【分析】
要比较带二次根式的正数和有理数的大小，可采用平方法，核心原理是：两个正数中，平方更大的数本身也更大，平方更小的数本身也更小。我们只需分别计算两个数的平方，比较平方结果的大小，就能反推出原数的大小关系。
【解析】
由于$\sqrt{31}$和6均为正数，可通过比较二者平方的大小判断原数大小：
1. 计算两数的平方：$(\sqrt{31})^2=31$，$6^2=36$；
2. 比较平方结果：$31＜36$；
3. 根据正数平方和原数的大小关系，可得$\sqrt{31}＜6$。
【答案】
＜
【知识点】
实数大小比较，二次根式的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是解决含二次根式的非负数大小比较问题的常用方法，熟练掌握该方法的适用条件即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先，等腰三角形的边分为腰和底边，题目中仅给出“一边长为3”，未明确该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论计算。其次，计算出边长后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证结果是否合理，排除无法构成三角形的情况。具体步骤为：先假设已知边为腰，计算底边长度后验证；再假设已知边为底边，计算腰长后验证，最终得到符合条件的腰长。
【解析】
已知等腰三角形周长为8，分两种情况讨论：
1. 若边长为3的边是腰：
则底边长 = 周长 - 2×腰长 = 8 - 2×3 = 2
此时三角形三边长为3、3、2，满足3+2＞3，符合三角形三边关系，腰长为3成立。
2. 若边长为3的边是底边：
则腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (8 - 3)÷2 = 2.5
此时三角形三边长为2.5、2.5、3，满足2.5+2.5＞3，符合三角形三边关系，腰长为2.5成立。
综上，腰长为2.5或3。
【答案】
2.5或3
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，直接默认已知边为腰或底边导致漏解，同时要注意计算后必须验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先根据三边长的比例关系，设每份长度为x，将三边用含x的代数式表示，再结合周长为24的条件列方程求出x的值，得到三边的具体长度；接下来根据三边长度，利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，最后用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设三角形三边长分别为$3x$、$4x$、$5x$（$x＞0$）。
由三角形周长为24可得：
$3x + 4x + 5x = 24$
合并同类项得$12x = 24$
解得$x = 2$
因此三边长分别为：$3×2=6$，$4×2=8$，$5×2=10$
∵$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，符合勾股定理的逆定理
∴该三角形是直角三角形，直角边长为6和8
∴三角形的面积 = $\frac{1}{2}×6×8 = 24$
【答案】
24
【知识点】
按比例分配、勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是先通过比例和周长求出三边的具体长度，判定三角形形状后再计算面积，要求熟练掌握勾股定理逆定理的应用。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题可通过勾股定理求解，首先观察图形可知CA垂直于水面AB，因此△CAB和△CAD均为直角三角形。已知两个直角三角形的公共直角边AC=8米，以及斜边BC、CD的长度，我们可以先分别用勾股定理求出AB和AD的长度，再计算AB与AD的差值，即可得到船向岸边移动的距离BD。
【解析】
由题意得：$∠ A=90°$，$AC=8$米，$BC=17$米，$CD=10$米。
在$Rt△ CAB$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15$（米）
在$Rt△ CAD$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$（米）
则船移动的距离$BD=AB - AD=15 - 6=9$（米）
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的典型应用，解题核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，利用勾股定理计算未知边长，再通过线段差得到最终结果，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，首先需要确定$\sqrt{10}$介于哪两个连续整数之间。我们知道算术平方根具有被开方数越大，对应的算术平方根也越大的性质，因此可以先找到与10相邻的两个正整数的完全平方数，通过比较完全平方数的大小确定$\sqrt{10}$的取值范围，得到$a$、$b$的值后即可计算$a+b$的结果。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore$ 根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$
即$3＜\sqrt{10}＜4$
结合题意可知$a=3$，$b=4$
$\therefore a+b=3+4=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察估算无理数大小的方法，解题关键是找到和被开方数相邻的两个完全平方数，即可快速确定无理数的整数取值范围。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先观察题目条件：有平行线和角平分线，可联想到“平行线+角平分线”的组合能推导得到等腰三角形；先利用平行线的内错角相等结合角平分线定义，证出△EBG和△DCF为等腰三角形，得到EG=BE、DF=CD；再分析线段EG、DF和ED、FG的和差关系，代入已知数值即可求出FG的长度。
【解析】
∵ $ED// BC$，
∴ $∠ EGB=∠ GBC$，$∠ DFC=∠ FCB$（两直线平行，内错角相等），
∵ $BG$平分$∠ ABC$，$CF$平分$∠ ACB$，
∴ $∠ EBG=∠ GBC$，$∠ DCF=∠ FCB$，
∴ $∠ EBG=∠ EGB$，$∠ DCF=∠ DFC$（等量代换），
∴ $EG=BE=3$，$DF=CD=4$（等角对等边）。
观察线段关系可知：$EG+DF=(EF+FG)+(FG+GD)=(EF+FG+GD)+FG=ED+FG$，
将$EG=3$，$DF=4$，$ED=5$代入上式得：
$3+4=5+FG$，
解得$FG=2$。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查“平行线+角平分线得等腰三角形”的常用模型，熟练掌握该模型可快速找到解题突破口，再结合线段和差计算即可得到结果，是三角形部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题可按3步思考：①首先在Rt△ABC中，已知两条直角边的长度，可通过勾股定理先算出斜边AB的长度；②CD是AB边上的高，可利用三角形面积的两种计算方法求出CD的长度，再在Rt△ACD中用勾股定理算出AD的长度；③E是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半算出AE的长度，最后用AD减去AE即可得到DE的长度。
