22.(8分)已知$y-2$与$x$成正比例,且当$x=-2$时,$y=4$.
(1)求$y$与$x$的函数表达式;
(2)当$y＞1$时,请直接写出$x$的取值范围为________.
(1)求$y$与$x$的函数表达式;
(2)当$y＞1$时,请直接写出$x$的取值范围为________.
答案：22.(1)解:设$y-2=kx$,
把$x=-2,y=4$代入,得$4-2=-2k$,解得$k=-1$,
$\therefore y-2=-x$,$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=-x+2$.
(2)$x＜1$
把$x=-2,y=4$代入,得$4-2=-2k$,解得$k=-1$,
$\therefore y-2=-x$,$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=-x+2$.
(2)$x＜1$
解析：
【分析】
(1) 第一问首先根据“y-2与x成正比例”的条件，结合正比例的定义，可设出关系式y-2=kx（k为常数且k≠0），再将已知的x=-2、y=4代入所设式子，求出k的值，最后整理就能得到y与x的函数表达式。
(2) 第二问直接把第一问求出的函数表达式代入y＞1的条件，将其转化为关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 解：
∵ y-2与x成正比例
∴ 设y-2=kx（k为常数，k≠0）
把x=-2，y=4代入上式，得：
$4-2=-2k$
解得$k=-1$
将$k=-1$代入y-2=kx，得$y-2=-x$
整理得y与x的函数表达式为$y=-x+2$
(2) 把$y=-x+2$代入$y＞1$，得：
$-x+2＞1$
移项得：$-x＞-1$
不等式两边同时乘-1，不等号方向改变，得$x＜1$
【答案】
(1) $y=-x+2$；(2) $x＜1$
【知识点】
1. 正比例的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查正比例概念的应用、待定系数法求函数解析式的方法，以及一次函数与一元一次不等式的结合运用，掌握相关基础知识点，计算时细心即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问首先根据“y-2与x成正比例”的条件，结合正比例的定义，可设出关系式y-2=kx（k为常数且k≠0），再将已知的x=-2、y=4代入所设式子，求出k的值，最后整理就能得到y与x的函数表达式。
(2) 第二问直接把第一问求出的函数表达式代入y＞1的条件，将其转化为关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 解：
∵ y-2与x成正比例
∴ 设y-2=kx（k为常数，k≠0）
把x=-2，y=4代入上式，得：
$4-2=-2k$
解得$k=-1$
将$k=-1$代入y-2=kx，得$y-2=-x$
整理得y与x的函数表达式为$y=-x+2$
(2) 把$y=-x+2$代入$y＞1$，得：
$-x+2＞1$
移项得：$-x＞-1$
不等式两边同时乘-1，不等号方向改变，得$x＜1$
【答案】
(1) $y=-x+2$；(2) $x＜1$
【知识点】
1. 正比例的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查正比例概念的应用、待定系数法求函数解析式的方法，以及一次函数与一元一次不等式的结合运用，掌握相关基础知识点，计算时细心即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
23.(8分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D$,连接$BD$.
(1)若$∠ A=24°$,求$∠ DBC$的度数;
(2)若$BC=4$,求$BD$的长.
(1)若$∠ A=24°$,求$∠ DBC$的度数;
(2)若$BC=4$,求$BD$的长.
答案：23.解:(1)$\because ∠C=90°,∠A=24°$,
$\therefore ∠ABC=90°-24°=66°$.
$\because MN$垂直平分$AB$,$\therefore AD=BD$,
$\therefore ∠ABD=∠A=24°$,
$\therefore ∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°$.
(2)设$BD=x$,$\therefore CD=AC-AD=8-x$.
$\because ∠C=90°$,$\therefore BD^2=BC^2+CD^2$,
$\therefore x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,$\therefore BD=5$.
$\therefore ∠ABC=90°-24°=66°$.
$\because MN$垂直平分$AB$,$\therefore AD=BD$,
$\therefore ∠ABD=∠A=24°$,
$\therefore ∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°$.
