21.(10分)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ACN$的平分线相交于点$P$,连接$AP$.
(1)求证:$AP$平分$∠ CAM$;
(2)过点$C$作$CE ⊥ AP$,垂足是$E$,并延长$CE$交$BM$于点$D$.求证:$CE=ED$.
(1)求证:$AP$平分$∠ CAM$;
(2)过点$C$作$CE ⊥ AP$,垂足是$E$,并延长$CE$交$BM$于点$D$.求证:$CE=ED$.
答案：
21.证明:(1)过点 $P$ 作 $PT ⊥ BN$ 于点 $T$, $PS ⊥ AC$ 于点 $S$, $PQ ⊥ BM$ 于点 $Q$,如答图.
$\because ∠ ABC$ 的平分线与 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACN$ 的平分线相交于点 $P$,
$\therefore PQ = PT, PS = PT, \therefore PQ = PS$,
$\therefore AP$ 平分 $∠ CAM$.
(2)$\because AP$ 平分 $∠ CAM, \therefore ∠ DAE = ∠ CAE$.
$\because CE ⊥ AP, \therefore ∠ AED = ∠ AEC = 90°$.
在$△ AED$和$△ AEC$中,$\begin{cases} ∠ DAE = ∠ CAE, \\ AE = AE, \\ ∠ DEA = ∠ CEA, \end{cases}$
$\therefore △ AED ≌ △ AEC(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE = ED$.
21.证明:(1)过点 $P$ 作 $PT ⊥ BN$ 于点 $T$, $PS ⊥ AC$ 于点 $S$, $PQ ⊥ BM$ 于点 $Q$,如答图.
$\because ∠ ABC$ 的平分线与 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACN$ 的平分线相交于点 $P$,
$\therefore PQ = PT, PS = PT, \therefore PQ = PS$,
$\therefore AP$ 平分 $∠ CAM$.
(2)$\because AP$ 平分 $∠ CAM, \therefore ∠ DAE = ∠ CAE$.
$\because CE ⊥ AP, \therefore ∠ AED = ∠ AEC = 90°$.
在$△ AED$和$△ AEC$中,$\begin{cases} ∠ DAE = ∠ CAE, \\ AE = AE, \\ ∠ DEA = ∠ CEA, \end{cases}$
$\therefore △ AED ≌ △ AEC(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE = ED$.
解析：
【分析】
(1)要证明AP平分∠CAM，依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此可过点P向∠CAM的两边、以及已知角平分线涉及的边作垂线段，利用角平分线的性质得到垂线段的等量关系，推出点P到∠CAM两边的距离相等即可得证。
(2)要证明CE=ED，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知CE⊥AP可得一组直角相等，AP为公共边，结合(1)的结论可得一组角相等，利用ASA即可证明△AED和△AEC全等，进而得到对应边相等。
【解析】
(1)过点 $P$ 作 $PT ⊥ BN$ 于点 $T$, $PS ⊥ AC$ 于点 $S$, $PQ ⊥ BM$ 于点 $Q$。
已知BP平分∠ABC，CP平分∠ACN，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $PQ = PT$，$PS = PT$，因此 $PQ = PS$。
根据角平分线的判定定理，可得$AP$ 平分 $∠ CAM$。
(2)由(1)可知$AP$ 平分 $∠ CAM$，因此 $∠ DAE = ∠ CAE$。
已知$CE ⊥ AP$，因此 $∠ AED = ∠ AEC = 90°$。
在$△ AED$和$△ AEC$中:
$\begin{cases} ∠ DAE = ∠ CAE, \\ AE = AE, \\ ∠ DEA = ∠ CEA, \end{cases}$
可证$△ AED ≌ △ AEC(\mathrm{ASA})$，根据全等三角形对应边相等，可得 $CE = ED$。
【答案】
(1)过点 $P$ 作 $PT ⊥ BN$ 于点 $T$, $PS ⊥ AC$ 于点 $S$, $PQ ⊥ BM$ 于点 $Q$,如答图.
$\because ∠ ABC$ 的平分线与 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACN$ 的平分线相交于点 $P$,
$\therefore PQ = PT, PS = PT, \therefore PQ = PS$,
$\therefore AP$ 平分 $∠ CAM$.
(2)$\because AP$ 平分 $∠ CAM, \therefore ∠ DAE = ∠ CAE$.
$\because CE ⊥ AP, \therefore ∠ AED = ∠ AEC = 90°$.
