26.(10分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=16$. D是BC的中点,E是线段BD上的动点,过点E作$EF⊥ BD$交AB于点F.连接AE,$∠ AEF=∠ B$.
(1)求证:$AE⊥ AC$;
(2)求DE的长.
(1)求证:$AE⊥ AC$;
(2)求DE的长.
答案：26.(1)证明:$\because AB=AC,∴∠B=∠C$.
$\because EF⊥BD,∴∠AEF+∠AED=90°$.
$\because ∠AEF=∠B,∠B=∠C,∴∠C+∠AED=90°$,
$\therefore ∠EAC=90°,∴AE⊥AC$.
(2)解:$\because AB=AC,D$是$BC$的中点,$BC=16$,
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}×16=8,AD⊥BC$,
$\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
$\because ∠EAC=90°,∴AE^2+AC^2=CE^2$.
$\because CE=CD+DE=DE+8$,
$\therefore AE^2=CE^2-AC^2=(DE+8)^2-10^2$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$AE^2=AD^2+DE^2=6^2+DE^2$,
$\therefore (DE+8)^2-10^2=6^2+DE^2$,解得$DE=4.5$.
$\because EF⊥BD,∴∠AEF+∠AED=90°$.
$\because ∠AEF=∠B,∠B=∠C,∴∠C+∠AED=90°$,
$\therefore ∠EAC=90°,∴AE⊥AC$.
(2)解:$\because AB=AC,D$是$BC$的中点,$BC=16$,
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}×16=8,AD⊥BC$,
$\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
$\because ∠EAC=90°,∴AE^2+AC^2=CE^2$.
$\because CE=CD+DE=DE+8$,
$\therefore AE^2=CE^2-AC^2=(DE+8)^2-10^2$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$AE^2=AD^2+DE^2=6^2+DE^2$,
$\therefore (DE+8)^2-10^2=6^2+DE^2$,解得$DE=4.5$.
解析：
【分析】
(1) 要证明$AE⊥AC$，即证$∠ EAC=90°$。首先由等腰三角形等边对等角得$∠ B=∠ C$，结合$EF⊥BD$可得$∠ AEF+∠ AED=90°$，再根据已知$∠ AEF=∠ B$，等量代换得$∠ C+∠ AED=90°$，根据三角形内角和即可推出$∠ EAC=90°$，完成证明。
(2) 求$DE$的长度，首先利用等腰三角形三线合一的性质，得$AD⊥BC$，先求出$BD$、$CD$和$AD$的长度；接下来在$\mathrm{Rt}△ AEC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，分别用含$DE$的式子表示$AE^2$，联立两个表达式得到关于$DE$的方程，解方程即可求出$DE$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because EF⊥BD$，$\therefore ∠ AEF+∠ AED=90°$。
又$\because ∠ AEF=∠ B$，$∠ B=∠ C$，$\therefore ∠ C+∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ EAC=180°-(∠ C+∠ AED)=90°$，$\therefore AE⊥AC$。
(2) 解：$\because AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$BC=16$，
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}×16=8$，且$AD⊥BC$（等腰三角形三线合一）。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
$\because ∠ EAC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，由勾股定理得$AE^2+AC^2=CE^2$。
$\because CE=CD+DE=DE+8$，
$\therefore AE^2=CE^2-AC^2=(DE+8)^2-10^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得$AE^2=AD^2+DE^2=6^2+DE^2$，
$\therefore (DE+8)^2-10^2=6^2+DE^2$，
展开化简得$16DE=72$，解得$DE=4.5$。
【答案】
(1) $AE⊥AC$得证；(2) $DE=4.5$（或$\frac{9}{2}$）
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何中档综合题，第一问通过等角代换结合三角形内角和证明垂直，侧重基础性质的应用；第二问通过同一线段平方的两种表示建立方程求解，体现了几何中的方程思想，能较好地考查学生对核心知识点的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明$AE⊥AC$，即证$∠ EAC=90°$。首先由等腰三角形等边对等角得$∠ B=∠ C$，结合$EF⊥BD$可得$∠ AEF+∠ AED=90°$，再根据已知$∠ AEF=∠ B$，等量代换得$∠ C+∠ AED=90°$，根据三角形内角和即可推出$∠ EAC=90°$，完成证明。
(2) 求$DE$的长度，首先利用等腰三角形三线合一的性质，得$AD⊥BC$，先求出$BD$、$CD$和$AD$的长度；接下来在$\mathrm{Rt}△ AEC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，分别用含$DE$的式子表示$AE^2$，联立两个表达式得到关于$DE$的方程，解方程即可求出$DE$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because EF⊥BD$，$\therefore ∠ AEF+∠ AED=90°$。