(2)设$BD=x$,$\therefore CD=AC-AD=8-x$.
$\because ∠C=90°$,$\therefore BD^2=BC^2+CD^2$,
$\therefore x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,$\therefore BD=5$.
解析：
【分析】
(1) 求角度时，先在直角△ABC中利用直角三角形两锐角互余算出∠ABC的度数；再根据MN是AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠DBC的度数。
(2) 求线段长时，先由垂直平分线的性质得BD=AD，设BD为x，则AD=x，可表示出CD=8-x；再在直角△BCD中利用勾股定理列关于x的方程，解方程即可求出BD的长度。
【解析】
(1)
∵ 在△ABC中，∠C=90°，∠A=24°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 90° - 24° = 66°。
∵ MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = 24°，
∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 66° - 24° = 42°。
(2) 设BD的长为x，
∵ AD = BD，
∴ AD = x，
∵ AC = 8，
∴ CD = AC - AD = 8 - x，
在Rt△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得：$BD^2 = BC^2 + CD^2$，
代入数据得：$x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$，
展开化简得：$16x = 80$，解得$x=5$，即BD的长为5。
【答案】
(1) $\boxed{42°}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察线段垂直平分线的边角转化作用，结合直角三角形的角度计算、勾股定理和方程思想求解，解题思路清晰，属于常考的基础题型，需熟练掌握相关性质定理的应用。
【难度系数】
0.75
(1) 求角度时，先在直角△ABC中利用直角三角形两锐角互余算出∠ABC的度数；再根据MN是AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠DBC的度数。
(2) 求线段长时，先由垂直平分线的性质得BD=AD，设BD为x，则AD=x，可表示出CD=8-x；再在直角△BCD中利用勾股定理列关于x的方程，解方程即可求出BD的长度。
【解析】
(1)
∵ 在△ABC中，∠C=90°，∠A=24°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 90° - 24° = 66°。
∵ MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = 24°，
∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 66° - 24° = 42°。
(2) 设BD的长为x，
∵ AD = BD，
∴ AD = x，
∵ AC = 8，
∴ CD = AC - AD = 8 - x，
在Rt△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得：$BD^2 = BC^2 + CD^2$，
代入数据得：$x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$，
展开化简得：$16x = 80$，解得$x=5$，即BD的长为5。
【答案】
(1) $\boxed{42°}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察线段垂直平分线的边角转化作用，结合直角三角形的角度计算、勾股定理和方程思想求解，解题思路清晰，属于常考的基础题型，需熟练掌握相关性质定理的应用。
【难度系数】
0.75
24.(10分)某商店销售一台A型电脑的利润为100元,销售一台B型电脑的利润为150元.该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)该商店购进A型,B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?最大利润为多少元?
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)该商店购进A型,B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?最大利润为多少元?
答案：24.解:(1)由题意,得$y=100x+150(100-x)=-50x+15000$,
即$y$关于$x$的函数表达式为$y=-50x+15000$.
(2)$\because$ B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍,
$\therefore 100-x≤3x$,解得$x≥25$.
$\because y=-50x+15000$,$k=-50＜0$,
$\therefore y$随$x$的增大而减小,
$\therefore$ 当$x=25$时,$y$取得最大值,
此时$y=-50×25+15000=13750$,$100-x=75$.
答:该商店购进A型电脑25台,B型电脑75台时,才能使销售总利润最大,最大利润为13750元.
即$y$关于$x$的函数表达式为$y=-50x+15000$.
(2)$\because$ B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍,
$\therefore 100-x≤3x$,解得$x≥25$.
$\because y=-50x+15000$,$k=-50＜0$,
$\therefore y$随$x$的增大而减小,
$\therefore$ 当$x=25$时,$y$取得最大值,
此时$y=-50×25+15000=13750$,$100-x=75$.
答:该商店购进A型电脑25台,B型电脑75台时,才能使销售总利润最大,最大利润为13750元.
