例
一个数，既是 $40$ 的因数，又是 $5$ 的倍数。这个数可能是几？
一个数，既是 $40$ 的因数，又是 $5$ 的倍数。这个数可能是几？
答案：思路分析：先找出 $40$ 的因数：$1$、$2$、$4$、$5$、$8$、$10$、$20$、$40$；再从中找出 $5$ 的倍数：$5$、$10$、$20$、$40$。这个数可能是 $5$、$10$、$20$ 或 $40$。
规范解答：这个数可能是 $5$、$10$、$20$ 或 $40$。
技巧归纳：解答此类问题时，先找出符合其中一个条件的数，再从这些数中找出符合另一个条件的数。
规范解答：这个数可能是 $5$、$10$、$20$ 或 $40$。
技巧归纳：解答此类问题时，先找出符合其中一个条件的数，再从这些数中找出符合另一个条件的数。
跟踪练习：一个数既是 $30$ 的因数，又是 $5$ 的倍数，同时还有因数 $3$，这个数是(
15
)或(30
)。答案：本题可先找出$30$的因数，再从中找出$5$的倍数，最后从这些数中找出有因数$3$的数。
- 步骤一：找出$30$的因数
因数是指整数$a$除以整数$b(b≠0)$ 的商正好是整数而没有余数，此时称$b$是$a$的因数。
因为$30÷1 = 30$，$30÷2 = 15$，$30÷3 = 10$，$30÷5 = 6$，所以$30$的因数有$1$、$2$、$3$、$5$、$6$、$10$、$15$、$30$。
- 步骤二：从$30$的因数中找出$5$的倍数
一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。
$5$的倍数的特征是个位上是$0$或$5$，在$30$的因数中，$5$的倍数有$5$、$10$、$15$、$30$。
- 步骤三：从$5$的倍数中找出有因数$3$的数
有因数$3$的数即能被$3$整除的数，一个数各位上的数字之和能被$3$整除，这个数就能被$3$整除。
$5$各位上数字之和为$5$，$5÷3 = 1······2$，不能被$3$整除，所以$5$没有因数$3$。
$10$各位上数字之和为$1 + 0 = 1$，$1÷3 = 0······1$，不能被$3$整除，所以$10$没有因数$3$。
$15$各位上数字之和为$1 + 5 = 6$，$6÷3 = 2$，能被$3$整除，所以$15$有因数$3$。
$30$各位上数字之和为$3 + 0 = 3$，$3÷3 = 1$，能被$3$整除，所以$30$有因数$3$。
综上，这个数是$15$或$30$。
- 步骤一：找出$30$的因数
因数是指整数$a$除以整数$b(b≠0)$ 的商正好是整数而没有余数，此时称$b$是$a$的因数。
因为$30÷1 = 30$，$30÷2 = 15$，$30÷3 = 10$，$30÷5 = 6$，所以$30$的因数有$1$、$2$、$3$、$5$、$6$、$10$、$15$、$30$。
- 步骤二：从$30$的因数中找出$5$的倍数
一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。
$5$的倍数的特征是个位上是$0$或$5$，在$30$的因数中，$5$的倍数有$5$、$10$、$15$、$30$。
- 步骤三：从$5$的倍数中找出有因数$3$的数
有因数$3$的数即能被$3$整除的数，一个数各位上的数字之和能被$3$整除，这个数就能被$3$整除。
$5$各位上数字之和为$5$，$5÷3 = 1······2$，不能被$3$整除，所以$5$没有因数$3$。
$10$各位上数字之和为$1 + 0 = 1$，$1÷3 = 0······1$，不能被$3$整除，所以$10$没有因数$3$。
$15$各位上数字之和为$1 + 5 = 6$，$6÷3 = 2$，能被$3$整除，所以$15$有因数$3$。
$30$各位上数字之和为$3 + 0 = 3$，$3÷3 = 1$，能被$3$整除，所以$30$有因数$3$。
综上，这个数是$15$或$30$。
例 $1$
有一个长方形水池，长 $120$ 米，宽 $48$ 米，要在它的四周栽树（每个角上都要栽）。如果每相邻两棵树之间的距离都相等，那么最少要栽多少棵树？此时每相邻两棵树之间的距离是多少米？
有一个长方形水池，长 $120$ 米，宽 $48$ 米，要在它的四周栽树（每个角上都要栽）。如果每相邻两棵树之间的距离都相等，那么最少要栽多少棵树？此时每相邻两棵树之间的距离是多少米？
答案：思路分析：求最少要栽树的棵数，就要使每相邻两棵树之间的距离最大。又因为每相邻两棵树之间的距离都相等，那么每相邻两棵树之间的距离就是长和宽的最大公因数，用长方形水池的周长除以长和宽的最大公因数，就可求出最少要栽树的棵数。
规范解答：$(120, 48) = 24$，$(120 + 48)×2÷24 = 14$（棵）
答：最少要栽 $14$ 棵树，此时每相邻两棵树之间的距离是 $24$ 米。
技巧归纳：解决本题的关键是分析得出每相邻两棵树之间的距离就是长方形水池长和宽的最大公因数，再利用封闭图形植树问题的解决方法求出最少要栽树的棵数。
