1. 如图,在$△ ABC$中,$E$为$AC$上一点,连接$BE$,$CD$平分$∠ ACB$交$BE$于点$D$,且$BE⊥ CD$,$∠ A=∠ ABE$,$AC=10$,$BC=6$,则$BD$的长为________.
答案：2
解析：
【分析】
解题时先观察已知条件：CD是角平分线且CD⊥BE，符合“角平分线+垂直”的全等模型，首先证明△CDB与△CDE全等，得到BC=CE、BD=DE的结论；再结合∠A=∠ABE，利用等角对等边得到AE=BE，先通过AC和CE的长度求出AE，也就是BE的长度，最后由BD是BE的一半即可求出结果。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠BCD=∠ECD \\CD=CD \\∠CDB=∠CDE\end{array} $
∴△CDB≌△CDE（ASA），
∴CE=BC=6，BD=DE，即$BD=\frac{1}{2}BE$，
∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE，
∵AC=10，
∴AE=AC-CE=10-6=4，
∴BE=4，
∴$BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线与垂直结合的典型几何题，核心是利用“角平分线+垂直”构造全等三角形实现边的转化，再结合等腰三角形等角对等边的性质即可求解，能有效检验对几何基本模型的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：CD是角平分线且CD⊥BE，符合“角平分线+垂直”的全等模型，首先证明△CDB与△CDE全等，得到BC=CE、BD=DE的结论；再结合∠A=∠ABE，利用等角对等边得到AE=BE，先通过AC和CE的长度求出AE，也就是BE的长度，最后由BD是BE的一半即可求出结果。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠BCD=∠ECD \\CD=CD \\∠CDB=∠CDE\end{array} $
∴△CDB≌△CDE（ASA），
∴CE=BC=6，BD=DE，即$BD=\frac{1}{2}BE$，
∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE，
∵AC=10，
∴AE=AC-CE=10-6=4，
∴BE=4，
∴$BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线与垂直结合的典型几何题，核心是利用“角平分线+垂直”构造全等三角形实现边的转化，再结合等腰三角形等角对等边的性质即可求解，能有效检验对几何基本模型的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,$BD$平分$∠ ABC$,$AD\bot BD$,$△ BCD$的面积为$45$,$△ ADC$的面积为$20$,则$△ ABD$的面积等于________.
答案：25
解析：
【分析】
本题属于角平分线+垂直的典型几何模型，解题思路如下：①遇到角平分线同时垂直于角边上的线段时，优先考虑延长垂线段构造全等三角形；②利用角平分线性质、垂直条件证明三角形全等，得到相等的线段，推导出对应三角形面积相等；③结合等底同高的三角形面积相等的性质，用已知三角形面积推导未知三角形面积。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ EBD$。
∵$AD\bot BD$，
∴$∠ ADB=∠ EDB=90°$。
在$△ ABD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}∠ ABD=∠ EBD \\BD=BD \\∠ ADB=∠ EDB\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ EBD$（ASA），可得$AD=DE$，$S_{△ ABD}=S_{△ EBD}$。
$△ ADC$和$△ EDC$以AD、DE为底时，高均为点C到直线AE的距离，底相等、高相同，因此面积相等，即$S_{△ EDC}=S_{△ ADC}=20$。
∵$S_{△ BCD}=45$，
∴$S_{△ EBD}=S_{△ BCD}-S_{△ EDC}=45-20=25$，
∴$S_{△ ABD}=25$。
【答案】
25
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心考查角平分线与垂直组合的模型应用，解题的关键是通过添加延长垂线段的辅助线构造全等三角形，将未知面积和已知面积建立关联，属于三角形部分的常见中等难度题型，熟练掌握相关模型可以快速解题。
【难度系数】
0.65
本题属于角平分线+垂直的典型几何模型，解题思路如下：①遇到角平分线同时垂直于角边上的线段时，优先考虑延长垂线段构造全等三角形；②利用角平分线性质、垂直条件证明三角形全等，得到相等的线段，推导出对应三角形面积相等；③结合等底同高的三角形面积相等的性质，用已知三角形面积推导未知三角形面积。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ EBD$。
∵$AD\bot BD$，
∴$∠ ADB=∠ EDB=90°$。
在$△ ABD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}∠ ABD=∠ EBD \\BD=BD \\∠ ADB=∠ EDB\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ EBD$（ASA），可得$AD=DE$，$S_{△ ABD}=S_{△ EBD}$。
$△ ADC$和$△ EDC$以AD、DE为底时，高均为点C到直线AE的距离，底相等、高相同，因此面积相等，即$S_{△ EDC}=S_{△ ADC}=20$。
∵$S_{△ BCD}=45$，
∴$S_{△ EBD}=S_{△ BCD}-S_{△ EDC}=45-20=25$，
∴$S_{△ ABD}=25$。
【答案】
25
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心考查角平分线与垂直组合的模型应用，解题的关键是通过添加延长垂线段的辅助线构造全等三角形，将未知面积和已知面积建立关联，属于三角形部分的常见中等难度题型，熟练掌握相关模型可以快速解题。
【难度系数】
0.65
3. 如图,在$△ ABC$中,$CD$是$∠ ACB$的平分线,$BE ⊥ CD$,垂足为$E$.
(1)若$∠ BAC=40°$,求$∠ CBE - ∠ DBE$的度数;
(2)连接$AE$,若$△ ABC$的面积为$6$,求$△ AEC$的面积.
(1)若$∠ BAC=40°$,求$∠ CBE - ∠ DBE$的度数;
(2)连接$AE$,若$△ ABC$的面积为$6$,求$△ AEC$的面积.
