17.(6分)(2025·南通期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=13$,$AC=12$,$BC=5$,$DE$是$AB$的垂直平分线,分别交$AC$,$AB$于点$E$,$D$.
(1)求证:$△ ABC$是直角三角形;
(2)求$CE$的长.
(1)求证:$△ ABC$是直角三角形;
(2)求$CE$的长.
答案：
17.(1)证明:$\because AB=13,AC=12,BC=5$,
则$AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$,
$AB^2=13^2=169$,
则$AC^2+BC^2=AB^2$,故$△ ABC$是直角三角形.
(2)解:连接$BE$,如答图
.
$\because DE$是$AB$的垂直平分线,$\therefore AE=BE$.
由(1)可得$△ ABC$是直角三角形,$∠ ACB=90°$.
设$CE=x$,则$AE=AC-CE=12-x$,即$BE=12-x$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$CE^2+CB^2=BE^2$,
即$x^2+5^2=(12-x)^2$,解得$x=\frac{119}{24}$,即$CE$的长为$\frac{119}{24}$.
17.(1)证明:$\because AB=13,AC=12,BC=5$,
则$AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$,
$AB^2=13^2=169$,
则$AC^2+BC^2=AB^2$,故$△ ABC$是直角三角形.
(2)解:连接$BE$,如答图
.$\because DE$是$AB$的垂直平分线,$\therefore AE=BE$.
由(1)可得$△ ABC$是直角三角形,$∠ ACB=90°$.
设$CE=x$,则$AE=AC-CE=12-x$,即$BE=12-x$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$CE^2+CB^2=BE^2$,
即$x^2+5^2=(12-x)^2$,解得$x=\frac{119}{24}$,即$CE$的长为$\frac{119}{24}$.
解析：
【分析】
(1) 要证明△ABC是直角三角形，已知三边长度，可利用勾股定理的逆定理判断：先确定最长边为AB，计算较短两边AC、BC的平方和，再与AB的平方比较，若相等即可判定为直角三角形。
(2) 求CE的长时，首先根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，连接BE可得AE=BE；结合第一问结论可知∠C=90°，因此△BCE是直角三角形，设CE=x，用含x的式子表示BE的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=13,AC=12,BC=5$，
$\therefore AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$，
$AB^2=13^2=169$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(2) 解：连接$BE$，如答图。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AE=BE$。
由(1)得$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
设$CE=x$，则$AE=AC-CE=12-x$，即$BE=12-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得$CE^2+CB^2=BE^2$，
代入得：$x^2+5^2=(12-x)^2$，
展开整理：$x^2+25=144-24x+x^2$，
消去$x^2$得$24x=119$，
解得$x=\frac{119}{24}$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC$是直角三角形；
(2) $CE$的长为$\frac{119}{24}$，辅助线如答图。
【知识点】
勾股定理逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理应用
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，第二问结合线段垂直平分线的性质，运用方程思想结合勾股定理求解线段长度，是平面几何中求线段长的常见题型，需要熟练掌握相关性质和数形结合、方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABC是直角三角形，已知三边长度，可利用勾股定理的逆定理判断：先确定最长边为AB，计算较短两边AC、BC的平方和，再与AB的平方比较，若相等即可判定为直角三角形。
(2) 求CE的长时，首先根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，连接BE可得AE=BE；结合第一问结论可知∠C=90°，因此△BCE是直角三角形，设CE=x，用含x的式子表示BE的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=13,AC=12,BC=5$，
$\therefore AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$，
$AB^2=13^2=169$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(2) 解：连接$BE$，如答图
。$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AE=BE$。
由(1)得$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
设$CE=x$，则$AE=AC-CE=12-x$，即$BE=12-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得$CE^2+CB^2=BE^2$，
代入得：$x^2+5^2=(12-x)^2$，
展开整理：$x^2+25=144-24x+x^2$，
消去$x^2$得$24x=119$，
解得$x=\frac{119}{24}$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC$是直角三角形；
(2) $CE$的长为$\frac{119}{24}$，辅助线如答图
。【知识点】
勾股定理逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理应用
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，第二问结合线段垂直平分线的性质，运用方程思想结合勾股定理求解线段长度，是平面几何中求线段长的常见题型，需要熟练掌握相关性质和数形结合、方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
18.(8分)如图,学校有一块三角形空地ABC,计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC,分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉.经测量,∠EDC=90°,DC=3,CE=5,BD=7,AB=8,AE=1.求四边形ABDE的面积.