【解析】
1. 求斜边$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=15$，$AC=20$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25$
2. 求高$CD$和线段$AD$的长度：
$\because CD⊥ AB$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$
代入数值：$\frac{1}{2}×20×15=\frac{1}{2}×25× CD$，解得$CD=12$
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$
3. 求$DE$的长度：
$\because E$是$AB$的中点，$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×25=12.5$
$\therefore DE=AD-AE=16-12.5=3.5$
【答案】
3.5
【知识点】
勾股定理，直角三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是直角三角形性质的综合基础题，解题核心是灵活运用勾股定理、面积法求解相关线段长度，需要熟练掌握直角三角形各性质的应用场景。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题首先从已知条件出发：第一步，结合等边△ABC的边长为1、AE=3，可先求出BE的长度；第二步，由ED=EC可知△EDC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，考虑过E作CD的垂线，垂足即为CD的中点，只需算出中点到C的距离即可求出CD的长；第三步，利用等边三角形内角为60°的性质，得到直角三角形中30°的角，借助“30°角所对直角边是斜边一半”求出垂足到B的距离；第四步，结合BC的长度算出垂足到C的距离，最终求出CD。
【解析】
解：过点E作EF⊥CD于点F。
∵△ABC是等边三角形，边长为1，
∴AB=BC=1，∠ABC=60°，
∴∠EBF=180°-∠ABC=120°，则Rt△BEF中∠BEF=30°。
∵AE=3，
∴BE=AE-AB=3-1=2。
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×2=1。
∴CF=BF+BC=1+1=2。
∵ED=EC，EF⊥CD，由等腰三角形三线合一可得F是CD的中点，
∴CD=2CF=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，通过作垂线构造直角三角形、利用等腰三角形三线合一是解题的突破口，解题过程中需要熟练运用特殊三角形的边角关系进行量的转化。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先利用平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0，据此列出关于a的一元一次方程，求出a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根为2，则这个数等于2的立方，由此列出关于a、b的方程，代入已求出的a值即可得到b的值；最后计算a+b的结果，再求其算术平方根即可。
【解析】
解：根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$4a-3+a+3=0$
合并同类项得$5a=0$，解得$a=0$
∵$2a+b-3$的立方根是2
∴$2a+b-3=2^3=8$
把$a=0$代入上式得：$0 + b - 3 = 8$，解得$b=11$
∴$a+b=0+11=11$
∴$a+b$的算术平方根为$\sqrt{11}$
【答案】
$\sqrt{11}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查平方根、立方根、算术平方根的相关概念与性质，解题的关键是准确把握正数的两个平方根互为相反数这一隐含条件，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先利用全等三角形的性质获取对应边、对应角相等的关系。①求CE长度：已知BE的长度，由全等可知CD=BE，再结合DE的长度，用CD减去DE即可得到CE的长；②求∠DAC的度数：首先由∠AEC的度数求出邻补角∠AED的度数，结合全等得到的AD=AE，可知△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和求出∠DAE的度数；再在△AEC中，利用内角和定理求出∠EAC的度数，最后将∠DAE与∠EAC相加即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：$\because △ABE≌△ACD$,
$\therefore ∠B=∠C=42°,BE=CD=7,AD=AE$,
$\therefore CE=CD-DE=7-4=3,∠ADE=∠AED$.
$\because ∠AEC=114°$,
$\therefore ∠ADE=∠AED=180°-114°=66°$,
在$△ AEC$中，$∠EAC=180°-42°-114°=24°$,
在$△ ADE$中，$∠DAE=180°-66°-66°=48°$,
$\therefore ∠DAC=∠DAE+∠EAC=48°+24°=72°$.
【答案】
$CE$的长为$\boldsymbol{3}$，$∠DAC$的度数为$\boldsymbol{72°}$
【知识点】
全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算类题目，核心是灵活运用全等三角形对应边、对应角相等的性质，结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识进行推导，解题时需注意准确识别全等三角形的对应元素，避免边角对应错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明线段BC=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知BC属于△BAC，DE属于△DAE，已知AB=AD、AC=AE，还缺少两边的夹角相等的条件。结合已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到△BAC和△DAE的夹角∠BAC=∠DAE，满足SAS全等判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
解：$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC$，即$∠BAC=∠DAE$。
在$△ BAC$和$△ DAE$中：
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAC≌△ DAE(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$BC=DE$。
【答案】
$BC=DE$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题的关键是通过角的和差关系推导得到全等所需的对应夹角相等，再结合已知边相等的条件判定三角形全等，最终得到对应边相等的结论，是对全等判定和性质的基础考查。
【难度系数】
0.85