解析：
【分析】
（1）求解函数表达式首先要明确总利润的构成：总利润=A型电脑总利润+B型电脑总利润。已知A型电脑购进x台，两种电脑共100台，因此B型电脑购进(100-x)台，结合单台利润分别计算两类电脑的总利润，相加后化简即可得到y与x的函数关系。
（2）求利润最大值首先要确定自变量x的取值范围：根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式，解出x的最小取值；再结合一次函数的增减性，判断y随x的变化规律，在x的取值范围内取对应值即可求出最大利润及对应的进货量。
【解析】
(1) 由题意得，购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，
总利润$y=100x+150(100-x)$，
化简得$y=-50x+15000$。
(2) 根据B型电脑进货量限制可列不等式：
$100-x≤3x$，
移项合并得$4x≥100$，解得$x≥25$。
在一次函数$y=-50x+15000$中，$k=-50＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，
所以当$x=25$时，$y$取得最大值，
此时B型电脑进货量为$100-25=75$（台），
最大利润$y=-50×25+15000=13750$（元）。
【答案】
(1) $y=-50x+15000$；
(2) 购进A型电脑25台，B型电脑75台时销售总利润最大，最大利润为13750元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的增减性
【点评】
本题是典型的函数与不等式结合的实际应用题，核心考查学生梳理数量关系、利用函数性质求解最值的能力，解题关键是准确列出函数表达式和自变量的取值范围，结合一次函数增减性判断最值对应情况，属于常考的应用型题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解函数表达式首先要明确总利润的构成：总利润=A型电脑总利润+B型电脑总利润。已知A型电脑购进x台，两种电脑共100台，因此B型电脑购进(100-x)台，结合单台利润分别计算两类电脑的总利润，相加后化简即可得到y与x的函数关系。
（2）求利润最大值首先要确定自变量x的取值范围：根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式，解出x的最小取值；再结合一次函数的增减性，判断y随x的变化规律，在x的取值范围内取对应值即可求出最大利润及对应的进货量。
【解析】
(1) 由题意得，购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，
总利润$y=100x+150(100-x)$，
化简得$y=-50x+15000$。
(2) 根据B型电脑进货量限制可列不等式：
$100-x≤3x$，
移项合并得$4x≥100$，解得$x≥25$。
在一次函数$y=-50x+15000$中，$k=-50＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，
所以当$x=25$时，$y$取得最大值，
此时B型电脑进货量为$100-25=75$（台），
最大利润$y=-50×25+15000=13750$（元）。
【答案】
(1) $y=-50x+15000$；
(2) 购进A型电脑25台，B型电脑75台时销售总利润最大，最大利润为13750元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的增减性
【点评】
本题是典型的函数与不等式结合的实际应用题，核心考查学生梳理数量关系、利用函数性质求解最值的能力，解题关键是准确列出函数表达式和自变量的取值范围，结合一次函数增减性判断最值对应情况，属于常考的应用型题型。
【难度系数】
0.7
25.(10分)如图,点E在△ABC的外部,点D在BC上,DE交AC于点F,∠2=∠3,AE=AC,DE=BC.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠2=60°,猜想△ABD的形状并证明.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠2=60°,猜想△ABD的形状并证明.
答案：25.(1)证明:$\because ∠2=∠3$,$∠AFE=∠CFD$,$\therefore ∠E=∠C$.
在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠C=∠E, \\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:$△ ABD$是等边三角形,证明如下:
由(1)知$△ ABC≌△ ADE$,
$\therefore AB=AD$,$∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠1=∠2=60°$,$\therefore △ ABD$是等边三角形.
在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠C=∠E, \\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:$△ ABD$是等边三角形,证明如下:
由(1)知$△ ABC≌△ ADE$,
$\therefore AB=AD$,$∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠1=∠2=60°$,$\therefore △ ABD$是等边三角形.
