把$ \frac{3}{4} 、$$ \frac{5}{6} 、$$ \frac{5}{7} 、$$ \frac{5}{4} 、$$ \frac{9}{8} 、$$ \frac{16}{15} 、$$ \frac{21}{16} $这七个数填入下面的
里，使每条线上$ 3 $个数的乘积都是$ 1。$
里，使每条线上$ 3 $个数的乘积都是$ 1。$
答案：
思路分析：要使每条线上三个分数的乘积都是$ 1，$说明每三个分数的分子、分母都能约分。观察这七个分数，分子有$ 3 $个$ 5，$而分母只有$ 15 $含有因数$ 5，$所以$ \frac{16}{15} $只能填在中间的里，其他三个分子为$ 5 $的分数，分别放在三条线上；再确定每条线上第三个要填的分数，$ \frac{16}{15} × \frac{5}{6} × \frac{9}{8} = 1 ，$$ \frac{16}{15} × \frac{5}{7} × \frac{21}{16} = 1 ，$$ \frac{16}{15} × \frac{5}{4} × \frac{3}{4} = 1 ；$最后根据不同的分数组合，将每条线上第三个分数填入里即可。
规范解答：填法不唯一，如：
技巧归纳：解决此类问题时，要先分析所给数的特征，把每条线上都出现的中心数作为解题的突破口，再把同组的数进行配对处理，通过计算、尝试、调整，逐步解决问题。
思路分析：要使每条线上三个分数的乘积都是$ 1，$说明每三个分数的分子、分母都能约分。观察这七个分数，分子有$ 3 $个$ 5，$而分母只有$ 15 $含有因数$ 5，$所以$ \frac{16}{15} $只能填在中间的里，其他三个分子为$ 5 $的分数，分别放在三条线上；再确定每条线上第三个要填的分数，$ \frac{16}{15} × \frac{5}{6} × \frac{9}{8} = 1 ，$$ \frac{16}{15} × \frac{5}{7} × \frac{21}{16} = 1 ，$$ \frac{16}{15} × \frac{5}{4} × \frac{3}{4} = 1 ；$最后根据不同的分数组合，将每条线上第三个分数填入里即可。
规范解答：填法不唯一，如：
技巧归纳：解决此类问题时，要先分析所给数的特征，把每条线上都出现的中心数作为解题的突破口，再把同组的数进行配对处理，通过计算、尝试、调整，逐步解决问题。
把$ \frac{4}{5} 、$$ \frac{5}{6} 、$$ \frac{7}{8} 、$$ \frac{10}{7} 、$$ \frac{3}{2} 、$$ \frac{21}{25} $这六个数填入下面的
里，使三角形每条边上三个数的乘积都是$ 1。$
里，使三角形每条边上三个数的乘积都是$ 1。$ 答案：顶点：$\frac{10}{7}$、$\frac{5}{6}$、$\frac{4}{5}$；边中间：$\frac{21}{25}$、$\frac{3}{2}$、$\frac{7}{8}$（具体位置按三角形边对应关系排列）。
解析：
解题步骤：
1. 设顶点数与中间数：设三角形三个顶点数为 $A$、$B$、$C$，三条边中间数为 $D$、$E$、$F$，则有 $A × D × B = 1$，$B × E × C = 1$，$C × F × A = 1$。
2. 推导关系：可得 $D = \frac{1}{A × B}$，$E = \frac{1}{B × C}$，$F = \frac{1}{C × A}$。六个数乘积为 $A × B × C × D × E × F = \frac{1}{A × B × C}$。
3. 计算六数乘积：$\frac{4}{5} × \frac{5}{6} × \frac{7}{8} × \frac{10}{7} × \frac{3}{2} × \frac{21}{25} = \frac{21}{20}$，故 $A × B × C = \frac{20}{21}$。
4. 确定顶点数：经尝试，$\frac{10}{7} × \frac{5}{6} × \frac{4}{5} = \frac{20}{21}$，故顶点数为 $\frac{10}{7}$、$\frac{5}{6}$、$\frac{4}{5}$。
5. 计算中间数：$D = \frac{1}{\frac{10}{7} × \frac{5}{6}} = \frac{21}{25}$，$E = \frac{1}{\frac{5}{6} × \frac{4}{5}} = \frac{3}{2}$，$F = \frac{1}{\frac{4}{5} × \frac{10}{7}} = \frac{7}{8}$。
结论：
三角形顶点填入 $\frac{10}{7}$、$\frac{5}{6}$、$\frac{4}{5}$，对应边上中间数填入 $\frac{21}{25}$、$\frac{3}{2}$、$\frac{7}{8}$（顶点顺序可轮换，中间数对应调整）。
1. 设顶点数与中间数：设三角形三个顶点数为 $A$、$B$、$C$，三条边中间数为 $D$、$E$、$F$，则有 $A × D × B = 1$，$B × E × C = 1$，$C × F × A = 1$。
