【分析】
要解决本题，首先要明确勾股数的定义：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数为勾股数。解题时对每个选项逐一验证即可：先找到每组数的最大值，再计算另外两个数的平方和，判断是否等于最大值的平方，不满足的即为正确选项。
【解析】
根据勾股数的定义，满足$a^2+b^2=c^2$（$a、b、c$均为正整数，且$c$是三个数中的最大值）的三个数为勾股数，逐一验证各选项：
选项A：最大数为13，$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，是勾股数；
选项B：最大数为15，$8^2+12^2=64+144=208$，$15^2=225$，$208≠225$，不是勾股数；
选项C：最大数为17，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，是勾股数；
选项D：最大数为41，$9^2+40^2=81+1600=1681=41^2$，是勾股数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查勾股数定义的掌握情况，熟练记忆常见的勾股数可以提高解题速度，解题时要注意准确计算平方值，避免计算失误。
【难度系数】
0.85

【分析】
首先回忆直角三角形的勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先设两条直角边的长度为a、b，斜边为c，根据勾股定理可得$a²+b²=c²$。题目给出三边长的平方和为1800，也就是$a²+b²+c²=1800$，将$a²+b²$替换为$c²$，就能得到仅关于斜边c的方程，求解即可得到斜边长。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为a cm，斜边长为c cm。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
已知三边长的平方和为$1800\ \mathrm{cm}^2$，则：
$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，得：
$c^2 + c^2 = 1800$
即$2c^2 = 1800$，化简得$c^2 = 900$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{900} = 30$，即斜边长为30cm。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、代数式代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是利用勾股定理完成等量代换，将三个未知量的平方和转化为仅含斜边平方的等式，从而快速求出结果，考查对勾股定理的理解和基础运用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先已知三角形三个内角的度数比，可结合三角形内角和为180°，先求出三个内角的具体度数，确定三角形的形状；再利用等腰三角形“等角对等边”的性质和直角三角形的勾股定理，逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
设$∠ A=x$，$∠ B=x$，$∠ C=2x$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$x+x+2x=180°$
解得$x=45°$
$\therefore ∠ A=∠ B=45°$，$∠ C=90°$，$△ ABC$是等腰直角三角形。
选项A：$∠ C=90°$，说法正确，不符合题意；
选项D：$\because ∠ A=∠ B$，根据等角对等边可得$a=b$，说法正确，不符合题意；
$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ C$为直角，根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，又$\because a=b$，代入得$a^2+a^2=c^2$，即$c^2=2a^2$，故选项C说法正确，不符合题意；
选项B：$a^2=b^2-c^2$变形为$a^2+c^2=b^2$，对应直角应为$∠ B$，与$∠ C$是直角矛盾，说法错误，符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是先通过角度比例关系判断出三角形为等腰直角三角形，再结合相关性质逐一验证选项，易错点是勾股定理应用时易混淆直角对应的斜边。
【难度系数】
0.8

【分析】
这是一道直角三角形三边关系的判断题，解题思路如下：1. 先由a＜b＜c确定直角三角形的斜边为c，因此勾股定理直接成立，可先排除D选项；2. 依据三角形通用的三边关系“任意两边之和大于第三边”，可判断A选项成立，排除A；3. 剩余B、C选项可采用特殊值法验证，选取常见的勾股数代入计算即可快速判断正误，也可通过不等式性质推导B选项成立。
【解析】
解：
∵ 直角三角形三边长满足a＜b＜c，
∴ c为直角三角形的斜边。
① 对选项D：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$，D成立，不符合题意；
② 对选项A：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$，A成立，不符合题意；
③ 对选项B：
∵ $a＜c$，$b＜c$，两式相加得$a+b＜c+c=2c$，B成立，不符合题意；
④ 对选项C：选取特殊值验证，取直角三边长a=3，b=4，c=5，
则$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{4}\approx1.732+2=3.732$，$\sqrt{c}=\sqrt{5}\approx2.236$，
显然$\sqrt{3}+\sqrt{4}＞\sqrt{5}$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$，故C不成立，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形三边关系
【点评】
本题考查直角三角形的基本性质，解题时可结合特殊值法快速验证选项，注意直角三角形中最长边为斜边是本题的隐含条件，做题时要先明确斜边再进行推导。
【难度系数】
0.75