解析：
【分析】
(1)要证明$△ ABC≌△ ADE$，已知$AE=AC$、$DE=BC$两组边对应相等，需先证明两边的夹角$∠ C=∠ E$；结合已知$∠ 2=∠ 3$，以及对顶角$∠ AFE=∠ CFD$，利用三角形内角和即可推出$∠ E=∠ C$，再通过SAS判定定理即可证明全等。
(2)要判断$△ ABD$的形状，先由(1)的全等结论可得对应边$AB=AD$，可知$△ ABD$是等腰三角形；再由全等的对应角相等得$∠ BAC=∠ DAE$，两式同时减去公共角$∠ DAC$可得$∠ 1=∠ 2=60°$，结合“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”即可得出结论。
【解析】
(1)证明：$\because ∠2=∠3$，$∠AFE=∠CFD$（对顶角相等），
$\therefore 180°-∠2-∠AFE=180°-∠3-∠CFD$，即$∠E=∠C$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠C=∠E, \\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$。
(2)解：$△ ABD$是等边三角形，证明如下：
由(1)知$△ ABC≌△ ADE$，
$\therefore AB=AD$，$∠BAC=∠DAE$，
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠1=∠2$，
$\because ∠2=60°$，$\therefore ∠1=60°$，
又$\because AB=AD$，$\therefore △ ABD$是等边三角形。
【答案】
(1)$△ ABC≌△ ADE$，证明成立；
(2)$△ ABD$是等边三角形。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，逻辑链条清晰，解题的核心是先通过角的等量关系推导全等的判定条件，再结合全等三角形的性质得到边、角的对应关系，最终完成特殊三角形的判定，侧重对基础几何逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$△ ABC≌△ ADE$，已知$AE=AC$、$DE=BC$两组边对应相等，需先证明两边的夹角$∠ C=∠ E$；结合已知$∠ 2=∠ 3$，以及对顶角$∠ AFE=∠ CFD$，利用三角形内角和即可推出$∠ E=∠ C$，再通过SAS判定定理即可证明全等。
(2)要判断$△ ABD$的形状，先由(1)的全等结论可得对应边$AB=AD$，可知$△ ABD$是等腰三角形；再由全等的对应角相等得$∠ BAC=∠ DAE$，两式同时减去公共角$∠ DAC$可得$∠ 1=∠ 2=60°$，结合“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”即可得出结论。
【解析】
(1)证明：$\because ∠2=∠3$，$∠AFE=∠CFD$（对顶角相等），
$\therefore 180°-∠2-∠AFE=180°-∠3-∠CFD$，即$∠E=∠C$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠C=∠E, \\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$。
(2)解：$△ ABD$是等边三角形，证明如下：
由(1)知$△ ABC≌△ ADE$，
$\therefore AB=AD$，$∠BAC=∠DAE$，
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠1=∠2$，
$\because ∠2=60°$，$\therefore ∠1=60°$，
又$\because AB=AD$，$\therefore △ ABD$是等边三角形。
【答案】
(1)$△ ABC≌△ ADE$，证明成立；
(2)$△ ABD$是等边三角形。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，逻辑链条清晰，解题的核心是先通过角的等量关系推导全等的判定条件，再结合全等三角形的性质得到边、角的对应关系，最终完成特殊三角形的判定，侧重对基础几何逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7
26.(12分)现有甲、乙两个容器,每个容器都装有进水管和出水管,甲容器原来没有水,乙容器原有一定的水量.首先打开甲容器的进水管注水,第10分钟同时打开甲、乙两容器的出水管排水,第15分钟关闭甲容器的进水管,直到甲、乙两容器中的水排完.
