1. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D, E$ 为边 $AB$ 上的两个点, 且 $BD = BC, AE = AC$, 若 $∠ ACB=108°$, 则 $∠ DCE$ 的度数为 ______.
答案：1. 36°
解析：
【分析】
本题属于等腰三角形的角度计算问题，解题思路如下：1. 先利用三角形内角和定理求出∠A与∠B的度数和；2. 根据等腰三角形“等边对等角”的性质，分别用∠A、∠B表示出∠ACE和∠BCD的度数；3. 结合角的和差关系：∠ACE+∠BCD = ∠ACB + ∠DCE，代入已知角度即可求出∠DCE的大小。
【解析】
设$∠ A=x$，$∠ B=y$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$x+y+∠ ACB=180°$
已知$∠ ACB=108°$，因此$x+y=180°-108°=72°$。
$\because AE=AC$，$\therefore△ AEC$为等腰三角形，$∠ ACE=∠ AEC$，
$\therefore ∠ ACE=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-x}{2}$。
$\because BD=BC$，$\therefore△ BCD$为等腰三角形，$∠ BCD=∠ BDC$，
$\therefore ∠ BCD=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-y}{2}$。
观察角的组成可知：$∠ ACE+∠ BCD=(∠ ACD+∠ DCE)+(∠ BCE+∠ DCE)=∠ ACB+∠ DCE$。
将$∠ ACE$、$∠ BCD$代入左侧得：
$∠ ACE+∠ BCD=\frac{180°-x}{2}+\frac{180°-y}{2}=\frac{360°-(x+y)}{2}$，
把$x+y=72°$代入得：$∠ ACE+∠ BCD=\frac{360°-72°}{2}=144°$。
因此$144°=108°+∠ DCE$，解得$∠ DCE=144°-108°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是利用等腰三角形性质表示出相关角的度数，再结合角的和差关系建立等式求解，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题属于等腰三角形的角度计算问题，解题思路如下：1. 先利用三角形内角和定理求出∠A与∠B的度数和；2. 根据等腰三角形“等边对等角”的性质，分别用∠A、∠B表示出∠ACE和∠BCD的度数；3. 结合角的和差关系：∠ACE+∠BCD = ∠ACB + ∠DCE，代入已知角度即可求出∠DCE的大小。
【解析】
设$∠ A=x$，$∠ B=y$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$x+y+∠ ACB=180°$
已知$∠ ACB=108°$，因此$x+y=180°-108°=72°$。
$\because AE=AC$，$\therefore△ AEC$为等腰三角形，$∠ ACE=∠ AEC$，
$\therefore ∠ ACE=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-x}{2}$。
$\because BD=BC$，$\therefore△ BCD$为等腰三角形，$∠ BCD=∠ BDC$，
$\therefore ∠ BCD=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-y}{2}$。
观察角的组成可知：$∠ ACE+∠ BCD=(∠ ACD+∠ DCE)+(∠ BCE+∠ DCE)=∠ ACB+∠ DCE$。
将$∠ ACE$、$∠ BCD$代入左侧得：
$∠ ACE+∠ BCD=\frac{180°-x}{2}+\frac{180°-y}{2}=\frac{360°-(x+y)}{2}$，
把$x+y=72°$代入得：$∠ ACE+∠ BCD=\frac{360°-72°}{2}=144°$。
因此$144°=108°+∠ DCE$，解得$∠ DCE=144°-108°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是利用等腰三角形性质表示出相关角的度数，再结合角的和差关系建立等式求解，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$∠ BAC=90°$，若点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上，且 $BD=BA$，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $CE=CA$，则 $∠ DAE$ 的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案：2. 135°
解析：
【分析】
解题时先从已知的等边条件入手：由BD=BA、CE=CA可得到两个等腰三角形，依据等边对等角得到相等的角；再结合△ABC中∠BAC=90°，用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和；接着利用三角形外角的性质，推导得到∠D和∠E的度数和；最后在△ADE中用内角和定理即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵ $BD=BA$，$CE=CA$
∴ $∠ D=∠ BAD$，$∠ E=∠ CAE$（等边对等角）
∵ $∠ ABC$是$△ ABD$的外角
∴ $∠ ABC=∠ D+∠ BAD=2∠ D$
同理，$∠ ACB$是$△ ACE$的外角
∴ $∠ ACB=∠ E+∠ CAE=2∠ E$
在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$
∴ $∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=90°$
代入得：$2∠ D + 2∠ E=90°$，即$∠ D+∠ E=45°$
在$△ ADE$中：
