 + 1^2 = 19 $；
当 $ m = 1 $，$ n = 3 $ 时，$ k = 2m^2 + n^2 = 2 × 1^2 + 3^2 = 11 $。
$ \therefore k $ 的值为 19 或 11。