答案：18.解:由题意,得$AC=AE+CE=1+5=6$,$BC=BD+DC=7+3=10$.
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中,由勾股定理,得$DE=\sqrt{CE^2-DC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
$\because 6^2+8^2=10^2$,$\therefore AC^2+AB^2=BC^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形,且$∠ BAC=90°$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABDE}=S_{△ ABC}-S_{△ EDC}=\frac{1}{2}AB· AC-\frac{1}{2}DE· DC=\frac{1}{2}×8×6-\frac{1}{2}×4×3=18$.
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中,由勾股定理,得$DE=\sqrt{CE^2-DC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
$\because 6^2+8^2=10^2$,$\therefore AC^2+AB^2=BC^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形,且$∠ BAC=90°$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABDE}=S_{△ ABC}-S_{△ EDC}=\frac{1}{2}AB· AC-\frac{1}{2}DE· DC=\frac{1}{2}×8×6-\frac{1}{2}×4×3=18$.
解析：
【分析】
要求四边形ABDE的面积，该四边形为不规则图形，直接求解缺少对应边长、高的条件，因此考虑采用割补法，用△ABC的面积减去△EDC的面积得到所求面积。首先根据已知线段长度求出AC、BC的总长；再在Rt△EDC中用勾股定理求出DE的长度，即可计算△EDC的面积；接下来通过△ABC的三边长度，用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形，若为直角三角形即可直接计算面积，最后将两个三角形面积作差即可得到结果。
【解析】
解：由题意得：
$AC = AE + CE = 1 + 5 = 6$，$BC = BD + DC = 7 + 3 = 10$
在$\mathrm{Rt}△EDC$中，$∠ EDC=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2 - DC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=4$
在$△ABC$中，$AC=6$，$AB=8$，$BC=10$
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$AC^2 + AB^2 = BC^2$
$\therefore △ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$
则四边形ABDE的面积为：
$S_{\mathrm{四边形}ABDE}=S_{△ABC} - S_{△EDC}$
$=\frac{1}{2} × AB × AC - \frac{1}{2} × DE × DC$
$=\frac{1}{2} × 8 × 6 - \frac{1}{2} × 4 × 3$
$=24 - 6 = 18$
【答案】
18
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积计算，解题核心是将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积差，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用条件，能有效锻炼学生的转化思维和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
要求四边形ABDE的面积，该四边形为不规则图形，直接求解缺少对应边长、高的条件，因此考虑采用割补法，用△ABC的面积减去△EDC的面积得到所求面积。首先根据已知线段长度求出AC、BC的总长；再在Rt△EDC中用勾股定理求出DE的长度，即可计算△EDC的面积；接下来通过△ABC的三边长度，用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形，若为直角三角形即可直接计算面积，最后将两个三角形面积作差即可得到结果。
【解析】
解：由题意得：
$AC = AE + CE = 1 + 5 = 6$，$BC = BD + DC = 7 + 3 = 10$
在$\mathrm{Rt}△EDC$中，$∠ EDC=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2 - DC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=4$
在$△ABC$中，$AC=6$，$AB=8$，$BC=10$
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$AC^2 + AB^2 = BC^2$
$\therefore △ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$
则四边形ABDE的面积为：
$S_{\mathrm{四边形}ABDE}=S_{△ABC} - S_{△EDC}$
$=\frac{1}{2} × AB × AC - \frac{1}{2} × DE × DC$
$=\frac{1}{2} × 8 × 6 - \frac{1}{2} × 4 × 3$
$=24 - 6 = 18$
【答案】
18
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积计算，解题核心是将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积差，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用条件，能有效锻炼学生的转化思维和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
19.(8分)如图,一块长方体砖宽$AN=5\ \mathrm{cm}$,长$ND=10\ \mathrm{cm}$,$CD$上的点$B$距地面的高$BD=8\ \mathrm{cm}$,地面上$A$处的一只蚂蚁到$B$处吃食,需要爬行的最短路程是多少厘米？
答案：
19.解:如答图
,在砖的侧面展开图上,连接$AB$,则$AB$的长即为$A$处到$B$处的最短路程.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\because AD=AN+ND=5+10=15(\mathrm{cm})$,$BD=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB^2=AD^2+BD^2=15^2+8^2=289=17^2$,
$\therefore AB=17\ \mathrm{cm}$.