甲、乙两容器中的水量$y_1,y_2$(单位:L)与时间$x$(从甲容器注水开始计时,单位:min)的函数关系如图所示.请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲容器进水管的注水速度是
(2)求甲容器出水管的排水速度及线段AB对应的函数表达式;
(3)当$x=$
甲、乙两容器中的水量$y_1,y_2$(单位:L)与时间$x$(从甲容器注水开始计时,单位:min)的函数关系如图所示.请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲容器进水管的注水速度是
60
L/min,乙容器出水管的排水速度是40
L/min;(2)求甲容器出水管的排水速度及线段AB对应的函数表达式;
(3)当$x=$
$\dfrac{13}{3}或12或\dfrac{78}{5}$
min时,两容器中的水量差为180 L.答案：26.(1)60 40
(2)解:设甲容器出水管的排水速度为$a$ L/min,
由题意,得$600+5×60-(20-10)a=0$,解得$a=90$,
$\therefore$ 甲容器出水管的排水速度为90 L/min.
设线段AB的函数表达式为$y=kx+b$,由题意,得点B的纵坐标为$60×15-90×5=450$,$\therefore B(15,450)$.
将$A(10,600)$,$B(15,450)$代入,得$\begin{cases} 10k+b=600, \\ 15k+b=450, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-30, \\ b=900, \end{cases}$
$\therefore$ 线段AB的函数表达式为$y=-30x+900(10≤ x≤15)$.
(3)$\dfrac{13}{3}$或12或$\dfrac{78}{5}$
(2)解:设甲容器出水管的排水速度为$a$ L/min,
由题意,得$600+5×60-(20-10)a=0$,解得$a=90$,
$\therefore$ 甲容器出水管的排水速度为90 L/min.
设线段AB的函数表达式为$y=kx+b$,由题意,得点B的纵坐标为$60×15-90×5=450$,$\therefore B(15,450)$.
将$A(10,600)$,$B(15,450)$代入,得$\begin{cases} 10k+b=600, \\ 15k+b=450, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-30, \\ b=900, \end{cases}$
$\therefore$ 线段AB的函数表达式为$y=-30x+900(10≤ x≤15)$.
(3)$\dfrac{13}{3}$或12或$\dfrac{78}{5}$
解析：
【分析】
1. 第(1)问解题思路：观察图象可知甲前10分钟仅进水，水量从0升至600L，用总进水量除以进水时长即可得到进水管速度；乙容器原有440L水，第10分钟开始排水，21分钟排完，用原有水量除以总排水时长即可得到乙出水管排水速度。
2. 第(2)问解题思路：先分析甲的水量变化：10~15分钟同时进水、出水，15分钟后仅出水，到20分钟排空，据此列方程求出甲出水管排水速度；再计算15分钟时甲的水量得到点B坐标，结合A点坐标用待定系数法求AB段的一次函数解析式。
3. 第(3)问解题思路：分三个时间段讨论：①0≤x＜10，甲仅进水、乙水量不变；②10≤x＜15，甲同时进出水、乙仅排水；③15≤x≤20，甲仅排水、乙仅排水，分别写出两个容器的水量表达式，根据水量差绝对值为180列方程，舍去不符合时间段的解即可。
【解析】
(1) 甲进水管注水速度：$600÷10=60\ \mathrm{L/min}$；
乙总排水时长为$21-10=11\ \mathrm{min}$，出水管排水速度：$440÷11=40\ \mathrm{L/min}$。
(2) 设甲容器出水管的排水速度为$a\ \mathrm{L/min}$，
甲10分钟时水量为600L，10~15分钟共5分钟同时进水出水，15分钟后仅排水，20分钟排空，列方程得：
$600+5×60-(20-10)a=0$
解得$a=90$，即甲出水管排水速度为90L/min。
15分钟时甲的水量为：$60×15-90×(15-10)=450\ \mathrm{L}$，即$B(15,450)$。
设线段AB的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(10,600)$、$B(15,450)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=600\\15k+b=450\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-30\\b=900\end{cases}$
故线段AB对应的函数表达式为$y=-30x+900\ (10≤ x≤15)$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$0≤ x＜10$时，$y_1=60x$，$y_2=440$，令$\vert60x-440\vert=180$：
