例$1$
分数$\frac{39}{63}$的分子和分母同时加上一个相同的数，所得的新分数化简后是$\frac{5}{7}。$加上的这个数是多少$？$
分数$\frac{39}{63}$的分子和分母同时加上一个相同的数，所得的新分数化简后是$\frac{5}{7}。$加上的这个数是多少$？$
答案：思路分析：由分数的“分子和分母同时加上一个相同的数”可知，分子与分母的差保持不变，仍为63-39=24。再由“新分数化简后是\frac{5}{7}”，可假设新分数的分子有5份，分母有7份，则分子、分母相差(7-5)份，进而可以先求出1份是多少，再分别求出5份和7份是多少，即新分数化简前的分子和分母各是多少，从而可知化简前的新分数是多少。再将新分数的分子或分母与原分数的分子或分母进行对比，求出的差就是所加上的数。
规范解答：(63-39)÷(7-5)=125×12=60 7×12=84$新分数化简前是$$\frac{60}{84}$
$60-39=21$$或$$84-63=21$
答：加上的这个数是21。
技巧归纳：解答此题的关键在于理解分数的分子、分母变化后，所得新分数的分子与分母的差不变，从而利用差与份数的关系先求得1份是多少，再求出化简前的新分数，最后求出所加上的数。
规范解答：(63-39)÷(7-5)=125×12=60 7×12=84$新分数化简前是$$\frac{60}{84}$
$60-39=21$$或$$84-63=21$
答：加上的这个数是21。
技巧归纳：解答此题的关键在于理解分数的分子、分母变化后，所得新分数的分子与分母的差不变，从而利用差与份数的关系先求得1份是多少，再求出化简前的新分数，最后求出所加上的数。
跟踪练习1：分数$$\frac{45}{73}$$的分子和分母同时减去一个相同的数，所得的新分数化简后是$$\frac{10}{17}$$。减去的这个数是()。
答案：5
解析：
原来分子与分母的差为73-45=28，减去相同数后差不变。新分数化简后为10/17，分母比分子多17-10=7份，每份为28÷7=4。新分子为10×4=40，减去的数为45-40=5。
例2
一个分数，分子与分母的和是42，如果分子加上8，那么这个分数就变成最小的假分数。原分数是(
一个分数，分子与分母的和是42，如果分子加上8，那么这个分数就变成最小的假分数。原分数是(
$\frac{17}{25}$
)。答案：思路分析：根据题意可知，最小的假分数是1，如果分子加上8，这个分数就等于1，说明此时分子和分母相等，那么原分数的分母比分子大8，根据和差问题的公式可求出原分数的分母和分子，即原分母为(42+8)÷2=25，原分子为25-8=17，所以原分数是$\frac{17}{25}$。
规范解答：$\frac{17}{25}$技巧归纳：已知原分数的分子与分母的和，并根据题目条件求出分子与分母的差，然后可以运用和差问题的公式$“(\mathrm{和}+\mathrm{差})÷2=\mathrm{大数}$，$\mathrm{大数}-\mathrm{差}=\mathrm{小数}$或$(\mathrm{和}-\mathrm{差})÷2=\mathrm{小数}$，$\mathrm{小数}+\mathrm{差}=\mathrm{大数}”$求出原分数的分子和分母，从而求出原分数。
规范解答：$\frac{17}{25}$技巧归纳：已知原分数的分子与分母的和，并根据题目条件求出分子与分母的差，然后可以运用和差问题的公式$“(\mathrm{和}+\mathrm{差})÷2=\mathrm{大数}$，$\mathrm{大数}-\mathrm{差}=\mathrm{小数}$或$(\mathrm{和}-\mathrm{差})÷2=\mathrm{小数}$，$\mathrm{小数}+\mathrm{差}=\mathrm{大数}”$求出原分数的分子和分母，从而求出原分数。
跟踪练习2：一个分数，分子与分母的和是最小的两位质数，如果分母减去1，那么这个分数就变成最小的假分数，原来的分数是()。
答案：5/6
解析：
最小的两位质数是11，设分子为a，分母为b，则a+b=11。分母减去1后为最小假分数（分子等于分母），即a=b-1。联立得(b-1)+b=11，解得b=6，a=5，原分数为5/6。