例 $4$
小明正开着台灯写作业，突然停电了，小明一连按了 $7$ 次开关，那么来电时，灯是亮着的还是不亮的？
小明正开着台灯写作业，突然停电了，小明一连按了 $7$ 次开关，那么来电时，灯是亮着的还是不亮的？
答案：思路分析：停电前灯是亮着的，停电后按 $1$ 次是不亮的，按 $2$ 次是亮的，按 $3$ 次是不亮的 $······$ 由此找到规律：按奇数次是不亮的，按偶数次是亮的，所以按 $7$ 次开关，来电时，灯是不亮的。
规范解答：来电时，灯是不亮的。
技巧归纳：解决此类问题时，需先列举再找出规律，从而解决问题。
规范解答：来电时，灯是不亮的。
技巧归纳：解决此类问题时，需先列举再找出规律，从而解决问题。
跟踪练习 $4$：一只小狗在 $A$、$B$ 两栋楼之间来回奔跑。最初，小狗从 $A$ 楼跑到 $B$ 楼(往返算 $2$ 次)。当小狗跑了 $2025$ 次后，小狗停在(
B
)楼。答案：本题可先找出小狗奔跑次数的规律，再根据规律判断小狗跑了$2025$次后停在哪栋楼。
步骤一：找出小狗奔跑次数的规律
已知小狗最初从$A$楼跑到$B$楼，往返算$2$次。
跑$1$次后，小狗停在$B$楼；
跑$2$次后，小狗停在$A$楼；
跑$3$次后，小狗停在$B$楼；
跑$4$次后，小狗停在$A$楼；
$······$
由此可发现规律：当小狗跑的次数为奇数时，小狗停在$B$楼；当小狗跑的次数为偶数时，小狗停在$A$楼。
步骤二：判断小狗跑了$2025$次后停在哪栋楼
因为$2025$是奇数，根据上述规律可知，当小狗跑了$2025$次后，小狗停在$B$楼。
综上，答案为$B$。
步骤一：找出小狗奔跑次数的规律
已知小狗最初从$A$楼跑到$B$楼，往返算$2$次。
跑$1$次后，小狗停在$B$楼；
跑$2$次后，小狗停在$A$楼；
跑$3$次后，小狗停在$B$楼；
跑$4$次后，小狗停在$A$楼；
$······$
由此可发现规律：当小狗跑的次数为奇数时，小狗停在$B$楼；当小狗跑的次数为偶数时，小狗停在$A$楼。
步骤二：判断小狗跑了$2025$次后停在哪栋楼
因为$2025$是奇数，根据上述规律可知，当小狗跑了$2025$次后，小狗停在$B$楼。
综上，答案为$B$。
例
把 $12$、$18$、$33$、$35$、$36$、$65$、$77$、$104$ 这八个数分成两组，使每组四个数的乘积相等。
把 $12$、$18$、$33$、$35$、$36$、$65$、$77$、$104$ 这八个数分成两组，使每组四个数的乘积相等。
答案：思路分析：要使两组数的乘积相等，就必须使这两组数的乘积中，所含的质因数完全相同。因此，可先将这八个数分别分解质因数。$12 = 2×2×3$，$18 = 2×3×3$，$33 = 3×11$，$35 = 5×7$，$36 = 2×2×3×3$，$65 = 5×13$，$77 = 7×11$，$104 = 2×2×2×13$，可见一共有 $8$ 个 $2$，$6$ 个 $3$，$2$ 个 $5$，$2$ 个 $7$，$2$ 个 $11$，$2$ 个 $13$。$104$ 和 $65$ 要分在不同的组里，因为含有质因数 $13$ 的只有这两个数；又因为 $65$ 里含有质因数 $5$，所以 $35$ 和 $104$ 应分在同一组；因为 $35$ 里有质因数 $7$，所以 $77$ 必须和 $65$ 一组；同理，$33$ 和 $104$ 一组。又因为共有 $8$ 个质因数 $2$，每组应有 $4$ 个质因数 $2$，所以 $33$、$35$、$104$ 和 $18$ 为一组，$77$、$65$、$36$ 和 $12$ 为另一组。