在$△ AED$和$△ AEC$中,$\begin{cases} ∠ DAE = ∠ CAE, \\ AE = AE, \\ ∠ DEA = ∠ CEA, \end{cases}$
$\therefore △ AED ≌ △ AEC(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE = ED$.
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于常规几何综合证明题，解题核心是熟练运用角平分线的性质、判定定理，结合全等三角形的判定方法推导线段和角度的等量关系，作垂线段是解决角平分线相关问题的常用辅助线做法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AP平分∠CAM，依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此可过点P向∠CAM的两边、以及已知角平分线涉及的边作垂线段，利用角平分线的性质得到垂线段的等量关系，推出点P到∠CAM两边的距离相等即可得证。
(2)要证明CE=ED，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知CE⊥AP可得一组直角相等，AP为公共边，结合(1)的结论可得一组角相等，利用ASA即可证明△AED和△AEC全等，进而得到对应边相等。
【解析】
(1)过点 $P$ 作 $PT ⊥ BN$ 于点 $T$, $PS ⊥ AC$ 于点 $S$, $PQ ⊥ BM$ 于点 $Q$。
已知BP平分∠ABC，CP平分∠ACN，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $PQ = PT$，$PS = PT$，因此 $PQ = PS$。
根据角平分线的判定定理，可得$AP$ 平分 $∠ CAM$。
(2)由(1)可知$AP$ 平分 $∠ CAM$，因此 $∠ DAE = ∠ CAE$。
已知$CE ⊥ AP$，因此 $∠ AED = ∠ AEC = 90°$。
在$△ AED$和$△ AEC$中:
$\begin{cases} ∠ DAE = ∠ CAE, \\ AE = AE, \\ ∠ DEA = ∠ CEA, \end{cases}$
可证$△ AED ≌ △ AEC(\mathrm{ASA})$，根据全等三角形对应边相等，可得 $CE = ED$。
【答案】
(1)过点 $P$ 作 $PT ⊥ BN$ 于点 $T$, $PS ⊥ AC$ 于点 $S$, $PQ ⊥ BM$ 于点 $Q$,如答图.
$\because ∠ ABC$ 的平分线与 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACN$ 的平分线相交于点 $P$,
$\therefore PQ = PT, PS = PT, \therefore PQ = PS$,
$\therefore AP$ 平分 $∠ CAM$.
(2)$\because AP$ 平分 $∠ CAM, \therefore ∠ DAE = ∠ CAE$.
$\because CE ⊥ AP, \therefore ∠ AED = ∠ AEC = 90°$.
在$△ AED$和$△ AEC$中,$\begin{cases} ∠ DAE = ∠ CAE, \\ AE = AE, \\ ∠ DEA = ∠ CEA, \end{cases}$
$\therefore △ AED ≌ △ AEC(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE = ED$.
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于常规几何综合证明题，解题核心是熟练运用角平分线的性质、判定定理，结合全等三角形的判定方法推导线段和角度的等量关系，作垂线段是解决角平分线相关问题的常用辅助线做法。
【难度系数】
0.7
22.(10分)如图，$△ ABC$为等边三角形，$P$为$BC$上一点，$△ APQ$为等边三角形.
(1)求证：$AB// CQ$.
(2)是否存在点$P$，使得$AQ⊥ CQ$？若存在，指出点$P$的位置；若不存在，请说明理由.
(1)求证：$AB// CQ$.
(2)是否存在点$P$，使得$AQ⊥ CQ$？若存在，指出点$P$的位置；若不存在，请说明理由.
答案：22.(1)证明:$\because △ ABC$ 和 $△ APQ$ 都是等边三角形,
$\therefore AB = AC, AP = AQ, ∠ B = ∠ BAC = ∠ PAQ = 60°$,
$\therefore ∠ BAC - ∠ PAC = ∠ PAQ - ∠ PAC$,
$\therefore ∠ BAP = ∠ CAQ$.
在$△ ABP$和$△ ACQ$中,$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ BAP = ∠ CAQ, \\ AP = AQ, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ ACQ(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ACQ = ∠ B = 60°, \therefore ∠ ACQ = ∠ BAC, \therefore AB // CQ$.
(2)解:存在,当 $P$ 为 $BC$ 的中点时, $AQ ⊥ CQ$.
由(1)知,$△ ABP ≌ △ ACQ$,
$\therefore ∠ APB = ∠ AQC$.
$\because P$ 为 $BC$ 的中点, $△ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore AP ⊥ BC$,即 $∠ APB = 90°$,
$\therefore ∠ AQC = 90°$,
$\therefore AQ ⊥ QC$.
