例1
（新素养 运算能力）在方框里填不同的自然数，使等式成立。
$\frac{1}{8}=\frac{1}{□}+\frac{1}{□}$$，$$\frac{1}{8}=\frac{1}{□}-\frac{1}{□}$
（新素养 运算能力）在方框里填不同的自然数，使等式成立。
$\frac{1}{8}=\frac{1}{□}+\frac{1}{□}$$，$$\frac{1}{8}=\frac{1}{□}-\frac{1}{□}$
答案：思路分析：先写出8的因数有1、2、4、8，再从中任意选出两个，如选1和2，按下面的方式拆分。
$\frac{1}{8}=\frac{1 + 2}{8×(1 + 2)}=\frac{1}{24}+\frac{2}{24}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}$
$\frac{1}{8}=\frac{2 - 1}{8×(2 - 1)}=\frac{2}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$
规范解答：24，12，4，8（答案不唯一）
技巧归纳：设A为大于1的自然数，将$\frac{1}{A}$写成两个分子为1的分数之和或差：①任选A的两个因数a和b；②将$\frac{1}{A}$的分子与分母同乘$(a + b)$，得$\frac{1}{A}=\frac{a + b}{A(a + b)}=\frac{a}{A(a + b)}+\frac{b}{A(a + b)}$；将$\frac{1}{A}$的分子与分母同乘$(a - b)(a ＞ b)$，得$\frac{1}{A}=\frac{a - b}{A(a - b)}=\frac{a}{A(a - b)}-\frac{b}{A(a - b)}$；③将两个分数约分，得到两个分子为1的分数。
$\frac{1}{8}=\frac{1 + 2}{8×(1 + 2)}=\frac{1}{24}+\frac{2}{24}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}$
$\frac{1}{8}=\frac{2 - 1}{8×(2 - 1)}=\frac{2}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$
规范解答：24，12，4，8（答案不唯一）
技巧归纳：设A为大于1的自然数，将$\frac{1}{A}$写成两个分子为1的分数之和或差：①任选A的两个因数a和b；②将$\frac{1}{A}$的分子与分母同乘$(a + b)$，得$\frac{1}{A}=\frac{a + b}{A(a + b)}=\frac{a}{A(a + b)}+\frac{b}{A(a + b)}$；将$\frac{1}{A}$的分子与分母同乘$(a - b)(a ＞ b)$，得$\frac{1}{A}=\frac{a - b}{A(a - b)}=\frac{a}{A(a - b)}-\frac{b}{A(a - b)}$；③将两个分数约分，得到两个分子为1的分数。
在括号里填不同的自然数，使等式成立。
(1)$\frac{1}{18}=\frac{1}{( )}-\frac{1}{( )}$
(2)$\frac{1}{10}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
(1)$\frac{1}{18}=\frac{1}{( )}-\frac{1}{( )}$
(2)$\frac{1}{10}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
答案：(1)12，36；(2)20，30，60
解析：
(1)因为$\frac{1}{12}-\frac{1}{36}=\frac{3}{36}-\frac{1}{36}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$，所以括号里填12和36。
(2)因为$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}+\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$，所以括号里填20、30、60。
(2)因为$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}+\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$，所以括号里填20、30、60。
例2
在算式$\frac{1}{18}+\frac{1}{□}+\frac{1}{△}+\frac{1}{○}=1$中，□，△和○表示三个不同的自然数，这三个自然数的和是多少？
在算式$\frac{1}{18}+\frac{1}{□}+\frac{1}{△}+\frac{1}{○}=1$中，□，△和○表示三个不同的自然数，这三个自然数的和是多少？
答案：思路分析：首先，根据条件可以知道$\frac{1}{□}+\frac{1}{△}+\frac{1}{○}=\frac{17}{18}$，接下来在18的因数中找出三个不同的因数，使得它们的和是17即可。
规范解答：$\frac{1}{□}+\frac{1}{△}+\frac{1}{○}=1-\frac{1}{18}=\frac{17}{18}$
18的因数：1，2，3，6，9，18。
$2 + 6 + 9 = 17$
$\frac{17}{18}=\frac{2}{18}+\frac{6}{18}+\frac{9}{18}=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$
所以□、△和○分别表示9，3和2。
$9 + 3 + 2 = 14$
答：这三个自然数的和是14。
技巧归纳：解决此类问题时，首先要找到三个未知数之间的关系。综合运用约分与分数加减法的相关知识，灵活解决问题。
规范解答：$\frac{1}{□}+\frac{1}{△}+\frac{1}{○}=1-\frac{1}{18}=\frac{17}{18}$
18的因数：1，2，3，6，9，18。
$2 + 6 + 9 = 17$
$\frac{17}{18}=\frac{2}{18}+\frac{6}{18}+\frac{9}{18}=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$
所以□、△和○分别表示9，3和2。
$9 + 3 + 2 = 14$
答：这三个自然数的和是14。
技巧归纳：解决此类问题时，首先要找到三个未知数之间的关系。综合运用约分与分数加减法的相关知识，灵活解决问题。
在下面的○里填4个连续的自然数，使得等式成立。
$\frac{1}{○}+\frac{1}{○}+\frac{1}{○}+\frac{1}{○}=\frac{19}{20}$
$\frac{1}{○}+\frac{1}{○}+\frac{1}{○}+\frac{1}{○}=\frac{19}{20}$
答案：3,4,5,6
解析：
设四个连续自然数为n、n+1、n+2、n+3。尝试n=3，计算得1/3+1/4+1/5+1/6，通分后分母为60，分子为20+15+12+10=57，57/60=19/20，符合等式。故四个数为3、4、5、6。