1. 已知一次函数$y = - mx + n$的图象经过第二、三、四象限，则化简$\sqrt{(m - n)^2} + \sqrt{n^2}$的结果是(
A.$n$
B.$- m$
C.$2m - n$
D.$m - 2n$
D
)A.$n$
B.$- m$
C.$2m - n$
D.$m - 2n$
答案：1. D 点拨：
∵一次函数 $ y = -mx + n $ 的图象经过第二、三、四象限，
∴ $ -m ＜ 0 $，$ n ＜ 0 $，即 $ m ＞ 0 $，$ n ＜ 0 $。
∴ $ m - n ＞ 0 $。
∴ $ \sqrt{(m - n)^2} + \sqrt{n^2} = |m - n| + |n| = m - n - n = m - 2n $。故选 D。
∵一次函数 $ y = -mx + n $ 的图象经过第二、三、四象限，
∴ $ -m ＜ 0 $，$ n ＜ 0 $，即 $ m ＞ 0 $，$ n ＜ 0 $。
∴ $ m - n ＞ 0 $。
∴ $ \sqrt{(m - n)^2} + \sqrt{n^2} = |m - n| + |n| = m - n - n = m - 2n $。故选 D。
2. 已知实数$a$，$b$满足$a = \frac{\sqrt{b^2 - 9} + \sqrt{9 - b^2} + 6}{b - 3}$，求$\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2} - \sqrt{12ab}$的值。
答案：2. 解：由题意，得 $ \begin{cases} b^2 - 9 ≥ 0, \\ 9 - b^2 ≥ 0, \\ b - 3 ≠ 0, \end{cases} $ 解得 $ b = -3 $，
∴ $ a = -1 $。
∴ 原式 $ = \sqrt{(a - 2b)^2} - \sqrt{12ab} $
$ = \sqrt{[-1 - 2 × (-3)]^2} - \sqrt{12 × (-1) × (-3)} $
$ = \sqrt{5^2} - \sqrt{6^2} $
$ = 5 - 6 $
$ = -1 $。
∴ $ a = -1 $。
∴ 原式 $ = \sqrt{(a - 2b)^2} - \sqrt{12ab} $
$ = \sqrt{[-1 - 2 × (-3)]^2} - \sqrt{12 × (-1) × (-3)} $
$ = \sqrt{5^2} - \sqrt{6^2} $
$ = 5 - 6 $
$ = -1 $。
3. 利用分类讨论的方法及二次根式的性质解答下列问题：
(1) 当$2 ≤ a ≤ 5$时，化简：$\sqrt{(a - 2)^2} + \sqrt{(a - 5)^2} =$
(2) 若等式$\sqrt{(3 - a)^2} + \sqrt{(a - 7)^2} = 4$成立，则$a$的取值范围是
(3) 若$\sqrt{(a + 1)^2} + \sqrt{(a - 5)^2} = 8$，求$a$的值。
(1) 当$2 ≤ a ≤ 5$时，化简：$\sqrt{(a - 2)^2} + \sqrt{(a - 5)^2} =$
3
；(2) 若等式$\sqrt{(3 - a)^2} + \sqrt{(a - 7)^2} = 4$成立，则$a$的取值范围是
$3 ≤ a ≤ 7$
；(3) 若$\sqrt{(a + 1)^2} + \sqrt{(a - 5)^2} = 8$，求$a$的值。
答案：3. (1) 3 (2) $ 3 ≤ a ≤ 7 $
(3) 解：原方程可化为 $ |a + 1| + |a - 5| = 8 $。
当 $ a ＜ -1 $ 时，原方程为 $ -(1 + a) + (5 - a) = 8 $，
即 $ 4 - 2a = 8 $，解得 $ a = -2 $；
当 $ -1 ≤ a ≤ 5 $ 时，原方程为 $ a + 1 + 5 - a = 8 $，此方程无解；
当 $ a ＞ 5 $ 时，原方程为 $ (a + 1) + (a - 5) = 8 $，即 $ 2a - 4 = 8 $，
解得 $ a = 6 $。
综上，$ a $ 的值为 $ -2 $ 或 $ 6 $。
(3) 解：原方程可化为 $ |a + 1| + |a - 5| = 8 $。
当 $ a ＜ -1 $ 时，原方程为 $ -(1 + a) + (5 - a) = 8 $，
即 $ 4 - 2a = 8 $，解得 $ a = -2 $；
当 $ -1 ≤ a ≤ 5 $ 时，原方程为 $ a + 1 + 5 - a = 8 $，此方程无解；
当 $ a ＞ 5 $ 时，原方程为 $ (a + 1) + (a - 5) = 8 $，即 $ 2a - 4 = 8 $，
解得 $ a = 6 $。
综上，$ a $ 的值为 $ -2 $ 或 $ 6 $。