即当 $P$ 为 $BC$ 的中点时, $AQ ⊥ CQ$.
$\therefore AB = AC, AP = AQ, ∠ B = ∠ BAC = ∠ PAQ = 60°$,
$\therefore ∠ BAC - ∠ PAC = ∠ PAQ - ∠ PAC$,
$\therefore ∠ BAP = ∠ CAQ$.
在$△ ABP$和$△ ACQ$中,$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ BAP = ∠ CAQ, \\ AP = AQ, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ ACQ(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ACQ = ∠ B = 60°, \therefore ∠ ACQ = ∠ BAC, \therefore AB // CQ$.
(2)解:存在,当 $P$ 为 $BC$ 的中点时, $AQ ⊥ CQ$.
由(1)知,$△ ABP ≌ △ ACQ$,
$\therefore ∠ APB = ∠ AQC$.
$\because P$ 为 $BC$ 的中点, $△ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore AP ⊥ BC$,即 $∠ APB = 90°$,
$\therefore ∠ AQC = 90°$,
$\therefore AQ ⊥ QC$.
即当 $P$ 为 $BC$ 的中点时, $AQ ⊥ CQ$.
解析：
【分析】
(1)要证$AB// CQ$，可通过证明内错角$∠ BAC=∠ ACQ$实现。首先利用等边三角形的性质得到相等的边和$60°$的角，通过角的和差推导得到$∠ BAP=∠ CAQ$，证明$△ ABP≌△ ACQ$，得到$∠ ACQ=∠ B=60°$，即可推出$∠ ACQ=∠ BAC$，进而得到两直线平行。
(2)要判断是否存在点$P$使$AQ⊥ CQ$，即需$∠ AQC=90°$。结合(1)的全等结论可得$∠ AQC=∠ APB$，因此只需$∠ APB=90°$即可，根据等边三角形三线合一的性质，当$P$为$BC$中点时，$AP⊥ BC$，满足$∠ APB=90°$，即可推出$AQ⊥ CQ$。
【解析】
(1)证明:$\because △ ABC$ 和 $△ APQ$ 都是等边三角形,
$\therefore AB = AC, AP = AQ, ∠ B = ∠ BAC = ∠ PAQ = 60°$,
$\therefore ∠ BAC - ∠ PAC = ∠ PAQ - ∠ PAC$,
$\therefore ∠ BAP = ∠ CAQ$.
在$△ ABP$和$△ ACQ$中,$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ BAP = ∠ CAQ, \\ AP = AQ, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ ACQ(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ACQ = ∠ B = 60°, \therefore ∠ ACQ = ∠ BAC, \therefore AB // CQ$.
(2)解:存在,当 $P$ 为 $BC$ 的中点时, $AQ ⊥ CQ$.
由(1)知,$△ ABP ≌ △ ACQ$,
$\therefore ∠ APB = ∠ AQC$.
$\because P$ 为 $BC$ 的中点, $△ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore AP ⊥ BC$,即 $∠ APB = 90°$,
$\therefore ∠ AQC = 90°$,
$\therefore AQ ⊥ QC$.
即当 $P$ 为 $BC$ 的中点时, $AQ ⊥ CQ$.
【答案】
(1)$AB// CQ$，证明成立；
(2)存在，当$P$为$BC$的中点时，$AQ⊥ CQ$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的基础几何综合题，核心解题思路是利用等边三角形的性质构造全等三角形，通过全等实现角的等量转化，存在性问题可从结论倒推所需条件求解，能很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证$AB// CQ$，可通过证明内错角$∠ BAC=∠ ACQ$实现。首先利用等边三角形的性质得到相等的边和$60°$的角，通过角的和差推导得到$∠ BAP=∠ CAQ$，证明$△ ABP≌△ ACQ$，得到$∠ ACQ=∠ B=60°$，即可推出$∠ ACQ=∠ BAC$，进而得到两直线平行。
(2)要判断是否存在点$P$使$AQ⊥ CQ$，即需$∠ AQC=90°$。结合(1)的全等结论可得$∠ AQC=∠ APB$，因此只需$∠ APB=90°$即可，根据等边三角形三线合一的性质，当$P$为$BC$中点时，$AP⊥ BC$，满足$∠ APB=90°$，即可推出$AQ⊥ CQ$。
【解析】
(1)证明:$\because △ ABC$ 和 $△ APQ$ 都是等边三角形,
$\therefore AB = AC, AP = AQ, ∠ B = ∠ BAC = ∠ PAQ = 60°$,
$\therefore ∠ BAC - ∠ PAC = ∠ PAQ - ∠ PAC$,
$\therefore ∠ BAP = ∠ CAQ$.
