6. 如图，在四边形ABCD中，$AD// BC$，$∠ A=90°$，$AB=BC$，$∠ D=45°$，CD的垂直平分线交CD于点E，交AD于点F，交BC的延长线于点M.
(1) 求证：四边形ABCF是正方形；
(2) 若$AD=a$，求BM的长.
(1) 求证：四边形ABCF是正方形；
(2) 若$AD=a$，求BM的长.
答案：(1) 证明：
∵ 点F在CD的垂直平分线FM上，
∴ $FC=FD$，
∴ $∠ FCD=∠ D=45°$，
∴ $∠ CFD=180°-45°-45°=90°$，即$∠ AFC=90°$。
∵ $AD// BC$，$∠ A=90°$，
∴ $∠ B=180°-∠ A=90°$，
∴ 四边形ABCF是矩形（三个内角为直角的四边形是矩形）。
又∵ $AB=BC$，
∴ 矩形ABCF是正方形。
---
(2) 解：
∵ $AD// BM$，
∴ $∠ M=∠ DFM$。
在$Rt△ CFD$中，$FE⊥ CD$，$∠ D=45°$，
∴ $∠ DFM=∠ FCD=45°$，
∴ $∠ M=45°$，同理$∠ FCM=45°$，
∴ $∠ CFM=∠ M=45°$，
∴ $CF=CM$。
由(1)得正方形ABCF中$BC=AF$，又$CF=FD$，故$CM=FD$，
∴ $BM=BC+CM=AF+FD=AD=a$。
即$BM$的长为$\boldsymbol{a}$。
∵ 点F在CD的垂直平分线FM上，
∴ $FC=FD$，
∴ $∠ FCD=∠ D=45°$，
∴ $∠ CFD=180°-45°-45°=90°$，即$∠ AFC=90°$。
∵ $AD// BC$，$∠ A=90°$，
∴ $∠ B=180°-∠ A=90°$，
∴ 四边形ABCF是矩形（三个内角为直角的四边形是矩形）。
又∵ $AB=BC$，
∴ 矩形ABCF是正方形。
---
(2) 解：
∵ $AD// BM$，
∴ $∠ M=∠ DFM$。
在$Rt△ CFD$中，$FE⊥ CD$，$∠ D=45°$，
∴ $∠ DFM=∠ FCD=45°$，
∴ $∠ M=45°$，同理$∠ FCM=45°$，
∴ $∠ CFM=∠ M=45°$，
∴ $CF=CM$。
由(1)得正方形ABCF中$BC=AF$，又$CF=FD$，故$CM=FD$，
∴ $BM=BC+CM=AF+FD=AD=a$。
即$BM$的长为$\boldsymbol{a}$。
1. 不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(
A.AB=CD，AD=BC
B.AB=CD，AD//BC
C.AB=CD，AB//CD
D.AB//CD，AD//BC
B
).A.AB=CD，AD=BC
B.AB=CD，AD//BC
C.AB=CD，AB//CD
D.AB//CD，AD//BC
答案：1. B
2. 如图，在□ABCD中，$∠ A+∠ C=80°$，
则$∠ C$的度数为(
A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
则$∠ C$的度数为(
A
).A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
答案：2. A
3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是
(-2，1)，顶点B在y轴正半轴上，则另一个顶点C的坐标
是(
A.(-2，-1)
B.(-2，1)
C.(2，1)
D.(2，-1)
(-2，1)，顶点B在y轴正半轴上，则另一个顶点C的坐标
是(
C
).A.(-2，-1)
B.(-2，1)
C.(2，1)
D.(2，-1)
答案：3. C