又$\because ∠ AEF=∠ B$，$∠ B=∠ C$，$\therefore ∠ C+∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ EAC=180°-(∠ C+∠ AED)=90°$，$\therefore AE⊥AC$。
(2) 解：$\because AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$BC=16$，
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}×16=8$，且$AD⊥BC$（等腰三角形三线合一）。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
$\because ∠ EAC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，由勾股定理得$AE^2+AC^2=CE^2$。
$\because CE=CD+DE=DE+8$，
$\therefore AE^2=CE^2-AC^2=(DE+8)^2-10^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得$AE^2=AD^2+DE^2=6^2+DE^2$，
$\therefore (DE+8)^2-10^2=6^2+DE^2$，
展开化简得$16DE=72$，解得$DE=4.5$。
【答案】
(1) $AE⊥AC$得证；(2) $DE=4.5$（或$\frac{9}{2}$）
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何中档综合题，第一问通过等角代换结合三角形内角和证明垂直，侧重基础性质的应用；第二问通过同一线段平方的两种表示建立方程求解，体现了几何中的方程思想，能较好地考查学生对核心知识点的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】
0.65
27.(12分)如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$边上,$∠ BAD=110°$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ AB$,垂足为$F$,且$∠ AEF=55°$,连接$DE$.
(1)求$∠ CAD$的度数;
(2)求证:$DE$平分$∠ ADC$;
(3)若$AB=8$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.
(1)求$∠ CAD$的度数;
(2)求证:$DE$平分$∠ ADC$;
(3)若$AB=8$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.
答案：
27.(1)解:$\because EF⊥AB,∴∠F=90°.∵∠AEF=55°$,
$\therefore ∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°$.
$\because ∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=110°$,
$\therefore ∠CAD=∠BAE-∠BAD=145°-110°=35°$.
(2)证明:如答图,过点$E$作$EG⊥AD$于点$G$,$EH⊥BC$于点$H$.
$\because ∠F=90°,∠AEF=55°,∴∠EAF=90°-55°=35°$.
由(1)知$∠EAF=∠CAD=35°,∴AE$平分$∠FAD$.
$\because EF⊥AF,EG⊥AD,∴EF=EG$.
$\because BE$平分$∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴EF=EH$,
$\therefore EG=EH$.
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,∴DE$平分$∠ADC$.
(3)解:$\because S_{△ACD}=15,∴S_{△ADE}+S_{△CDE}=15$,
$\therefore \frac{1}{2}AD·EG+\frac{1}{2}CD·EH=15$.
$\because AD=4,CD=8,EG=EH$,
$\therefore \frac{1}{2}×4EH+\frac{1}{2}×8EH=15$,
$\therefore EH=\frac{5}{2},∴EF=\frac{5}{2}$.
$\because AB=8,∴S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10$.
27.(1)解:$\because EF⊥AB,∴∠F=90°.∵∠AEF=55°$,
$\therefore ∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°$.
$\because ∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=110°$,
$\therefore ∠CAD=∠BAE-∠BAD=145°-110°=35°$.
(2)证明:如答图,过点$E$作$EG⊥AD$于点$G$,$EH⊥BC$于点$H$.
$\because ∠F=90°,∠AEF=55°,∴∠EAF=90°-55°=35°$.
由(1)知$∠EAF=∠CAD=35°,∴AE$平分$∠FAD$.
$\because EF⊥AF,EG⊥AD,∴EF=EG$.
$\because BE$平分$∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴EF=EH$,
$\therefore EG=EH$.
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,∴DE$平分$∠ADC$.
(3)解:$\because S_{△ACD}=15,∴S_{△ADE}+S_{△CDE}=15$,
$\therefore \frac{1}{2}AD·EG+\frac{1}{2}CD·EH=15$.
$\because AD=4,CD=8,EG=EH$,
$\therefore \frac{1}{2}×4EH+\frac{1}{2}×8EH=15$,
$\therefore EH=\frac{5}{2},∴EF=\frac{5}{2}$.
$\because AB=8,∴S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10$.