故蚂蚁需要爬行的最短路程为$17\ \mathrm{cm}$.
19.解:如答图
,在砖的侧面展开图上,连接$AB$,则$AB$的长即为$A$处到$B$处的最短路程.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\because AD=AN+ND=5+10=15(\mathrm{cm})$,$BD=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB^2=AD^2+BD^2=15^2+8^2=289=17^2$,
$\therefore AB=17\ \mathrm{cm}$.
故蚂蚁需要爬行的最短路程为$17\ \mathrm{cm}$.
解析：
【分析】
这是立体图形表面的最短路径问题，解题时首先要将蚂蚁爬行经过的相邻立体面展开到同一平面上，根据“两点之间，线段最短”，连接A、B两点的线段即为最短路径。展开后A、B、D三点构成直角三角形，只需计算出两条直角边的长度，再利用勾股定理即可求出最短路径的长度。
【解析】
如答图，将砖的侧面展开为平面，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=AN+ND=5+10=15(\mathrm{cm})$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$AB^2=AD^2+BD^2=15^2+8^2=225+64=289=17^2$，
因此$AB=17\ \mathrm{cm}$。
【答案】
19.解:如答图,在砖的侧面展开图上,连接$AB$,则$AB$的长即为$A$处到$B$处的最短路程.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\because AD=AN+ND=5+10=15(\mathrm{cm})$,$BD=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB^2=AD^2+BD^2=15^2+8^2=289=17^2$,
$\therefore AB=17\ \mathrm{cm}$.
故蚂蚁需要爬行的最短路程为$17\ \mathrm{cm}$.
【知识点】
最短路径问题；立体图形展开；勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题目，核心是运用转化思想，将立体图形问题转化为平面图形问题，结合两点之间线段最短确定最短路径，再用勾股定理计算长度，解题时需注意展开后边的长度对应关系，避免边长计算错误。
【难度系数】
0.7
这是立体图形表面的最短路径问题，解题时首先要将蚂蚁爬行经过的相邻立体面展开到同一平面上，根据“两点之间，线段最短”，连接A、B两点的线段即为最短路径。展开后A、B、D三点构成直角三角形，只需计算出两条直角边的长度，再利用勾股定理即可求出最短路径的长度。
【解析】
如答图
，将砖的侧面展开为平面，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程。在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=AN+ND=5+10=15(\mathrm{cm})$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$AB^2=AD^2+BD^2=15^2+8^2=225+64=289=17^2$，
因此$AB=17\ \mathrm{cm}$。
【答案】
19.解:如答图
,在砖的侧面展开图上,连接$AB$,则$AB$的长即为$A$处到$B$处的最短路程.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\because AD=AN+ND=5+10=15(\mathrm{cm})$,$BD=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB^2=AD^2+BD^2=15^2+8^2=289=17^2$,
$\therefore AB=17\ \mathrm{cm}$.
故蚂蚁需要爬行的最短路程为$17\ \mathrm{cm}$.
【知识点】
最短路径问题；立体图形展开；勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题目，核心是运用转化思想，将立体图形问题转化为平面图形问题，结合两点之间线段最短确定最短路径，再用勾股定理计算长度，解题时需注意展开后边的长度对应关系，避免边长计算错误。
【难度系数】
0.7
20.(8分)(1)如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形,弦图中包含了一大、一小两个正方形,已知每个直角三角形中较长的直角边长为$a$,较短的直角边长为$b$,斜边长为$c$,结合图①,验证勾股定理;
(2)如图②,将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起,形成飞镖状,已知外围轮廓的周长为24,$OC=3$,求该飞镖状图案的面积.
(2)如图②,将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起,形成飞镖状,已知外围轮廓的周长为24,$OC=3$,求该飞镖状图案的面积.
答案：20.解:(1)$\because S_{\mathrm{小正方形}}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,
且$S_{\mathrm{小正方形}}=c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab$,
$\therefore a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$,则$a^2+b^2=c^2$.
(2)$24÷4=6$,设$AC=x$,则$AB=6-x$.