规范解答：$(2×2×3)×(2×2×3×3)×(5×13)×(7×11) = (2×3×3)×(3×11)×(5×7)×(2×2×2×13)$
$12×36×65×77 = 18×33×35×104$
答：这两组数分别是 $12$、$36$、$65$、$77$ 和 $18$、$33$、$35$、$104$。
技巧归纳：将所给的数分别分解质因数，再对分解得到的质因数进行适当的分析、组合，使得两组数中含有相同的质因数，且同一质因数的个数也相同，就能使得分的两组数的乘积相等。
规范解答：$(2×2×3)×(2×2×3×3)×(5×13)×(7×11) = (2×3×3)×(3×11)×(5×7)×(2×2×2×13)$
$12×36×65×77 = 18×33×35×104$
答：这两组数分别是 $12$、$36$、$65$、$77$ 和 $18$、$33$、$35$、$104$。
技巧归纳：将所给的数分别分解质因数，再对分解得到的质因数进行适当的分析、组合，使得两组数中含有相同的质因数，且同一质因数的个数也相同，就能使得分的两组数的乘积相等。
跟踪练习：把 $49$、$10$、$14$、$21$、$15$、$9$ 平均分成两组，使两组三个数的乘积相等，可以怎样分？
答案：本题可先将这六个数分解质因数，再根据质因数的情况进行分组，使得两组数中所含的质因数相同，且同一质因数的个数也相同，这样两组数的乘积就相等。
步骤一：将这六个数分解质因数
$49 = 7×7$
$10 = 2×5$
$14 = 2×7$
$21 = 3×7$
$15 = 3×5$
$9 = 3×3$
步骤二：分析质因数的情况并分组
通过分解质因数可知，这六个数中一共有$2$个$2$，$4$个$3$，$2$个$5$，$4$个$7$。要使分成的两组数的乘积相等，则每组数中应含有$1$个$2$，$2$个$3$，$1$个$5$，$2$个$7$。
分组如下：
第一组：$49$、$10$、$9$，其中$49$含有$2$个$7$，$10$含有$1$个$2$和$1$个$5$，$9$含有$2$个$3$，满足每组数中质因数的要求。
第二组：$14$、$21$、$15$，其中$14$含有$1$个$2$和$1$个$7$，$21$含有$1$个$3$和$1$个$7$，$15$含有$1$个$3$和$1$个$5$，也满足每组数中质因数的要求。
验证：$49×10×9 = 4410$，$14×21×15 = 4410$，两组数的乘积相等。
综上，可以分成$49$、$10$、$9$一组和$14$、$21$、$15$一组。
步骤一：将这六个数分解质因数
$49 = 7×7$
$10 = 2×5$
$14 = 2×7$
$21 = 3×7$
$15 = 3×5$
$9 = 3×3$
步骤二：分析质因数的情况并分组
通过分解质因数可知，这六个数中一共有$2$个$2$，$4$个$3$，$2$个$5$，$4$个$7$。要使分成的两组数的乘积相等，则每组数中应含有$1$个$2$，$2$个$3$，$1$个$5$，$2$个$7$。
分组如下：
第一组：$49$、$10$、$9$，其中$49$含有$2$个$7$，$10$含有$1$个$2$和$1$个$5$，$9$含有$2$个$3$，满足每组数中质因数的要求。
第二组：$14$、$21$、$15$，其中$14$含有$1$个$2$和$1$个$7$，$21$含有$1$个$3$和$1$个$7$，$15$含有$1$个$3$和$1$个$5$，也满足每组数中质因数的要求。
验证：$49×10×9 = 4410$，$14×21×15 = 4410$，两组数的乘积相等。
综上，可以分成$49$、$10$、$9$一组和$14$、$21$、$15$一组。