2. 推导关系：可得 $D = \frac{1}{A × B}$，$E = \frac{1}{B × C}$，$F = \frac{1}{C × A}$。六个数乘积为 $A × B × C × D × E × F = \frac{1}{A × B × C}$。
3. 计算六数乘积：$\frac{4}{5} × \frac{5}{6} × \frac{7}{8} × \frac{10}{7} × \frac{3}{2} × \frac{21}{25} = \frac{21}{20}$，故 $A × B × C = \frac{20}{21}$。
4. 确定顶点数：经尝试，$\frac{10}{7} × \frac{5}{6} × \frac{4}{5} = \frac{20}{21}$，故顶点数为 $\frac{10}{7}$、$\frac{5}{6}$、$\frac{4}{5}$。
5. 计算中间数：$D = \frac{1}{\frac{10}{7} × \frac{5}{6}} = \frac{21}{25}$，$E = \frac{1}{\frac{5}{6} × \frac{4}{5}} = \frac{3}{2}$，$F = \frac{1}{\frac{4}{5} × \frac{10}{7}} = \frac{7}{8}$。
结论：
三角形顶点填入 $\frac{10}{7}$、$\frac{5}{6}$、$\frac{4}{5}$，对应边上中间数填入 $\frac{21}{25}$、$\frac{3}{2}$、$\frac{7}{8}$（顶点顺序可轮换，中间数对应调整）。
先计算，再观察每组算式的得数，能发现什么规律？
$（1） \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{(\quad)}{(\quad)} \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{(\quad)}{(\quad)} （2） \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{(\quad)}{(\quad)} $
$ \frac{1}{4} × \frac{1}{5} = \frac{(\quad)}{(\quad)} $
你能根据发现的规律再写几组这样的算式吗？
$（1） \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{(\quad)}{(\quad)} \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{(\quad)}{(\quad)} （2） \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{(\quad)}{(\quad)} $
$ \frac{1}{4} × \frac{1}{5} = \frac{(\quad)}{(\quad)} $
你能根据发现的规律再写几组这样的算式吗？
答案：思路分析：观察发现每组算式的得数相同，每组算式中的两个分数的分子都为 1，分母是相邻的两个自然数（0 除外），这两个分数的差（较大的分数减去较小的分数）等于这两个分数的积。
规范解答：$（1） \frac{1}{6} $，$ \frac{1}{6} （2） \frac{1}{20} $，$ \frac{1}{20} $规律：分母是相邻的自然数（不为 0）、分子是 1 的两个分数，它们的差（较大的分数减去较小的分数）等于它们的积。还可以写出很多组这样的算式，比如：$ \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{1}{56} $，$ \frac{1}{7} × \frac{1}{8} = \frac{1}{56} $；$ \frac{1}{10} - \frac{1}{11} = \frac{1}{110} $，$ \frac{1}{10} × \frac{1}{11} = \frac{1}{110} $。
技巧归纳：相邻两个分数单位的差（较大的分数减去较小的分数）等于它们的积。实际计算时我们还可以反向应用这个规律。
规范解答：$（1） \frac{1}{6} $，$ \frac{1}{6} （2） \frac{1}{20} $，$ \frac{1}{20} $规律：分母是相邻的自然数（不为 0）、分子是 1 的两个分数，它们的差（较大的分数减去较小的分数）等于它们的积。还可以写出很多组这样的算式，比如：$ \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{1}{56} $，$ \frac{1}{7} × \frac{1}{8} = \frac{1}{56} $；$ \frac{1}{10} - \frac{1}{11} = \frac{1}{110} $，$ \frac{1}{10} × \frac{1}{11} = \frac{1}{110} $。
技巧归纳：相邻两个分数单位的差（较大的分数减去较小的分数）等于它们的积。实际计算时我们还可以反向应用这个规律。