【分析】
本题分为两小问证明，解题思路如下：
(1) 要证$DE=DF$，已知$AE=AF$，若能证明$AD$垂直平分$EF$即可得到结论。首先结合$△ ABC$是等腰三角形，$D$是底边$BC$中点，联想到等腰三角形“三线合一”，连接$AD$可得$AD⊥ BC$；再结合$EF// BC$，可推出$AD⊥ EF$，结合$AE=AF$，可知$AD$是$EF$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得$DE=DF$。
(2) 要证$BG=CH$，可通过证明$△ BDG≌△ CDH$实现。首先由$DE=DF$、$AD⊥ EF$可得$AD$平分$∠ EDF$，结合$∠ ADB=∠ ADC=90°$可推出$∠ BDG=∠ CDH$；再结合等腰$△ ABC$的底角$∠ B=∠ C$，$D$是$BC$中点得$BD=CD$，用$ASA$即可证明两三角形全等，进而得到对应边$BG=CH$。
【解析】
(1) 如答图，连接$AD$。
$\because AB=AC$，$D$为$BC$的中点，
$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），
$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ DAF=∠ ADB=90°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore AD⊥ EF$。
又$\because AE=AF$，
$\therefore AD$垂直平分$EF$，
$\therefore DE=DF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
(2) $\because DE=DF$，$DA⊥ EF$，
$\therefore ∠ EDA=∠ FDA$（等腰三角形三线合一）。
$\because ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ ADB - ∠ EDA = ∠ ADC - ∠ FDA$，即$∠ EDB=∠ FDC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$（等腰三角形等边对等角）。
在$△ BDG$和$△ CDH$中，
$\begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ BD=CD, \\ ∠ BDG=∠ CDH, \end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CDH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BG=CH$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
1. 证明:(1)如答图,连接 AD.
∵AB=AC,D 为 BC 的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∵EF//BC,
∴∠DAF=∠ADB=90°,
∴AD⊥EF.
∵AE=AF,
∴AD 垂直平分 EF,
∴DE=DF.
(2)
∵DE=DF,DA⊥EF,
∴∠EDA=∠FDA.
∵∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠EDB=∠FDC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△BDG 和△CDH 中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BD=CD, \\ ∠BDG=∠CDH, \end{cases}$
∴△BDG≌△CDH(ASA),
∴BG=CH.
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形应用的典型题型，核心考查等腰三角形三线合一的用法，解题的关键是正确作出辅助线$AD$，结合平行线、全等三角形的相关知识逐步推导，能够帮助学生掌握构造辅助线利用三线合一来解题的技巧。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要证AB=AF，可通过证明AB、AF所在的△AEB与△AEF全等来推导。已知∠1=∠2，AE是公共边，结合AE⊥BF可得∠AEB=∠AEF=90°，满足ASA全等判定条件，证得全等后即可得到对应边相等。
(2) 要证AC-AB=2BE，结合(1)的结论AB=AF，可先将AC-AB转化为AC-AF=CF，只需证明CF=2BE即可。由全等可得BE=FE，即BF=2BE，再利用三角形外角性质和已知∠ABC=3∠C的条件推导角的关系，可得∠FBC=∠C，根据等角对等边得CF=BF，即可完成证明。
【解析】
(1)
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEF=90°。
在△AEB 和△AEF 中，
$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ AE=AE, \\ ∠AEB=∠AEF, \end{cases}$
∴△AEB≌△AEF(ASA)，
∴AB=AF。
(2) 由(1)知△AEB≌△AEF，
∴∠ABF=∠AFB，BE=FE，
∴BF=2BE。
∵∠AFB=∠C+∠FBC，
∴∠ABF=∠C+∠FBC。
∵∠ABC=3∠C，
∴∠ABF+∠FBC=3∠C，
∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C，
∴∠FBC=∠C，
∴CF=BF=2BE，
∴AC-AB=AC-AF=CF=2BE。
【答案】
(1) AB=AF，证明如上；
(2) AC-AB=2BE，证明如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质；等角对等边
【点评】
本题属于几何综合证明题，第一问基础，可直接利用已知角相等、垂直的条件证明三角形全等得到线段相等；第二问需要结合前一问的结论进行线段、角的转化，结合已知角的倍数关系推导等腰三角形，考查逻辑推理和条件整合能力，解题时要注意利用已证的前问结论简化推导。
【难度系数】
0.6