$∠ DAE=180°-(∠ D+∠ E)=180°-45°=135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形与三角形角度计算的综合题，解题核心是利用等边对等角和外角性质搭建已知角和未知角的联系，解题思路清晰，属于常规角度计算题型。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知的等边条件入手：由BD=BA、CE=CA可得到两个等腰三角形，依据等边对等角得到相等的角；再结合△ABC中∠BAC=90°，用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和；接着利用三角形外角的性质，推导得到∠D和∠E的度数和；最后在△ADE中用内角和定理即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵ $BD=BA$，$CE=CA$
∴ $∠ D=∠ BAD$，$∠ E=∠ CAE$（等边对等角）
∵ $∠ ABC$是$△ ABD$的外角
∴ $∠ ABC=∠ D+∠ BAD=2∠ D$
同理，$∠ ACB$是$△ ACE$的外角
∴ $∠ ACB=∠ E+∠ CAE=2∠ E$
在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$
∴ $∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=90°$
代入得：$2∠ D + 2∠ E=90°$，即$∠ D+∠ E=45°$
在$△ ADE$中：
$∠ DAE=180°-(∠ D+∠ E)=180°-45°=135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形与三角形角度计算的综合题，解题核心是利用等边对等角和外角性质搭建已知角和未知角的联系，解题思路清晰，属于常规角度计算题型。
【难度系数】
0.75
3. 如图,在$△ ABC$中,$AB,AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E,N$,若$∠ EAN=34°$,则$∠ BAC$的度数为________.
答案：3. 73°
解析：
【分析】
解题核心是利用垂直平分线性质推导等角关系，再结合三角形内角和定理构建等式求解。首先回忆垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得AE=BE、AN=CN，根据等边对等角推出∠B=∠BAE、∠C=∠CAN。接着分析角的组成：∠BAE与∠CAN相加时，重叠部分∠EAN被重复计算一次，因此∠B+∠C=∠BAC+∠EAN。最后结合三角形内角和为180°，将∠B+∠C用含∠BAC的式子替换，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE。
同理，
∵AC的垂直平分线交BC于点N，
∴AN=CN，
∴∠C=∠CAN。
由角的和差关系可得：
∠BAE + ∠CAN = ∠BAC + ∠EAN，
∴∠B + ∠C = ∠BAC + 34°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
将∠B + ∠C = ∠BAC + 34°代入得：
∠BAC + 34° + ∠BAC = 180°，
整理得2∠BAC = 146°，
解得∠BAC = 73°。
【答案】
73°
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，需要梳理清楚多个角之间的数量关系，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题核心是利用垂直平分线性质推导等角关系，再结合三角形内角和定理构建等式求解。首先回忆垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得AE=BE、AN=CN，根据等边对等角推出∠B=∠BAE、∠C=∠CAN。接着分析角的组成：∠BAE与∠CAN相加时，重叠部分∠EAN被重复计算一次，因此∠B+∠C=∠BAC+∠EAN。最后结合三角形内角和为180°，将∠B+∠C用含∠BAC的式子替换，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE。
同理，
∵AC的垂直平分线交BC于点N，
∴AN=CN，
∴∠C=∠CAN。
由角的和差关系可得：
∠BAE + ∠CAN = ∠BAC + ∠EAN，
∴∠B + ∠C = ∠BAC + 34°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
将∠B + ∠C = ∠BAC + 34°代入得：
∠BAC + 34° + ∠BAC = 180°，
整理得2∠BAC = 146°，
解得∠BAC = 73°。
【答案】
73°
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，需要梳理清楚多个角之间的数量关系，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在线段$BC$上,点$E$在线段$AC$上,设$∠ BAD=α$,$∠ CDE=β$.
(1)如果$∠ B=50°$,$α=20°$,$β=10°$,那么$△ ADE$是等边三角形? 请说明理由;
(2)若$AD=AE$,试求$α$与$β$之间的关系.
(1)如果$∠ B=50°$,$α=20°$,$β=10°$,那么$△ ADE$是等边三角形? 请说明理由;
(2)若$AD=AE$,试求$α$与$β$之间的关系.
答案：4. 解:(1)$△ ADE$是等边三角形，
理由:$\because AB=AC,∠ B=50°$,
$\therefore ∠ C=∠ B=50°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=80°$,
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD=80°-α=80°-20°=60°$.
$\because β=10°,\therefore ∠ AED=∠ C+β=60°$,
$\therefore △ ADE$是等边三角形.
(2)$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$.
$\because AD=AE,\therefore ∠ ADE=∠ AED=90°-\frac{1}{2}∠ DAE$,
$\therefore ∠ AED-∠ C=\frac{1}{2}(∠ BAC-∠ DAE)$.