在$△ ABP$和$△ ACQ$中,$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ BAP = ∠ CAQ, \\ AP = AQ, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ ACQ(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ACQ = ∠ B = 60°, \therefore ∠ ACQ = ∠ BAC, \therefore AB // CQ$.
(2)解:存在,当 $P$ 为 $BC$ 的中点时, $AQ ⊥ CQ$.
由(1)知,$△ ABP ≌ △ ACQ$,
$\therefore ∠ APB = ∠ AQC$.
$\because P$ 为 $BC$ 的中点, $△ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore AP ⊥ BC$,即 $∠ APB = 90°$,
$\therefore ∠ AQC = 90°$,
$\therefore AQ ⊥ QC$.
即当 $P$ 为 $BC$ 的中点时, $AQ ⊥ CQ$.
【答案】
(1)$AB// CQ$，证明成立；
(2)存在，当$P$为$BC$的中点时，$AQ⊥ CQ$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的基础几何综合题，核心解题思路是利用等边三角形的性质构造全等三角形，通过全等实现角的等量转化，存在性问题可从结论倒推所需条件求解，能很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
23.(10分)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,AE是∠BAD的平分线,F为AE上一点,连接BF,∠BFE=45°.
(1)求证:BF平分∠ABE;
(2)连接CF交AD于点G,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证:∠AFC=90°;
(3)在(2)的条件下,当BE=3,AG=4.5时,求线段AB的长.
(1)求证:BF平分∠ABE;
(2)连接CF交AD于点G,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证:∠AFC=90°;
(3)在(2)的条件下,当BE=3,AG=4.5时,求线段AB的长.
答案：
23.(1)证明:$\because AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAD = 2∠ BAF. \because ∠ BFE = 45°$,
$\therefore ∠ FBA + ∠ BAF = 45°, \therefore 2∠ FBA + 2∠ BAF = 90°$.
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的高,
$\therefore ∠ EBF + ∠ FBA + 2∠ BAF = 90°$,
$\therefore 2∠ FBA = ∠ EBF + ∠ FBA, \therefore ∠ EBF = ∠ FBA$,
$\therefore BF$ 平分 $∠ ABE$.
(2)证明:如答图,过点 $F$ 作 $FM ⊥ BC$ 于点 $M$, $FN ⊥ AB$ 于点 $N$.
$\because BF$ 平分 $∠ ABE, FM ⊥ BC, FN ⊥ AB, \therefore FM = FN$.
$\because S_{△ ABF} = S_{△ CBF}$,即 $\frac{1}{2} AB · FN = \frac{1}{2} BC · FM$,
$\therefore AB = BC$.
在$△ ABF$和$△ CBF$中,
$\begin{cases} BA = BC, \\ ∠ ABF = ∠ CBF, \\ BF = BF, \end{cases} \therefore △ ABF ≌ △ CBF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ AFB = ∠ CFB. \because ∠ BFE = 45°, \therefore ∠ AFB = 135°$,
$\therefore ∠ CFB = 135°, \therefore ∠ CFE = ∠ CFB - ∠ BFE = 135° - 45° = 90°, \therefore ∠ AFC = 90°$.
(3)解:$\because △ ABF ≌ △ CBF, \therefore AF = FC$.
$\because ∠ AFC = ∠ ADC = 90°, ∠ AGF = ∠ CGD$,
$\therefore ∠ FAG = ∠ FCE$. 在 $△ AFG$ 和 $△ CFE$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFG = ∠ CFE, \\ AF = CF, \\ ∠ FAG = ∠ FCE, \end{cases} \therefore △ AFG ≌ △ CFE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AG = EC = 4.5. \because BE = 3, \therefore BC = BE + EC = 7.5$,
$\therefore AB = BC = 7.5$.
23.(1)证明:$\because AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAD = 2∠ BAF. \because ∠ BFE = 45°$,
$\therefore ∠ FBA + ∠ BAF = 45°, \therefore 2∠ FBA + 2∠ BAF = 90°$.
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的高,
$\therefore ∠ EBF + ∠ FBA + 2∠ BAF = 90°$,
$\therefore 2∠ FBA = ∠ EBF + ∠ FBA, \therefore ∠ EBF = ∠ FBA$,
$\therefore BF$ 平分 $∠ ABE$.