答案：
解:(1)如答图,延长 BE 交 AC 于点 F.
∵CD 是$∠ACB$的平分线,$\therefore ∠ACD=∠BCD$.
∵$BE⊥CD$,$\therefore ∠CEF=∠CEB=90°$.
在$△CEF$ 和$△CEB$ 中,$\begin{cases} ∠FCE=∠BCE, \\ CE=CE, \\ ∠CEF=∠CEB, \end{cases}$
$\therefore △CEF≌△CEB(ASA),\therefore ∠CFB=∠CBF,FE=BE$,
$\therefore ∠CBE-∠DBE=∠CFB-∠DBE=∠BAC=40°$.
(2)$\because FE=BE,\therefore S_{△CEF}=S_{△CEB},S_{△AEF}=S_{△AEB}$,
$\therefore S_{△AEC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6=3$.
解:(1)如答图,延长 BE 交 AC 于点 F.
∵CD 是$∠ACB$的平分线,$\therefore ∠ACD=∠BCD$.
∵$BE⊥CD$,$\therefore ∠CEF=∠CEB=90°$.
在$△CEF$ 和$△CEB$ 中,$\begin{cases} ∠FCE=∠BCE, \\ CE=CE, \\ ∠CEF=∠CEB, \end{cases}$
$\therefore △CEF≌△CEB(ASA),\therefore ∠CFB=∠CBF,FE=BE$,
$\therefore ∠CBE-∠DBE=∠CFB-∠DBE=∠BAC=40°$.
(2)$\because FE=BE,\therefore S_{△CEF}=S_{△CEB},S_{△AEF}=S_{△AEB}$,
$\therefore S_{△AEC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6=3$.
解析：
【分析】
(1) 本题出现角平分线+边上的垂线的特征，可通过延长BE交AC于点F构造全等三角形求解。先利用角平分线定义和垂直的条件，证明△CEF≌△CEB，得到∠CBE=∠CFB；再结合三角形外角的性质，∠CFB=∠BAC+∠DBE，移项即可求出∠CBE-∠DBE的度数。
(2) 由第一问的全等可得E为BF中点，根据等底同高的三角形面积相等，可知△AEC的面积为△ABC面积的一半，代入△ABC的面积即可计算出结果。
【解析】
(1) 如答图，延长BE交AC于点F。
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD。
∵BE⊥CD，
∴∠CEF=∠CEB=90°。
在$△ CEF$和$△ CEB$中：
$\begin{cases} ∠FCE=∠BCE \\ CE=CE \\ ∠CEF=∠CEB \end{cases}$
∴$△ CEF≌△ CEB(\mathrm{ASA})$，
∴∠CFB=∠CBE，FE=BE。
∵∠CFB是$△ AFB$的外角，
∴∠CFB=∠BAC+∠DBE，
∴∠CBE=∠BAC+∠DBE，即$∠CBE-∠DBE=∠BAC=40°$。
(2) 由(1)可知FE=BE，即E是BF的中点，
∴$△ CEF$与$△ CEB$等底同高，$△ AEF$与$△ AEB$等底同高，
∴$S_{△ CEF}=S_{△ CEB}$，$S_{△ AEF}=S_{△ AEB}$，
∴$S_{△ AEC}=S_{△ CEF}+S_{△ AEF}=\frac{1}{2}(S_{△ CEF}+S_{△ CEB}+S_{△ AEF}+S_{△ AEB})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
将$S_{△ ABC}=6$代入得：$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是典型的“角平分线+垂直”模型的应用，通过构造全等三角形实现角和线段的等量转化，是几何题中常用的解题思路，掌握该类模型的辅助线构造方法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
(1) 本题出现角平分线+边上的垂线的特征，可通过延长BE交AC于点F构造全等三角形求解。先利用角平分线定义和垂直的条件，证明△CEF≌△CEB，得到∠CBE=∠CFB；再结合三角形外角的性质，∠CFB=∠BAC+∠DBE，移项即可求出∠CBE-∠DBE的度数。
(2) 由第一问的全等可得E为BF中点，根据等底同高的三角形面积相等，可知△AEC的面积为△ABC面积的一半，代入△ABC的面积即可计算出结果。
【解析】
(1) 如答图，延长BE交AC于点F。
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD。
∵BE⊥CD，
∴∠CEF=∠CEB=90°。
在$△ CEF$和$△ CEB$中：
$\begin{cases} ∠FCE=∠BCE \\ CE=CE \\ ∠CEF=∠CEB \end{cases}$
∴$△ CEF≌△ CEB(\mathrm{ASA})$，
∴∠CFB=∠CBE，FE=BE。
∵∠CFB是$△ AFB$的外角，
∴∠CFB=∠BAC+∠DBE，
∴∠CBE=∠BAC+∠DBE，即$∠CBE-∠DBE=∠BAC=40°$。
(2) 由(1)可知FE=BE，即E是BF的中点，
∴$△ CEF$与$△ CEB$等底同高，$△ AEF$与$△ AEB$等底同高，
∴$S_{△ CEF}=S_{△ CEB}$，$S_{△ AEF}=S_{△ AEB}$，
∴$S_{△ AEC}=S_{△ CEF}+S_{△ AEF}=\frac{1}{2}(S_{△ CEF}+S_{△ CEB}+S_{△ AEF}+S_{△ AEB})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
将$S_{△ ABC}=6$代入得：$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是典型的“角平分线+垂直”模型的应用，通过构造全等三角形实现角和线段的等量转化，是几何题中常用的解题思路，掌握该类模型的辅助线构造方法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6