2. 仔细观察下面的变形规律：
$ \dfrac{1}{1 × 2} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} $，$ \dfrac{1}{2 × 3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} $，$ \dfrac{1}{3 × 4} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} $，……
解答下面的问题：
(1)【总结规律】
已知 $ n $ 为正整数，请将 $ \dfrac{1}{n(n + 1)} $ 和 $ \dfrac{1}{n(n + 2)} $ 写成上面式子的形式；
(2)【类比发现】
计算 $ \dfrac{1}{1 × 2} + \dfrac{1}{2 × 3} + \dfrac{1}{3 × 4} + ··· + \dfrac{1}{2025 × 2026} $ 与 $ \dfrac{1}{2 × 4} + \dfrac{1}{4 × 6} + \dfrac{1}{6 × 8} + ··· + \dfrac{1}{2024 × 2026} $ 的结果；
(3)【知识迁移】
解关于 $ n $（$ n $ 为正整数）的分式方程：$ \dfrac{1}{1 × 3} + \dfrac{1}{3 × 5} + \dfrac{1}{5 × 7} + ··· + \dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \dfrac{n + 100}{2n + 202} $；
(4)【规律应用】
化简 $ \dfrac{1}{1 × 3} + \dfrac{1}{2 × 4} + \dfrac{1}{3 × 5} + \dfrac{1}{4 × 6} + ··· + \dfrac{1}{n(n + 2)} $.
$ \dfrac{1}{1 × 2} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} $，$ \dfrac{1}{2 × 3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} $，$ \dfrac{1}{3 × 4} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} $，……
解答下面的问题：
(1)【总结规律】
已知 $ n $ 为正整数，请将 $ \dfrac{1}{n(n + 1)} $ 和 $ \dfrac{1}{n(n + 2)} $ 写成上面式子的形式；
(2)【类比发现】
计算 $ \dfrac{1}{1 × 2} + \dfrac{1}{2 × 3} + \dfrac{1}{3 × 4} + ··· + \dfrac{1}{2025 × 2026} $ 与 $ \dfrac{1}{2 × 4} + \dfrac{1}{4 × 6} + \dfrac{1}{6 × 8} + ··· + \dfrac{1}{2024 × 2026} $ 的结果；
(3)【知识迁移】
解关于 $ n $（$ n $ 为正整数）的分式方程：$ \dfrac{1}{1 × 3} + \dfrac{1}{3 × 5} + \dfrac{1}{5 × 7} + ··· + \dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \dfrac{n + 100}{2n + 202} $；
(4)【规律应用】
化简 $ \dfrac{1}{1 × 3} + \dfrac{1}{2 × 4} + \dfrac{1}{3 × 5} + \dfrac{1}{4 × 6} + ··· + \dfrac{1}{n(n + 2)} $.
答案：2. 解：(1) $ \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} $，
$ \frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}) $。
(2) $ \frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + ··· + \frac{1}{2025 × 2026} $
$ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ··· + \frac{1}{2025} - \frac{1}{2026} $
$ = 1 - \frac{1}{2026} = \frac{2025}{2026} $。
$ \frac{1}{2 × 4} + \frac{1}{4 × 6} + \frac{1}{6 × 8} + ··· + \frac{1}{2024 × 2026} $
$ = \frac{1}{4} × (\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + ··· + \frac{1}{1012 × 1013}) $
$ = \frac{1}{4} × \frac{1012}{1013} = \frac{253}{1013} $。
(3) 原方程可化为 $ \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ··· + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}) = \frac{n + 100}{2n + 202} $，
即 $ \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n + 1}) = \frac{n + 100}{2n + 202} $，
去分母，得 $ 2n^{2} + 202n = (2n + 1)(n + 100) $，
解得 $ n = 100 $。
检验：因为 $ n $ 为正整数，原方程分母不会为零，
$ \therefore $ 原方程的解为 $ n = 100 $。
(4) 原式 $ = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + ··· + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}) $
$ = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) $
$ = \frac{n(3n + 5)}{4(n + 1)(n + 2)} $。
$ \frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}) $。
(2) $ \frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + ··· + \frac{1}{2025 × 2026} $
$ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ··· + \frac{1}{2025} - \frac{1}{2026} $
$ = 1 - \frac{1}{2026} = \frac{2025}{2026} $。
$ \frac{1}{2 × 4} + \frac{1}{4 × 6} + \frac{1}{6 × 8} + ··· + \frac{1}{2024 × 2026} $
$ = \frac{1}{4} × (\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + ··· + \frac{1}{1012 × 1013}) $
$ = \frac{1}{4} × \frac{1012}{1013} = \frac{253}{1013} $。
(3) 原方程可化为 $ \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ··· + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}) = \frac{n + 100}{2n + 202} $，
即 $ \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n + 1}) = \frac{n + 100}{2n + 202} $，
去分母，得 $ 2n^{2} + 202n = (2n + 1)(n + 100) $，
解得 $ n = 100 $。
检验：因为 $ n $ 为正整数，原方程分母不会为零，
$ \therefore $ 原方程的解为 $ n = 100 $。
(4) 原式 $ = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + ··· + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}) $
$ = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) $
$ = \frac{n(3n + 5)}{4(n + 1)(n + 2)} $。