解析：
【分析】
(1) 要求∠CAD的度数，首先由EF⊥AB得到直角，结合∠AEF的度数，利用三角形外角性质求出∠BAE的度数，再用∠BAE减去已知的∠BAD的度数即可得到结果。
(2) 要证明DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，需要证明点E到AD、DC两边的距离相等，因此过E作AD、BC的垂线，结合已知的BE平分∠ABC、AE平分∠FAD，利用角平分线的性质得到三条垂线段相等，进而推出E到AD和DC的距离相等，即可得证。
(3) 求△ABE的面积，已知AB的长度，只需求出AB边上的高EF。由(2)可知EF=EG=EH，将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，代入已知边长和总面积即可求出EH的长度，即EF的长度，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 解:$\because EF⊥AB,∴∠F=90°.∵∠AEF=55°$,
$\therefore ∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°$.
$\because ∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=110°$,
$\therefore ∠CAD=∠BAE-∠BAD=145°-110°=35°$.
(2) 证明:如答图,过点$E$作$EG⊥AD$于点$G$,$EH⊥BC$于点$H$.
$\because ∠F=90°,∠AEF=55°,∴∠EAF=90°-55°=35°$.
由(1)知$∠EAF=∠CAD=35°,∴AE$平分$∠FAD$.
$\because EF⊥AF,EG⊥AD,∴EF=EG$.
$\because BE$平分$∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴EF=EH$,
$\therefore EG=EH$.
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,∴DE$平分$∠ADC$.
(3) 解:$\because S_{△ACD}=15,∴S_{△ADE}+S_{△CDE}=15$,
$\therefore \frac{1}{2}AD·EG+\frac{1}{2}CD·EH=15$.
$\because AD=4,CD=8,EG=EH$,
$\therefore \frac{1}{2}×4EH+\frac{1}{2}×8EH=15$,
$\therefore EH=\frac{5}{2},∴EF=\frac{5}{2}$.
$\because AB=8,∴S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10$.
【答案】
(1) $∠ CAD=35°$；
(2) 证明见解析；
(3) $△ ABE$的面积为$10$。
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形外角性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，重点考查角平分线相关定理的应用，解题的核心是通过作辅助线将角平分线的性质和判定结合，同时利用面积的和差关系建立方程求解，要求学生具备基础的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求∠CAD的度数，首先由EF⊥AB得到直角，结合∠AEF的度数，利用三角形外角性质求出∠BAE的度数，再用∠BAE减去已知的∠BAD的度数即可得到结果。
(2) 要证明DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，需要证明点E到AD、DC两边的距离相等，因此过E作AD、BC的垂线，结合已知的BE平分∠ABC、AE平分∠FAD，利用角平分线的性质得到三条垂线段相等，进而推出E到AD和DC的距离相等，即可得证。
(3) 求△ABE的面积，已知AB的长度，只需求出AB边上的高EF。由(2)可知EF=EG=EH，将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，代入已知边长和总面积即可求出EH的长度，即EF的长度，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 解:$\because EF⊥AB,∴∠F=90°.∵∠AEF=55°$,
$\therefore ∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°$.
$\because ∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=110°$,
$\therefore ∠CAD=∠BAE-∠BAD=145°-110°=35°$.
(2) 证明:如答图,过点$E$作$EG⊥AD$于点$G$,$EH⊥BC$于点$H$.
$\because ∠F=90°,∠AEF=55°,∴∠EAF=90°-55°=35°$.
由(1)知$∠EAF=∠CAD=35°,∴AE$平分$∠FAD$.
$\because EF⊥AF,EG⊥AD,∴EF=EG$.
$\because BE$平分$∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴EF=EH$,
$\therefore EG=EH$.
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,∴DE$平分$∠ADC$.
(3) 解:$\because S_{△ACD}=15,∴S_{△ADE}+S_{△CDE}=15$,
$\therefore \frac{1}{2}AD·EG+\frac{1}{2}CD·EH=15$.
$\because AD=4,CD=8,EG=EH$,
$\therefore \frac{1}{2}×4EH+\frac{1}{2}×8EH=15$,
$\therefore EH=\frac{5}{2},∴EF=\frac{5}{2}$.
$\because AB=8,∴S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10$.
【答案】
(1) $∠ CAD=35°$；
(2) 证明见解析；
(3) $△ ABE$的面积为$10$。
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形外角性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，重点考查角平分线相关定理的应用，解题的核心是通过作辅助线将角平分线的性质和判定结合，同时利用面积的和差关系建立方程求解，要求学生具备基础的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
28.(12分)定义:过三角形的顶点作一条射线与其对边相交,将三角形分成两个三角形,若得到的两个三角形中有等腰三角形,这条射线就叫作原三角形的“和谐分割线”.