解得$x=\frac{13}{3}$（$x=\frac{31}{3}＞10$，舍去）；
② 当$10≤ x＜15$时，$y_1=-30x+900$，$y_2=840-40x$，令$\vert(-30x+900)-(840-40x)\vert=180$：
解得$x=12$（$x=-240$不符合实际，舍去）；
③ 当$15≤ x≤20$时，$y_1=1800-90x$，$y_2=840-40x$，令$\vert(1800-90x)-(840-40x)\vert=180$：
解得$x=\frac{78}{5}$（$x=\frac{114}{5}＞20$，舍去）。
【答案】
(1) $60$；$40$
(2) 甲容器出水管的排水速度为$90\ \mathrm{L/min}$，线段AB对应的函数表达式为$y=-30x+900(10≤ x≤15)$
(3) $\dfrac{13}{3}$或$12$或$\dfrac{78}{5}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，分段函数求解
【点评】
本题结合注水排水的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图象的含义，明确不同时间段容器的进出水状态，分类讨论水量差的情况，注意求解后要验证解是否符合对应时间段的取值范围，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问解题思路：观察图象可知甲前10分钟仅进水，水量从0升至600L，用总进水量除以进水时长即可得到进水管速度；乙容器原有440L水，第10分钟开始排水，21分钟排完，用原有水量除以总排水时长即可得到乙出水管排水速度。
2. 第(2)问解题思路：先分析甲的水量变化：10~15分钟同时进水、出水，15分钟后仅出水，到20分钟排空，据此列方程求出甲出水管排水速度；再计算15分钟时甲的水量得到点B坐标，结合A点坐标用待定系数法求AB段的一次函数解析式。
3. 第(3)问解题思路：分三个时间段讨论：①0≤x＜10，甲仅进水、乙水量不变；②10≤x＜15，甲同时进出水、乙仅排水；③15≤x≤20，甲仅排水、乙仅排水，分别写出两个容器的水量表达式，根据水量差绝对值为180列方程，舍去不符合时间段的解即可。
【解析】
(1) 甲进水管注水速度：$600÷10=60\ \mathrm{L/min}$；
乙总排水时长为$21-10=11\ \mathrm{min}$，出水管排水速度：$440÷11=40\ \mathrm{L/min}$。
(2) 设甲容器出水管的排水速度为$a\ \mathrm{L/min}$，
甲10分钟时水量为600L，10~15分钟共5分钟同时进水出水，15分钟后仅排水，20分钟排空，列方程得：
$600+5×60-(20-10)a=0$
解得$a=90$，即甲出水管排水速度为90L/min。
15分钟时甲的水量为：$60×15-90×(15-10)=450\ \mathrm{L}$，即$B(15,450)$。
设线段AB的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(10,600)$、$B(15,450)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=600\\15k+b=450\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-30\\b=900\end{cases}$
故线段AB对应的函数表达式为$y=-30x+900\ (10≤ x≤15)$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$0≤ x＜10$时，$y_1=60x$，$y_2=440$，令$\vert60x-440\vert=180$：
解得$x=\frac{13}{3}$（$x=\frac{31}{3}＞10$，舍去）；
② 当$10≤ x＜15$时，$y_1=-30x+900$，$y_2=840-40x$，令$\vert(-30x+900)-(840-40x)\vert=180$：
解得$x=12$（$x=-240$不符合实际，舍去）；
③ 当$15≤ x≤20$时，$y_1=1800-90x$，$y_2=840-40x$，令$\vert(1800-90x)-(840-40x)\vert=180$：
解得$x=\frac{78}{5}$（$x=\frac{114}{5}＞20$，舍去）。
【答案】
(1) $60$；$40$
(2) 甲容器出水管的排水速度为$90\ \mathrm{L/min}$，线段AB对应的函数表达式为$y=-30x+900(10≤ x≤15)$
(3) $\dfrac{13}{3}$或$12$或$\dfrac{78}{5}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，分段函数求解
【点评】
本题结合注水排水的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图象的含义，明确不同时间段容器的进出水状态，分类讨论水量差的情况，注意求解后要验证解是否符合对应时间段的取值范围，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.6