1.如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD=DC,BD平分∠ABC,∠A+∠C的度数为 （
A.$120°$
B.$150°$
C.$180°$
D.$200°$
C
）A.$120°$
B.$150°$
C.$180°$
D.$200°$
答案：1.C
解析：
【分析】
遇到角平分线时，优先考虑角平分线的性质作辅助线：过角平分线上的点向角的两边作垂线，可得垂线段相等。本题我们过点D分别作BA延长线和BC的垂线，结合已知AD=DC，可证两个直角三角形全等，再通过全等的性质将∠C转化为与∠A互补的角，即可求出两角之和。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$，交BA的延长线于点E，作$DF⊥ BC$于点F。
∵BD平分$∠ ABC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，
∴$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ E=∠ DFC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$\begin{cases}AD=DC \\DE=DF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL），
∴$∠ C=∠ DAE$。
又
∵$∠ DAE+∠ BAD=180°$，
∴$∠ BAD+∠ C=180°$，即$∠ A+∠ C=180°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线常见辅助线的典型考题，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，实现角的等量转化，进而推出所求角的和，熟练掌握角平分线的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线时，优先考虑角平分线的性质作辅助线：过角平分线上的点向角的两边作垂线，可得垂线段相等。本题我们过点D分别作BA延长线和BC的垂线，结合已知AD=DC，可证两个直角三角形全等，再通过全等的性质将∠C转化为与∠A互补的角，即可求出两角之和。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$，交BA的延长线于点E，作$DF⊥ BC$于点F。
∵BD平分$∠ ABC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，
∴$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ E=∠ DFC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$\begin{cases}AD=DC \\DE=DF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL），
∴$∠ C=∠ DAE$。
又
∵$∠ DAE+∠ BAD=180°$，
∴$∠ BAD+∠ C=180°$，即$∠ A+∠ C=180°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线常见辅助线的典型考题，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，实现角的等量转化，进而推出所求角的和，熟练掌握角平分线的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DF⊥ AB$，垂足为F，$DE=DG$，$△ ADG$和$△ AED$的面积分别为49和40，则$△ EDF$的面积为________.
答案：2.4.5
解析：
【分析】
遇到角平分线和角一边的垂线时，优先考虑角平分线的性质，过角平分线上的点向角的另一边作垂线，可得两条垂线段长度相等；结合已知DE=DG，可证明两个直角三角形全等，面积相等；再利用角平分线分成的两个含公共边的直角三角形全等，面积相等，建立关于△EDF面积的等量关系即可求解。
【解析】
过点D作DH⊥AC，垂足为H。
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DFE和Rt△DHG中：
$\{\begin{array}{l}DF=DH\\ DE=DG\end{array} $
∴Rt△DFE≌Rt△DHG（HL），
∴$S_{△ EDF}=S_{△ GDH}$，设其面积为$x$。
在Rt△ADF和Rt△ADH中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DH\end{array} $
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$。
又
∵$S_{△ ADF}=S_{△ AED}+S_{△ EDF}=40+x$，
$S_{△ ADH}=S_{△ ADG}-S_{△ GDH}=49-x$，
∴$40+x=49-x$，
解得$2x=9$，$x=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质构造全等三角形，通过全等三角形面积相等建立方程求解，掌握角平分线的辅助线构造方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线和角一边的垂线时，优先考虑角平分线的性质，过角平分线上的点向角的另一边作垂线，可得两条垂线段长度相等；结合已知DE=DG，可证明两个直角三角形全等，面积相等；再利用角平分线分成的两个含公共边的直角三角形全等，面积相等，建立关于△EDF面积的等量关系即可求解。
【解析】
过点D作DH⊥AC，垂足为H。
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DFE和Rt△DHG中：
$\{\begin{array}{l}DF=DH\\ DE=DG\end{array} $
∴Rt△DFE≌Rt△DHG（HL），
∴$S_{△ EDF}=S_{△ GDH}$，设其面积为$x$。
在Rt△ADF和Rt△ADH中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DH\end{array} $
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$。
又
∵$S_{△ ADF}=S_{△ AED}+S_{△ EDF}=40+x$，
$S_{△ ADH}=S_{△ ADG}-S_{△ GDH}=49-x$，
∴$40+x=49-x$，
解得$2x=9$，$x=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质构造全等三角形，通过全等三角形面积相等建立方程求解，掌握角平分线的辅助线构造方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
3. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC = 2∠ B, CD$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $D$, 求证: $AC + AD = BC$.