(1)下列三角形中,不存在“和谐分割线”的是
①等边三角形;②顶角为$150°$的等腰三角形;③等腰直角三角形.
(2)如图①,在$△ ABC$中,$∠ A=60°,∠ B=40°$,直接写出$△ ABC$被“和谐分割线”分割得到的等腰三角形顶角的度数.
(3)如图②,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$CD$为$AB$边上的高,$BD=4$,$E$为$AD$的中点,过点$E$作直线$l$交$AC$于点$F$,作$CM⊥ l$于点$M$,$DN⊥ l$于点$N$.若射线$CD$为$△ ABC$的“和谐分割线”,求$CM+DN$的最大值.
(1)下列三角形中,不存在“和谐分割线”的是
①
.(填序号)①等边三角形;②顶角为$150°$的等腰三角形;③等腰直角三角形.
(2)如图①,在$△ ABC$中,$∠ A=60°,∠ B=40°$,直接写出$△ ABC$被“和谐分割线”分割得到的等腰三角形顶角的度数.
(3)如图②,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$CD$为$AB$边上的高,$BD=4$,$E$为$AD$的中点,过点$E$作直线$l$交$AC$于点$F$,作$CM⊥ l$于点$M$,$DN⊥ l$于点$N$.若射线$CD$为$△ ABC$的“和谐分割线”,求$CM+DN$的最大值.
答案：
28.(1)①
(2)解:如答图①,当$EC=EA$时,$∠AEC=60°$;
当$FC=FB$时,$∠BFC=100°$;
当$BC=BG$时,$∠B=40°$.
如答图②,当$AC=AR$时,$∠CAR=20°$;
当$CA=CW$时,$∠C=80°$.
如答图③,当$BC=BQ$时,$∠CBQ=20°$.
综上所述,满足条件的等腰三角形的顶角的度数为$20°$,$40°,60°,80°,100°$.
(3)解:如答图④,过点$A$作$AG⊥l$于点$G$.
$\because CD$为$AB$边上的高,$∴∠CDB=∠CDA=90°$,
$\therefore ∠ACD=90°-∠CAD=60°$,
$\therefore △CDA$不是等腰三角形.
$\because CD$为$△ABC$的“和谐分割线”,
$\therefore △CDB$和$△CDA$中至少有一个是等腰三角形,
$\therefore △CDB$是等腰三角形,且$CD=BD=4$.
$\because ∠A=30°,∴AC=2CD=8$.
$\because DN⊥l,∴∠DNE=∠AGE=90°$.
$\because E$为$AD$的中点,$∴DE=AE$.
在$△DNE$和$△AGE$中,$\begin{cases} ∠DNE=∠AGE, \\ ∠DEN=∠AEG, \\ DE=AE, \end{cases}$
$\therefore △DNE≌△AGE(\mathrm{AAS}),∴DN=AG$.
$\because CM≤CF,AG≤AF,∴CM+AG≤CF+AF$,
即$CM+AG≤AC,∴CM+DN≤8$,
$\therefore CM+DN$的最大值为$8$.
28.(1)①
(2)解:如答图①,当$EC=EA$时,$∠AEC=60°$;
当$FC=FB$时,$∠BFC=100°$;
当$BC=BG$时,$∠B=40°$.
如答图②,当$AC=AR$时,$∠CAR=20°$;
当$CA=CW$时,$∠C=80°$.
如答图③,当$BC=BQ$时,$∠CBQ=20°$.
综上所述,满足条件的等腰三角形的顶角的度数为$20°$,$40°,60°,80°,100°$.
(3)解:如答图④,过点$A$作$AG⊥l$于点$G$.
$\because CD$为$AB$边上的高,$∴∠CDB=∠CDA=90°$,
$\therefore ∠ACD=90°-∠CAD=60°$,
$\therefore △CDA$不是等腰三角形.
$\because CD$为$△ABC$的“和谐分割线”,
$\therefore △CDB$和$△CDA$中至少有一个是等腰三角形,
$\therefore △CDB$是等腰三角形,且$CD=BD=4$.
$\because ∠A=30°,∴AC=2CD=8$.
$\because DN⊥l,∴∠DNE=∠AGE=90°$.
$\because E$为$AD$的中点,$∴DE=AE$.
在$△DNE$和$△AGE$中,$\begin{cases} ∠DNE=∠AGE, \\ ∠DEN=∠AEG, \\ DE=AE, \end{cases}$
$\therefore △DNE≌△AGE(\mathrm{AAS}),∴DN=AG$.
