2. 阅读数学教材84页,解决问题:数学活动课上,学习小组开展"剪拼正方形"实践活动,过程要求无损耗、无重叠.
【初步尝试】
(1)如图①,长方形纸片ABCD可看作由2个全等的小正方形组成,E是AD的中点,沿着BE,CE剪2刀,得到3块图案①,②,③,保持③不动,移动①,②,可以拼接成一个大正方形纸片BFCE.若AB=2,则BF=
【深入实践】
(2)如图②,"十字形"纸片可看作由5个全等的小正方形组成,已知点A,B在正方形网格的格点上,C,D是纸片边上的中点.沿着AB,CD将这个"十字形"纸片剪2刀,得到4块图案①,②,③,④,保持①不动,移动②,③,④,可以拼接成一个大正方形纸片.请在正方形网格中画出拼接成的大正方形,并标注对应的编号.
【拓展迁移】
(3)如图③,同学们从刘徽设计的"青朱出入图"受到启发,将两个边长不等的正方形纸片ABCD,GCEF剪拼成一个大正方形纸片BQPG.P,M,N为剪痕与原正方形边的交点,已知AB=4,EN=1.
①HQ=
②求正方形BQPG的边长.
【初步尝试】
(1)如图①,长方形纸片ABCD可看作由2个全等的小正方形组成,E是AD的中点,沿着BE,CE剪2刀,得到3块图案①,②,③,保持③不动,移动①,②,可以拼接成一个大正方形纸片BFCE.若AB=2,则BF=
2√2
.【深入实践】
(2)如图②,"十字形"纸片可看作由5个全等的小正方形组成,已知点A,B在正方形网格的格点上,C,D是纸片边上的中点.沿着AB,CD将这个"十字形"纸片剪2刀,得到4块图案①,②,③,④,保持①不动,移动②,③,④,可以拼接成一个大正方形纸片.请在正方形网格中画出拼接成的大正方形,并标注对应的编号.
【拓展迁移】
(3)如图③,同学们从刘徽设计的"青朱出入图"受到启发,将两个边长不等的正方形纸片ABCD,GCEF剪拼成一个大正方形纸片BQPG.P,M,N为剪痕与原正方形边的交点,已知AB=4,EN=1.
①HQ=
4
,HN=3
;②求正方形BQPG的边长.
答案：
2. (1)$2\sqrt{2}$
(2)解:两种不同的拼法,如答图①,如答图②即为所求.
(3)①4 3
②解:由①可知$HQ=4$,$HN=3$.
在$\mathrm{Rt} △ QHN$中,由勾股定理得:$QN=\sqrt{HQ^{2}+HN^{2}}=$
$\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.
在$\mathrm{Rt} △ BQN$中,由勾股定理得:$BN^{2}-QN^{2}=BQ^{2}$.
在$\mathrm{Rt} △ BHQ$中,由勾股定理得:$BH^{2}+HQ^{2}=BQ^{2}$,
$\therefore BN^{2}-QN^{2}=BH^{2}+HQ^{2}$.
设$BH=x$,$\therefore (x+3)^{2}-5^{2}=x^{2}+4^{2}$,
解得$x=\dfrac{16}{3}$,$\therefore BH=\dfrac{16}{3}$.
在$\mathrm{Rt} △ BHQ$中,由勾股定理得:$BQ=\sqrt{HQ^{2}+BH^{2}}=$
$\sqrt{4^{2}+(\dfrac{16}{3})^{2}}=\dfrac{20}{3}$,
$\therefore$正方形BQPG的边长是$\dfrac{20}{3}$.
2. (1)$2\sqrt{2}$
(2)解:两种不同的拼法,如答图①,如答图②即为所求.
(3)①4 3
②解:由①可知$HQ=4$,$HN=3$.
在$\mathrm{Rt} △ QHN$中,由勾股定理得:$QN=\sqrt{HQ^{2}+HN^{2}}=$
$\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.
在$\mathrm{Rt} △ BQN$中,由勾股定理得:$BN^{2}-QN^{2}=BQ^{2}$.
在$\mathrm{Rt} △ BHQ$中,由勾股定理得:$BH^{2}+HQ^{2}=BQ^{2}$,
$\therefore BN^{2}-QN^{2}=BH^{2}+HQ^{2}$.
设$BH=x$,$\therefore (x+3)^{2}-5^{2}=x^{2}+4^{2}$,
解得$x=\dfrac{16}{3}$,$\therefore BH=\dfrac{16}{3}$.
在$\mathrm{Rt} △ BHQ$中,由勾股定理得:$BQ=\sqrt{HQ^{2}+BH^{2}}=$
$\sqrt{4^{2}+(\dfrac{16}{3})^{2}}=\dfrac{20}{3}$,
$\therefore$正方形BQPG的边长是$\dfrac{20}{3}$.