$\because ∠ BAC-∠ DAE=∠ BAD=α,∠ AED-∠ C=∠ CDE=β,\therefore α=2β$.
理由:$\because AB=AC,∠ B=50°$,
$\therefore ∠ C=∠ B=50°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=80°$,
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD=80°-α=80°-20°=60°$.
$\because β=10°,\therefore ∠ AED=∠ C+β=60°$,
$\therefore △ ADE$是等边三角形.
(2)$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$.
$\because AD=AE,\therefore ∠ ADE=∠ AED=90°-\frac{1}{2}∠ DAE$,
$\therefore ∠ AED-∠ C=\frac{1}{2}(∠ BAC-∠ DAE)$.
$\because ∠ BAC-∠ DAE=∠ BAD=α,∠ AED-∠ C=∠ CDE=β,\therefore α=2β$.
解析：
【分析】
(1)要判断△ADE是否为等边三角形，首先利用等腰三角形AB=AC的性质求出∠C和∠BAC的度数，再结合已知的∠BAD=α计算出∠DAE的度数，最后通过三角形外角的性质求出∠AED的度数，若△ADE有两个内角为60°，即可判定其为等边三角形。
(2)已知AB=AC、AD=AE，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠C、∠ADE=∠AED，再结合三角形外角的性质，分别用∠B、∠C、α、β表示出相关角，通过角度的和差关系消去其他未知角，即可推导出α和β的数量关系。
【解析】
(1)△ADE是等边三角形，理由如下：
∵$AB=AC$，$∠B=50°$，
∴$∠C=∠B=50°$，
∴$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°$，
∴$∠DAE=∠BAC-∠BAD=80°-α=80°-20°=60°$。
∵$∠AED$是$△CDE$的外角，$β=10°$，
∴$∠AED=∠C+∠CDE=50°+10°=60°$，
∴$△ADE$中$∠DAE=∠AED=60°$，三个内角均为60°，因此$△ADE$是等边三角形。
(2)
∵$AB=AC$，
∴$∠B=∠C$，
∵$AD=AE$，
∴$∠ADE=∠AED$，
∵$∠AED$是$△CDE$的外角，
∴$∠AED=∠C+β$，
又
∵$∠ADC$是$△ABD$的外角，
∴$∠ADC=∠B+α$，
且$∠ADC=∠ADE+β$，
代入得：$∠B+α=∠AED+β=(∠C+β)+β$，
∵$∠B=∠C$，化简后可得$α=2β$。
【答案】
(1)$△ADE$是等边三角形，理由见解析；
(2)$\boldsymbol{α=2β}$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形外角性质；等边三角形判定
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是灵活运用等腰三角形的性质、三角形内角和与外角定理，通过角度的和差转化推导未知角的关系，侧重考察逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判断△ADE是否为等边三角形，首先利用等腰三角形AB=AC的性质求出∠C和∠BAC的度数，再结合已知的∠BAD=α计算出∠DAE的度数，最后通过三角形外角的性质求出∠AED的度数，若△ADE有两个内角为60°，即可判定其为等边三角形。
(2)已知AB=AC、AD=AE，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠C、∠ADE=∠AED，再结合三角形外角的性质，分别用∠B、∠C、α、β表示出相关角，通过角度的和差关系消去其他未知角，即可推导出α和β的数量关系。
【解析】
(1)△ADE是等边三角形，理由如下：
∵$AB=AC$，$∠B=50°$，
∴$∠C=∠B=50°$，
∴$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°$，
∴$∠DAE=∠BAC-∠BAD=80°-α=80°-20°=60°$。
∵$∠AED$是$△CDE$的外角，$β=10°$，
∴$∠AED=∠C+∠CDE=50°+10°=60°$，
∴$△ADE$中$∠DAE=∠AED=60°$，三个内角均为60°，因此$△ADE$是等边三角形。
(2)
∵$AB=AC$，
∴$∠B=∠C$，
∵$AD=AE$，
∴$∠ADE=∠AED$，
∵$∠AED$是$△CDE$的外角，
∴$∠AED=∠C+β$，
又
∵$∠ADC$是$△ABD$的外角，
∴$∠ADC=∠B+α$，
且$∠ADC=∠ADE+β$，
代入得：$∠B+α=∠AED+β=(∠C+β)+β$，
∵$∠B=∠C$，化简后可得$α=2β$。
【答案】
(1)$△ADE$是等边三角形，理由见解析；
(2)$\boldsymbol{α=2β}$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形外角性质；等边三角形判定
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是灵活运用等腰三角形的性质、三角形内角和与外角定理，通过角度的和差转化推导未知角的关系，侧重考察逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7