答案：
3.证明:如答图,在BC上截取CE=AC,连接DE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE.
在△ACD与△ECD中,$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴AD=DE,∠A=∠CED.
∵∠A=2∠B,∠CED=∠B+∠EDB,
∴∠CED=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴DE=BE,
∴AD=EB,
∴AC+AD=CE+BE=BC.
3.证明:如答图,在BC上截取CE=AC,连接DE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE.
在△ACD与△ECD中,$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴AD=DE,∠A=∠CED.
∵∠A=2∠B,∠CED=∠B+∠EDB,
∴∠CED=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴DE=BE,
∴AD=EB,
∴AC+AD=CE+BE=BC.
解析：
【分析】
要证明AC+AD=BC，属于线段和差类证明题，常用截长补短法求解。结合已知CD是∠ACB的角平分线，可采用截长法：在BC上截取CE=AC，先利用SAS证明△ACD和△ECD全等，将AD转化为DE、∠A转化为∠CED；再结合∠A=2∠B，利用三角形外角的性质推导∠B=∠EDB，得到DE=BE即AD=BE，最后通过线段和的关系即可得证。
【解析】
证明：如答图，在BC上截取CE=AC，连接DE。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE。
在△ACD与△ECD中：
$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴AD=DE，∠A=∠CED。
∵∠A=2∠B，且∠CED是△EDB的外角，满足∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠CED=2∠B，
∴2∠B=∠B+∠EDB，即∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴AD=EB，
∴AC+AD=CE+BE=BC。
【答案】
3.证明:如答图,在BC上截取CE=AC,连接DE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE.
在△ACD与△ECD中,$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴AD=DE,∠A=∠CED.
∵∠A=2∠B,∠CED=∠B+∠EDB,
∴∠CED=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴DE=BE,
∴AD=EB,
∴AC+AD=CE+BE=BC.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心解题方法是利用角平分线构造全等三角形，将分散的待证线段转化到同一条线段上，同时结合三角形外角性质和等腰三角形的判定完成推导，熟练掌握截长补短法构造全等是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明AC+AD=BC，属于线段和差类证明题，常用截长补短法求解。结合已知CD是∠ACB的角平分线，可采用截长法：在BC上截取CE=AC，先利用SAS证明△ACD和△ECD全等，将AD转化为DE、∠A转化为∠CED；再结合∠A=2∠B，利用三角形外角的性质推导∠B=∠EDB，得到DE=BE即AD=BE，最后通过线段和的关系即可得证。
【解析】
证明：如答图，在BC上截取CE=AC，连接DE。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE。
在△ACD与△ECD中：
$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴AD=DE，∠A=∠CED。
∵∠A=2∠B，且∠CED是△EDB的外角，满足∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠CED=2∠B，
∴2∠B=∠B+∠EDB，即∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴AD=EB，
∴AC+AD=CE+BE=BC。
【答案】
3.证明:如答图,在BC上截取CE=AC,连接DE.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE.
在△ACD与△ECD中,$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴AD=DE,∠A=∠CED.
∵∠A=2∠B,∠CED=∠B+∠EDB,
∴∠CED=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴DE=BE,
∴AD=EB,
∴AC+AD=CE+BE=BC.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心解题方法是利用角平分线构造全等三角形，将分散的待证线段转化到同一条线段上，同时结合三角形外角性质和等腰三角形的判定完成推导，熟练掌握截长补短法构造全等是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7