根据题意,得$(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$,解得$x=1$,
则$\frac{1}{2}×(3+1)×3×4=\frac{1}{2}×4×3×4=24$.
故该飞镖状图案的面积是24.
且$S_{\mathrm{小正方形}}=c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab$,
$\therefore a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$,则$a^2+b^2=c^2$.
(2)$24÷4=6$,设$AC=x$,则$AB=6-x$.
根据题意,得$(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$,解得$x=1$,
则$\frac{1}{2}×(3+1)×3×4=\frac{1}{2}×4×3×4=24$.
故该飞镖状图案的面积是24.
解析：
【分析】
(1) 验证勾股定理可采用面积法，通过两种不同方式表示图①中小正方形的面积，利用面积相等建立等式，化简即可推导勾股定理：第一种直接用边长（直角边的差$a-b$）计算小正方形面积；第二种用大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积表示小正方形面积，联立两个表达式化简即可。
(2) 先根据外围总周长求出单段外围斜边的长度，再设未知数表示直角三角形的边长，借助勾股定理列方程求出未知边长，最后计算4个全等直角三角形的面积和，即可得到飞镖图案的总面积。
【解析】
(1) 由图①可得，小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形面积为：
$S_{\mathrm{小正方形}}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
同时小正方形面积也可表示为大正方形面积减去4个直角三角形的面积：
$S_{\mathrm{小正方形}}=c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab$
两个式子表示同一图形面积，因此相等：
$a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$
等式两边同时加$2ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 外围轮廓周长为24，共4条等长的外围斜边，因此每条斜边长度为$24÷4=6$。
设$AC=x$，则外围斜边$AB=6-x$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，直角边$OB=OC=3$，另一条直角边$OA=3+x$，斜边为$AB=6-x$，根据勾股定理列方程：
$(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$
展开化简：$x^2+6x+18=36-12x+x^2$，解得$x=1$。
飞镖图案由4个全等的直角三角形组成，每个直角三角形的直角边分别为$3+1=4$和$3$，因此总面积为：
$4×\frac{1}{2}×4×3=24$
【答案】
(1) 验证得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立；
(2) $\boxed{24}$
【知识点】
勾股定理验证，勾股定理应用，面积计算
【点评】
本题借助经典几何拼接图形，既考查了勾股定理的推导逻辑，又考查了勾股定理的实际应用，核心要求掌握等积法和利用勾股定理建方程求解的思路，是勾股定理章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
(1) 验证勾股定理可采用面积法，通过两种不同方式表示图①中小正方形的面积，利用面积相等建立等式，化简即可推导勾股定理：第一种直接用边长（直角边的差$a-b$）计算小正方形面积；第二种用大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积表示小正方形面积，联立两个表达式化简即可。
(2) 先根据外围总周长求出单段外围斜边的长度，再设未知数表示直角三角形的边长，借助勾股定理列方程求出未知边长，最后计算4个全等直角三角形的面积和，即可得到飞镖图案的总面积。
【解析】
(1) 由图①可得，小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形面积为：
$S_{\mathrm{小正方形}}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
同时小正方形面积也可表示为大正方形面积减去4个直角三角形的面积：
$S_{\mathrm{小正方形}}=c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab$
两个式子表示同一图形面积，因此相等：
$a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$
等式两边同时加$2ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 外围轮廓周长为24，共4条等长的外围斜边，因此每条斜边长度为$24÷4=6$。
设$AC=x$，则外围斜边$AB=6-x$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，直角边$OB=OC=3$，另一条直角边$OA=3+x$，斜边为$AB=6-x$，根据勾股定理列方程：
$(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$
展开化简：$x^2+6x+18=36-12x+x^2$，解得$x=1$。
飞镖图案由4个全等的直角三角形组成，每个直角三角形的直角边分别为$3+1=4$和$3$，因此总面积为：
$4×\frac{1}{2}×4×3=24$
【答案】
(1) 验证得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立；
(2) $\boxed{24}$
【知识点】
勾股定理验证，勾股定理应用，面积计算
【点评】
本题借助经典几何拼接图形，既考查了勾股定理的推导逻辑，又考查了勾股定理的实际应用，核心要求掌握等积法和利用勾股定理建方程求解的思路，是勾股定理章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7