(2)证明:如答图,过点 $F$ 作 $FM ⊥ BC$ 于点 $M$, $FN ⊥ AB$ 于点 $N$.
$\because BF$ 平分 $∠ ABE, FM ⊥ BC, FN ⊥ AB, \therefore FM = FN$.
$\because S_{△ ABF} = S_{△ CBF}$,即 $\frac{1}{2} AB · FN = \frac{1}{2} BC · FM$,
$\therefore AB = BC$.
在$△ ABF$和$△ CBF$中,
$\begin{cases} BA = BC, \\ ∠ ABF = ∠ CBF, \\ BF = BF, \end{cases} \therefore △ ABF ≌ △ CBF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ AFB = ∠ CFB. \because ∠ BFE = 45°, \therefore ∠ AFB = 135°$,
$\therefore ∠ CFB = 135°, \therefore ∠ CFE = ∠ CFB - ∠ BFE = 135° - 45° = 90°, \therefore ∠ AFC = 90°$.
(3)解:$\because △ ABF ≌ △ CBF, \therefore AF = FC$.
$\because ∠ AFC = ∠ ADC = 90°, ∠ AGF = ∠ CGD$,
$\therefore ∠ FAG = ∠ FCE$. 在 $△ AFG$ 和 $△ CFE$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFG = ∠ CFE, \\ AF = CF, \\ ∠ FAG = ∠ FCE, \end{cases} \therefore △ AFG ≌ △ CFE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AG = EC = 4.5. \because BE = 3, \therefore BC = BE + EC = 7.5$,
$\therefore AB = BC = 7.5$.
解析：
【分析】
(1) 要证明BF平分∠ABE，只需证明∠EBF=∠FBA。首先根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠BAF，结合三角形外角性质可知∠BFE=∠FBA+∠BAF=45°，再结合AD⊥BC可得∠ABD+∠BAD=90°，通过等量代换即可推导出两角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要证∠AFC=90°，先过点F作FM⊥BC、FN⊥AB，利用角平分线的性质得到FM=FN，结合两个三角形面积相等的条件可推出AB=BC，再通过SAS证明△ABF≌△CBF，得到∠AFB=∠CFB，结合∠BFE=45°计算即可得到∠AFC=90°。
(3) 求AB的长，由(2)的全等结论可得AF=FC、AB=BC，因此只需算出BC的长度即可。先通过ASA证明△AFG≌△CFE，得到AG=EC，结合已知BE的长度算出BC的长，即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AE是∠BAD的平分线，
∴$∠ BAD = 2∠ BAF$。
∵$∠ BFE$是$△ ABF$的外角，且$∠ BFE=45°$，
∴$∠ FBA + ∠ BAF = 45°$，
等式两边同乘2得：$2∠ FBA + 2∠ BAF = 90°$。
∵AD为BC边上的高，
∴$AD⊥ BC$，$∠ ABD + ∠ BAD = 90°$，
即$∠ EBF + ∠ FBA + 2∠ BAF = 90°$，
与上式联立可得$2∠ FBA = ∠ EBF + ∠ FBA$，
∴$∠ EBF = ∠ FBA$，即BF平分$∠ ABE$。
(2) 证明：
如答图，过点$F$作$FM ⊥ BC$于点$M$，$FN ⊥ AB$于点$N$。
∵BF平分$∠ ABE$，$FM ⊥ BC$，$FN ⊥ AB$，
根据角平分线的性质可得$FM = FN$。
∵$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$，即$\frac{1}{2} AB · FN = \frac{1}{2} BC · FM$，
将$FM=FN$代入化简得$AB = BC$。
在$△ ABF$和$△ CBF$中：
$\begin{cases} BA = BC, \\ ∠ ABF = ∠ CBF, \\ BF = BF, \end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ CBF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AFB = ∠ CFB$。
∵$∠ BFE = 45°$，
∴$∠ AFB = 180° - 45° = 135°$，
∴$∠ CFB = 135°$，
∴$∠ CFE = ∠ CFB - ∠ BFE = 135° - 45° = 90°$，
即$∠ AFC = 90°$。
(3) 解：
∵$△ ABF ≌ △ CBF$，
∴$AF = FC$。
∵$∠ AFC = ∠ ADC = 90°$，$∠ AGF = ∠ CGD$（对顶角相等），
根据等角的余角相等可得$∠ FAG = ∠ FCE$。