规范解答：$(120, 48) = 24$，$(120 + 48)×2÷24 = 14$（棵）
答：最少要栽 $14$ 棵树，此时每相邻两棵树之间的距离是 $24$ 米。
技巧归纳：解决本题的关键是分析得出每相邻两棵树之间的距离就是长方形水池长和宽的最大公因数，再利用封闭图形植树问题的解决方法求出最少要栽树的棵数。
跟踪练习 $1$：（$2025$·淮安淮安区期末）为了布置教室，欢欢将一张长 $24$ 厘米、宽 $16$ 厘米的彩纸裁成同样大的正方形。如果要求彩纸没有剩余，裁出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？
答案：本题可根据求最大公因数的方法求出裁出的正方形边长最长是多少，再分别计算长方形的长和宽分别包含几个正方形的边长，最后将这两个数相乘，即可求出一共可以裁出多少个这样的正方形。
步骤一：求裁出的正方形边长最长是多少厘米
要将长$24$厘米、宽$16$厘米的彩纸裁成同样大的正方形且没有剩余，则裁出的正方形的边长必须是$24$和$16$的公因数。
求$24$和$16$的最大公因数，可使用分解质因数的方法：
$24 = 2×2×2×3$，$16 = 2×2×2×2$。
$24$和$16$公有的质因数是$2$、$2$、$2$，所以$24$和$16$的最大公因数是$2×2×2 = 8$，即裁出的正方形边长最长是$8$厘米。
步骤二：计算一共可以裁出多少个这样的正方形
分别计算长方形的长和宽分别包含几个正方形的边长：
长方形彩纸的长是$24$厘米，正方形边长是$8$厘米，则长包含正方形边长的个数为$24÷8 = 3$（个）。
长方形彩纸的宽是$16$厘米，正方形边长是$8$厘米，则宽包含正方形边长的个数为$16÷8 = 2$（个）。
最后将长包含正方形边长的个数和宽包含正方形边长的个数相乘，可得一共可以裁出的正方形个数为$3×2 = 6$（个）。
综上，裁出的正方形边长最长是$8$厘米，一共可以裁出$6$个这样的正方形。
步骤一：求裁出的正方形边长最长是多少厘米
要将长$24$厘米、宽$16$厘米的彩纸裁成同样大的正方形且没有剩余，则裁出的正方形的边长必须是$24$和$16$的公因数。
求$24$和$16$的最大公因数，可使用分解质因数的方法：
$24 = 2×2×2×3$，$16 = 2×2×2×2$。
$24$和$16$公有的质因数是$2$、$2$、$2$，所以$24$和$16$的最大公因数是$2×2×2 = 8$，即裁出的正方形边长最长是$8$厘米。
步骤二：计算一共可以裁出多少个这样的正方形
分别计算长方形的长和宽分别包含几个正方形的边长：
长方形彩纸的长是$24$厘米，正方形边长是$8$厘米，则长包含正方形边长的个数为$24÷8 = 3$（个）。
长方形彩纸的宽是$16$厘米，正方形边长是$8$厘米，则宽包含正方形边长的个数为$16÷8 = 2$（个）。
最后将长包含正方形边长的个数和宽包含正方形边长的个数相乘，可得一共可以裁出的正方形个数为$3×2 = 6$（个）。
综上，裁出的正方形边长最长是$8$厘米，一共可以裁出$6$个这样的正方形。
例 $2$
有一根 $20$ 厘米长的绳子，从一端起每隔 $2$ 厘米做一个记号，每隔 $5$ 厘米也做一个记号，然后沿着标有记号的地方剪断。这根绳子一共被剪成了多少段？
有一根 $20$ 厘米长的绳子，从一端起每隔 $2$ 厘米做一个记号，每隔 $5$ 厘米也做一个记号，然后沿着标有记号的地方剪断。这根绳子一共被剪成了多少段？
答案：思路分析：每隔 $2$ 厘米做一个记号，一共会做 $20÷2 - 1 = 9$（个）记号；同理，每隔 $5$ 厘米做一个记号，一共会做 $20÷5 - 1 = 3$（个）记号。一共有 $9 + 3 = 12$（个）记号，但既是 $2$ 厘米又是 $5$ 厘米的倍数位置的记号是重复的记号，即会有 $[2, 5] = 10$，$20÷10 - 1 = 1$（个）记号是重复的，则一共做了 $12 - 1 = 11$（个）记号，因此一共被剪成了 $11 + 1 = 12$（段）。
规范解答：$20÷2 - 1 = 9$（个），$20÷5 - 1 = 3$（个），$[2, 5] = 10$，$20÷10 - 1 = 1$（个），$9 + 3 - 1 = 11$（个），$11 + 1 = 12$（段）
答：这根绳子一共被剪成了 $12$ 段。
技巧归纳：解决本题的关键是要考虑重复的记号，即 $2$ 和 $5$ 的公倍数位置的记号，不能重复计算。
规范解答：$20÷2 - 1 = 9$（个），$20÷5 - 1 = 3$（个），$[2, 5] = 10$，$20÷10 - 1 = 1$（个），$9 + 3 - 1 = 11$（个），$11 + 1 = 12$（段）
答：这根绳子一共被剪成了 $12$ 段。
技巧归纳：解决本题的关键是要考虑重复的记号，即 $2$ 和 $5$ 的公倍数位置的记号，不能重复计算。