【分析】
要求DC的长度，观察可知DC在Rt△BCD中，已知斜边DB=13，只需求出另一条直角边BC的长度，即可通过勾股定理计算DC。首先利用△DAB的面积条件求解BC：因为∠C=90°，即BC⊥AC，所以BC是△DAB中AD边上的高，结合已知的AD长度和△DAB的面积，可先算出BC的长，再代入勾股定理求DC。
【解析】
1. 求BC的长度：
∵ ∠C=90°，
∴ BC⊥AC，即BC是△DAB中AD边上的高。
已知$S_{△ DAB}=78$，$DA=13$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}×DA×BC=78$
代入$DA=13$：$\frac{1}{2}×13×BC=78$
解得：$BC=\frac{78×2}{13}=12$
2. 求DC的长度：
在Rt△BCD中，∠C=90°，$DB=13$，$BC=12$，根据勾股定理：
$DC=\sqrt{DB^2 - BC^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算、勾股定理
【点评】
本题是三角形面积公式和勾股定理的基础综合应用题，解题的关键是明确BC是△DAB的高，先求出BC的长度，再结合勾股定理计算未知边，解题思路清晰，属于常见基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题要求等腰三角形腰AB边上的高，解题思路分为两步：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，作出底边BC上的高，结合勾股定理计算出该高的长度，进而求出△ABC的面积；再利用面积法，根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求解AB边上的高即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=5cm，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3\ \mathrm{cm}$。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×3=12\ \mathrm{cm^2}$。
设AB边上的高为h，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×AB×h$，代入数据得$12=\frac{1}{2}×5×h$，
解得$h=24÷5=4.8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的典型题型，解题核心是灵活运用面积法，通过两种方式表示三角形面积建立等量关系求解，要求熟练掌握等腰三角形性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这个问题，我们首先结合勾股定理分析长度为$\sqrt{13}$的线段的特征：小方格面积为1，因此边长为1，根据勾股定理，若斜边长度为$\sqrt{13}$，则对应直角三角形两条直角边的平方和为13，正整数条件下只有$2^2+3^2=13$，也就是说长度为$\sqrt{13}$的线段是直角边分别为2和3的直角三角形的斜边。接下来我们只需要在图中的格点中，找出所有满足“两点横向距离为3、纵向距离为2”或者“横向距离为2、纵向距离为3”的线段即可，数线段时要注意避免重复和遗漏。
【解析】
已知小方格面积为1，因此小方格的边长为1。
根据勾股定理：若直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，则$a^2+b^2=c^2$。
令$c=\sqrt{13}$，则$a^2+b^2=13$，正整数解为$\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}$或$\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}$，即长度为$\sqrt{13}$的线段是直角边为2、3的直角三角形的斜边。
在图中格点中逐一寻找符合条件的线段：
1. 横向差为3、纵向差为2的线段：共2条；
2. 横向差为2、纵向差为3的线段：共2条；
合计共有4条符合条件的线段。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，网格线段计数
【点评】
本题核心是利用勾股定理将无理数长度的线段转化为特定直角三角形的斜边，解题时需要细心排查所有符合条件的线段，避免漏数或多数，是勾股定理应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时我们可以先通过设参数表示两类直角三角形的直角边长，找到拼接后图形各线段的长度关系，再将阴影部分面积用参数表示，最后逐一分析各选项对应的面积表达式，判断哪一个可以仅通过阴影面积直接求出，不需要额外知道参数的具体数值。
【解析】
设图②中a类（较大）直角三角形的较长直角边长为$ c $，较短直角边长为$ b $；b类（较小）直角三角形的较长直角边长为$ b $，较短直角边长为$ a $（两类三角形有公共长度为$ b $的直角边，可顺利拼接为图③）。
观察图形可知，三块阴影三角形的公共底边长均为$ c - a $，对应的高分别为$ b $、$ a $、$ b - a $，因此阴影部分总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴}}&=\frac{1}{2}(c-a)b + \frac{1}{2}(c-a)a + \frac{1}{2}(c-a)(b-a)\\&=\frac{1}{2}(c-a)[b + a + (b - a)]\\&=\frac{1}{2}(c-a)· 2b\\&=b(c-a)\end{aligned}$
接下来分析各选项：
A. 四边形ABCD的面积需要结合$ a,b,c $三个参数计算，仅知道$ S_{\mathrm{阴}} $无法求出；
B. 四边形EFGH为正方形，面积为$ a^2 $，和$ S_{\mathrm{阴}} $无直接固定关系，无法求出；
C. $ △ ADH $的面积为$ \frac{1}{2}ab $，和$ S_{\mathrm{阴}} $无直接固定关系，无法求出；
D. $ △ CDG $的底为$ c - a $，高为$ b $，因此$ S_{△ CDG}=\frac{1}{2}b(c-a)=\frac{1}{2}S_{\mathrm{阴}} $，只要知道阴影面积即可直接求出。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算、全等图形的性质、整式的化简
【点评】
本题以赵爽弦图的变形为背景，考查学生对拼接图形的边长、面积关系的分析能力，运用设参法表示面积即可快速找到各部分的数量关联，不需要求出参数具体值就能得到结论，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6