在$△ AFG$和$△ CFE$中：
$\begin{cases} ∠ AFG = ∠ CFE = 90°, \\ AF = CF, \\ ∠ FAG = ∠ FCE, \end{cases}$
∴$△ AFG ≌ △ CFE(\mathrm{ASA})$，
∴$AG = EC = 4.5$。
∵$BE = 3$，
∴$BC = BE + EC = 3 + 4.5 = 7.5$，
又
∵$AB = BC$，
∴$AB = 7.5$。
【答案】
(1) BF平分$∠ ABE$，证明成立；
(2) $∠ AFC=90°$，证明成立，辅助线图：；
(3) $AB=7.5$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题为三角形综合题，三个小问逐层递进，既考查了角平分线、全等三角形等基础知识点的应用，也涉及了等量代换、辅助线构造等常用解题方法，要求学生能灵活运用所学知识梳理角、线段之间的数量关系，具备一定的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明BF平分∠ABE，只需证明∠EBF=∠FBA。首先根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠BAF，结合三角形外角性质可知∠BFE=∠FBA+∠BAF=45°，再结合AD⊥BC可得∠ABD+∠BAD=90°，通过等量代换即可推导出两角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要证∠AFC=90°，先过点F作FM⊥BC、FN⊥AB，利用角平分线的性质得到FM=FN，结合两个三角形面积相等的条件可推出AB=BC，再通过SAS证明△ABF≌△CBF，得到∠AFB=∠CFB，结合∠BFE=45°计算即可得到∠AFC=90°。
(3) 求AB的长，由(2)的全等结论可得AF=FC、AB=BC，因此只需算出BC的长度即可。先通过ASA证明△AFG≌△CFE，得到AG=EC，结合已知BE的长度算出BC的长，即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AE是∠BAD的平分线，
∴$∠ BAD = 2∠ BAF$。
∵$∠ BFE$是$△ ABF$的外角，且$∠ BFE=45°$，
∴$∠ FBA + ∠ BAF = 45°$，
等式两边同乘2得：$2∠ FBA + 2∠ BAF = 90°$。
∵AD为BC边上的高，
∴$AD⊥ BC$，$∠ ABD + ∠ BAD = 90°$，
即$∠ EBF + ∠ FBA + 2∠ BAF = 90°$，
与上式联立可得$2∠ FBA = ∠ EBF + ∠ FBA$，
∴$∠ EBF = ∠ FBA$，即BF平分$∠ ABE$。
(2) 证明：
如答图，过点$F$作$FM ⊥ BC$于点$M$，$FN ⊥ AB$于点$N$。
∵BF平分$∠ ABE$，$FM ⊥ BC$，$FN ⊥ AB$，
根据角平分线的性质可得$FM = FN$。
∵$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$，即$\frac{1}{2} AB · FN = \frac{1}{2} BC · FM$，
将$FM=FN$代入化简得$AB = BC$。
在$△ ABF$和$△ CBF$中：
$\begin{cases} BA = BC, \\ ∠ ABF = ∠ CBF, \\ BF = BF, \end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ CBF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AFB = ∠ CFB$。
∵$∠ BFE = 45°$，
∴$∠ AFB = 180° - 45° = 135°$，
∴$∠ CFB = 135°$，
∴$∠ CFE = ∠ CFB - ∠ BFE = 135° - 45° = 90°$，
即$∠ AFC = 90°$。
(3) 解：
∵$△ ABF ≌ △ CBF$，
∴$AF = FC$。
∵$∠ AFC = ∠ ADC = 90°$，$∠ AGF = ∠ CGD$（对顶角相等），
根据等角的余角相等可得$∠ FAG = ∠ FCE$。
在$△ AFG$和$△ CFE$中：
$\begin{cases} ∠ AFG = ∠ CFE = 90°, \\ AF = CF, \\ ∠ FAG = ∠ FCE, \end{cases}$
∴$△ AFG ≌ △ CFE(\mathrm{ASA})$，
∴$AG = EC = 4.5$。
∵$BE = 3$，
∴$BC = BE + EC = 3 + 4.5 = 7.5$，
又
∵$AB = BC$，
∴$AB = 7.5$。
【答案】
(1) BF平分$∠ ABE$，证明成立；
(2) $∠ AFC=90°$，证明成立，辅助线图：
；(3) $AB=7.5$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题为三角形综合题，三个小问逐层递进，既考查了角平分线、全等三角形等基础知识点的应用，也涉及了等量代换、辅助线构造等常用解题方法，要求学生能灵活运用所学知识梳理角、线段之间的数量关系，具备一定的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6