$\because CM≤CF,AG≤AF,∴CM+AG≤CF+AF$,
即$CM+AG≤AC,∴CM+DN≤8$,
$\therefore CM+DN$的最大值为$8$.
解析：
【分析】
(1) 先明确“和谐分割线”的定义：过三角形顶点作射线交对边，得到的两个三角形中至少有一个为等腰三角形。逐个分析三个三角形：①等边三角形三个内角均为60°，过任意顶点作射线交底边，若要得到等腰三角形，射线只能与对边端点重合，无法得到两个新三角形，故不存在和谐分割线；②顶角为150°的等腰三角形底角为15°，过底角顶点作射线可分割出等腰三角形，存在和谐分割线；③等腰直角三角形过直角顶点作斜边的高，可得到两个等腰直角三角形，存在和谐分割线，因此选①。
(2) 先计算△ABC的内角：∠A=60°，∠B=40°，故∠C=80°，按照定义分类讨论所有可能出现等腰三角形的情况，分别计算对应顶角即可。
(3) 首先结合CD是高、∠A=30°的条件，判断△CDA不是等腰三角形，因此等腰三角形只能是△CDB，求出CD、AC的长度；再作辅助线AG⊥l，证明△DNE≌△AGE，将DN转化为AG；最后根据垂线段最短的性质，得出CM+DN的最大值。
【解析】
(1) 对三个三角形逐一分析：
①等边三角形：过任意顶点作射线交底边，若分割出的三角形为等腰三角形，射线必然与对边端点重合，无法得到两个新三角形，不存在和谐分割线；
②顶角为150°的等腰三角形：底角为15°，过底角顶点作射线可构造等腰三角形，存在和谐分割线；
③等腰直角三角形：过直角顶点作斜边的高，可得到两个等腰直角三角形，存在和谐分割线。
故填$\boldsymbol{①}$。
(2) 已知$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ B=40°$，因此$∠ ACB=180°-60°-40°=80°$，分情况讨论：
如答图①，当$EC=EA$时，$△ AEC$为等腰三角形，顶角$∠ AEC=180°-60°×2=60°$；
当$FC=FB$时，$△ BFC$为等腰三角形，顶角$∠ BFC=180°-40°×2=100°$；
当$BC=BG$时，$△ BCG$为等腰三角形，顶角$∠ B=40°$；
如答图②，当$AC=AR$时，$△ ACR$为等腰三角形，顶角$∠ CAR=20°$；
当$CA=CW$时，$△ ACW$为等腰三角形，顶角$∠ ACW=80°$；
如答图③，当$BC=BQ$时，$△ BCQ$为等腰三角形，顶角$∠ CBQ=20°$。
综上，分割得到的等腰三角形顶角的度数为$20°、40°、60°、80°、100°$。
(3) 如答图④，过点$A$作$AG⊥ l$于点$G$。
$\because CD$为$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDB=∠ CDA=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDA$中，$∠ A=30°$，$\therefore ∠ ACD=90°-30°=60°$，即$△ CDA$的内角为$30°、60°、90°$，不是等腰三角形。
$\because CD$是$△ ABC$的“和谐分割线”，$\therefore △ CDB$为等腰三角形，
又$∠ CDB=90°$，$\therefore CD=BD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ CDA$中，$∠ A=30°$，$\therefore AC=2CD=8$。
$\because DN⊥ l$，$AG⊥ l$，$\therefore ∠ DNE=∠ AGE=90°$，
$\because E$为$AD$中点，$\therefore DE=AE$，
在$△ DNE$和$△ AGE$中：
$\begin{cases} ∠ DNE=∠ AGE \\ ∠ DEN=∠ AEG \\ DE=AE \end{cases}$
$\therefore △ DNE≌△ AGE(\mathrm{AAS})$，$\therefore DN=AG$。
根据垂线段的性质，$CM≤ CF$，$AG≤ AF$，因此$CM+AG≤ CF+AF=AC$，
即$CM+DN≤8$，当$l⊥ AC$时等号成立，故$CM+DN$的最大值为$8$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{①}$
(2)满足条件的等腰三角形的顶角的度数为$20°$,$40°,60°,80°,100°$。
(3)$CM+DN$的最大值为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题为新定义类综合题，解题的核心是准确理解“和谐分割线”的定义，结合等腰三角形的判定分类讨论所有可能的情况；最后一问通过全等三角形实现线段的转化，再利用垂线段最短求最值，考查了分类讨论思想和转化思想的应用。
【难度系数】
0.4
(1) 先明确“和谐分割线”的定义：过三角形顶点作射线交对边，得到的两个三角形中至少有一个为等腰三角形。逐个分析三个三角形：①等边三角形三个内角均为60°，过任意顶点作射线交底边，若要得到等腰三角形，射线只能与对边端点重合，无法得到两个新三角形，故不存在和谐分割线；②顶角为150°的等腰三角形底角为15°，过底角顶点作射线可分割出等腰三角形，存在和谐分割线；③等腰直角三角形过直角顶点作斜边的高，可得到两个等腰直角三角形，存在和谐分割线，因此选①。
(2) 先计算△ABC的内角：∠A=60°，∠B=40°，故∠C=80°，按照定义分类讨论所有可能出现等腰三角形的情况，分别计算对应顶角即可。
(3) 首先结合CD是高、∠A=30°的条件，判断△CDA不是等腰三角形，因此等腰三角形只能是△CDB，求出CD、AC的长度；再作辅助线AG⊥l，证明△DNE≌△AGE，将DN转化为AG；最后根据垂线段最短的性质，得出CM+DN的最大值。
【解析】
(1) 对三个三角形逐一分析：
①等边三角形：过任意顶点作射线交底边，若分割出的三角形为等腰三角形，射线必然与对边端点重合，无法得到两个新三角形，不存在和谐分割线；
②顶角为150°的等腰三角形：底角为15°，过底角顶点作射线可构造等腰三角形，存在和谐分割线；
③等腰直角三角形：过直角顶点作斜边的高，可得到两个等腰直角三角形，存在和谐分割线。
故填$\boldsymbol{①}$。
(2) 已知$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ B=40°$，因此$∠ ACB=180°-60°-40°=80°$，分情况讨论：
如答图①，当$EC=EA$时，$△ AEC$为等腰三角形，顶角$∠ AEC=180°-60°×2=60°$；
当$FC=FB$时，$△ BFC$为等腰三角形，顶角$∠ BFC=180°-40°×2=100°$；
当$BC=BG$时，$△ BCG$为等腰三角形，顶角$∠ B=40°$；
如答图②，当$AC=AR$时，$△ ACR$为等腰三角形，顶角$∠ CAR=20°$；
当$CA=CW$时，$△ ACW$为等腰三角形，顶角$∠ ACW=80°$；
如答图③，当$BC=BQ$时，$△ BCQ$为等腰三角形，顶角$∠ CBQ=20°$。
综上，分割得到的等腰三角形顶角的度数为$20°、40°、60°、80°、100°$。
(3) 如答图④，过点$A$作$AG⊥ l$于点$G$。
$\because CD$为$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDB=∠ CDA=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDA$中，$∠ A=30°$，$\therefore ∠ ACD=90°-30°=60°$，即$△ CDA$的内角为$30°、60°、90°$，不是等腰三角形。
$\because CD$是$△ ABC$的“和谐分割线”，$\therefore △ CDB$为等腰三角形，
又$∠ CDB=90°$，$\therefore CD=BD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ CDA$中，$∠ A=30°$，$\therefore AC=2CD=8$。
$\because DN⊥ l$，$AG⊥ l$，$\therefore ∠ DNE=∠ AGE=90°$，
$\because E$为$AD$中点，$\therefore DE=AE$，
在$△ DNE$和$△ AGE$中：
$\begin{cases} ∠ DNE=∠ AGE \\ ∠ DEN=∠ AEG \\ DE=AE \end{cases}$
$\therefore △ DNE≌△ AGE(\mathrm{AAS})$，$\therefore DN=AG$。
根据垂线段的性质，$CM≤ CF$，$AG≤ AF$，因此$CM+AG≤ CF+AF=AC$，
即$CM+DN≤8$，当$l⊥ AC$时等号成立，故$CM+DN$的最大值为$8$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{①}$
(2)满足条件的等腰三角形的顶角的度数为$20°$,$40°,60°,80°,100°$。
(3)$CM+DN$的最大值为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题为新定义类综合题，解题的核心是准确理解“和谐分割线”的定义，结合等腰三角形的判定分类讨论所有可能的情况；最后一问通过全等三角形实现线段的转化，再利用垂线段最短求最值，考查了分类讨论思想和转化思想的应用。
【难度系数】
0.4